https://sciphy.tistory.com/1240 https://sciphy.tistory.com/1507 테일러 급수의 유도와 의미 https://angeloyeo.github.io/2019/09/02/Taylor_Series.html 어떤 함수를 다항[[함수,function#s-9.1]] ([[다항식,polynomial]], [[테일러_다항식,Taylor_polynomial]]?)로 [[근사,approximation]](curr goto [[선형근사,linear_approximation]])하는? <> = 정의 = 함수 $f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 테일러 급수는 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ $=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 +\cdots$ $+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots$ $a=0$ 일 때는 [[매클로린_급수,Maclaurin_series]] f(x)가 x=a에서의 테일러 급수와 같을 때, f(x)는 x=a에서 해석적(analytic) [[해석함수,analytic_function]] a에서 smooth해야만 정의되나? q:한없이 미분가능할 때만 정의? [[테일러_정리,Taylor_theorem]]에 의하면 어떤 조건을 만족하는 함수는 항상 '''테일러 급수'''로 나타낼 수 있다. via https://mathworld.wolfram.com/TaylorsTheorem.html ------- n 대신 k를 쓰면, $\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}}$ = 수렴구간 = [[수렴,convergence]]하는 $x$ 만 모으면 [[구간,interval]]이 된다. = 수렴반경 수렴반지름 = see [[수렴,convergence]] = 유도 과정(?) CHK NOTSURE = [[테일러_정리,Taylor_theorem]] 페이지로? 원하는 만큼 미분 가능한 함수 $f$ 를, 이렇게 다항함수의 무한급수로 나타내는 것을 ...라 한다. $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+\cdots$ TODO TBW = 고등학생을 위한 고급미적 = == 정의 == 함수 $f(x)$ 가 $(a,b)$ 에서 임의의 횟수로 미분 가능하고 $c\in(a,b)$ 일 때, $c$ '''를 중심으로 하는 $f(x)$ 의 테일러 급수'''는 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n$ 중심이 $c=0$ 인 경우 [[매클로린_급수,Maclaurin_series]]라고 부른다. == 성질 == $c$ 를 중심으로 하는 $f(x)$ 의 테일러 급수를 $S(x)$ 라고 하자. * $S(x)$ 가 수렴하는 점 $x$ 들의 집합은 구간이 된다. 이 구간을 '''수렴구간'''이라고 부른다. * 수렴구간의 중심은 $c$ 이다. 이 때 수렴구간의 길이의 반을 '''수렴반경'''이라고 부른다. (단, 구간의 양 끝점에서는 각각 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있음) * '''수렴반경공식''': 테일러 급수에서 $(x-c)^n$ 의 계수를 $a_n$ 이라고 할 때 $r=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\right)^{-1}$ * 수렴 구간 내부의 임의의 점에서 함수를 미분하거나 적분한 것은 테일러 급수의 항마다 미분하거나 적분한 것과 동일하다. == 해석적 == $f(x)$ 의 테일러 급수가 수렴하는 함수는 $f(x)$ 와 같을 수도 있고 다를 수도 있다. 만약 길이가 양수인 구간에서 $f(x)$ 의 테일러 급수가 $f(x)$ 에 수렴하면 $f(x)$ 를 그 구간에서 '''해석적인 함수'''라고 부른다. = 여러 함수의 테일러 전개 = ''mv to [[테일러_전개,Taylor_expansion]]''? [[삼각함수,trigonometric_function]]를 테일러 전개하면 $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$ $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$ 참고로 윗줄을 미분하면 아랫줄이 나온다. [[지수함수,exponential_function]]을 테일러 전개하면 $e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots $ $x$ 자리에 $ix$ 를 대입하면 $e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\cdots$ $=\left( 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \right) + i\left( x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\cdots \right)$ $=\cos x+i\sin x$ 즉 [[오일러_공식,Euler_s_formula]]이 성립 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$ 가 성립하므로, $\sin x=\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)$ $\cos x=\frac{1}{2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)$ [[복소수,complex_number]]와 삼각함수의 관계가 나옴 ---- [[쌍곡선함수,hyperbolic_function]]의 테일러 전개 $\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$ $\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$ 이것은, $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$ $e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$ 와 $\sinh x=\frac12(e^x-e^{-x})$ $\cosh x=\frac12(e^x+e^{-x})$ 에서 유도 가능. ---- [[로그함수,logarithmic_function]]은 lnx가 아니라 ln(x+1) 테일러 전개가 소개되는데, 이유? $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$ CHK $\ln x=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+\cdots$ CHK ---- $\frac{1}{1+x}=$ ---- [[테일러_다항식,Taylor_polynomial]] [[테일러_정리,Taylor_theorem]] [[테일러_전개,Taylor_expansion]] ---- Ref. (ko) [[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405365&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 테일러 급수]] Google:테일러.급수 Ref. (en) [[WpEn:Taylor_series]] http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Taylor_series https://oeis.org/wiki/Taylor_series ---- tmp twin https://everything2.com/title/Taylor+Series (식이 text라 보기 힘듦) ---- Up: [[급수,series]] [[멱급수,power_series]] [[무한급수,infinite_series]]