테일러_다항식,Taylor_polynomial

어떤 함수와 유사한 다항식,polynomial.

from 수학백과 테일러 다항식
{
단 그 함수는 충분한 횟수로?? 미분가능한 함수여야되고 x 위치는 특정한 x=... 근방에서?
1차일 때는 선형근사,linear_approximation(함수는 선형화,linearization)이고 그걸 일반화한게 n차일 때의 테일러 근사(함수는 테일러 다항식)?
}


$f$ 가 $n$ 번 미분 가능한 함수일 때, $n$ 번째 테일러 다항식 $T_n(x)\;\textrm{\small at}\;a\in\mathbb{R}$ 은
$T_n(a)=f(a),$
$T_n'(a)=f'(a),$
$T_n^{\prime\prime}(a)=f^{\prime\prime}(a),$
$\vdots$
$T_n^{(n)}(a)=f^{(n)}(a)$
(여기에 설명 추가, 위에서 아래로 어떻게 전개?)
$T_n$ is given by the following formula
$T_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

x=0일 때 Taylor polynomial은,
The nth Taylor polynomial of ex at 0 is
$1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$

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고등학생을 위한 고급미적

$f(x)$ 가 $c$ 를 포함하는 열린구간에서 $n$ 번 미분 가능할 때, 다항식
$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k$
$=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n$
를 $c$ 를 중심으로 하는 $f(x)$ 의 $n$ 차 테일러 다항식이라고 부른다.
또한 $R_n(x)=P_n(x)-f(x)$ 를 $n$ 차 테일러 다항식의 나머지라고 부른다.

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TOCLEANUP completely

다항식이
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$
이고 $x=x_0$ 일 때의 모양을 알기 위하여? $f(x_0)$ 를 지나는 여러 선을 생각??

$T_n(x)$ 를 다음과 같이 정하면
$T_0(x)=a_0$
즉 상수함수, degree 0 polynomial
$T_1(x)=f_0+f'(x_0)(x-x_0)$
즉 접선,tangent_line, degree 1 polynomial
...
계속 이 짓거리를 해서 점점 근접하게 만들 수 있다. 근사,approximation

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Stewart


테일러_급수,Taylor_series의 나머지 항 공식.

테일러 급수:
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
$n$ 번째까지의 부분합,partial_sum은 $n$ th-degree Taylor polynomial of $f$ at $a:$
$T_n(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
그래서
$f(x)=T_n(x)+R_n(x)$

구간,interval $|x-a|<R$ 에서 $\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$ 을 보이면 그 구간에서 $f$ 가 테일러 급수의 합과 같음을 안다.

그렇다면 나머지 항(remainder term) $R_n(x)$ 식은

(Thm 1) $f^{(n+1)}$ 이 $a$ 를 포함한 개구간 $I$ 에서 연속이고, $x\in I$ 일 때
$R_n(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)dt$

이것을 수학적귀납법,mathematical_induction으로 증명함.
...
이후 weighted 평균값정리,mean_value_theorem,MVT 소개되고

(Thm 4) $f^{(n+1)}$ 이 $a$ 를 포함한 개구간 $I$ 에서 연속이고, $x\in I$ 일 때, $\exists c\in(a,x)$ such that
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
(Lagrange’s form of the remainder term)

증명은 파일 참조.

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Etc