'''Taylor's theorem'''

원래 [[함수,function]]와 (그것의 [[근사,approximation]]인) [[테일러_다항식,Taylor_polynomial]] 사이의 [[오차,error]]가 어느 정도인지에 대한 정리??? chk
초월함수 근사값을 구할 때 유용, 원하는 만큼 오차를 줄일 수 있어서

[[나머지항,remainder_term]]
{
페아노 나머지항 Peano remainder term
라그랑주 나머지항 Lagrange remainder term - [[평균값정리,mean_value_theorem,MVT]]의 일반화?
적분 나머지항 integral remainder form - term의 오타?
코시 나머지항 Cauchy remainder term
Curr. see [[WpKo:테일러_정리#정의]]
[[나머지,remainder]] [[항,term]]
}

See [[MIT_Single_Variable_Calculus#s-38]] - [[Taylor_s_formula]]

See also [[테일러_급수,Taylor_series]] [[테일러_다항식,Taylor_polynomial]] [[테일러_전개,Taylor_expansion]]
 and [[선형근사,linear_approximation]]

tmp links ko
https://gosamy.tistory.com/113


= 고등학생을 위한 고급미적 =
'''테일러의 정리'''
$f(x)$ 가 $c$ 를 포함하는 개구간 $(a,b)$ 에서 $n+1$ 번 미분 가능하고,
$x\in(a,b)$ 이고 $x\ne c$ 이며,
$P_n(x)$ 가 $c$ 를 중심으로 하는 $f(x)$ 의 [[테일러_다항식,Taylor_polynomial|테일러 다항식]]일 때
 $f(x)=P_n(x)+\frac{f^{(n+1)}(d)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$
을 만족시키는 점 $d$ 가 $x,c$ 사이에 존재한다.

= 수학백과 =
$(n+1)$ 번 [[미분가능성,differentiability|미분가능한]] 함수의 $n$ 차 [[테일러_다항식,Taylor_polynomial]]과 원래 함수의 오차는 $(n+1)$ 계 도함수로 표현 가능.

(정리) 원점 0을 포함하는 [[열린구간,open_interval]]에서 정의된 $(n+1)$ 번 미분가능한 함수 $y=f(x)$ 와 구간 위 임의의 점 $x$ 에 대해
 $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}$
을 만족하는 $c$ 가 $(0,x)$ 에 존재한다.

= (tmp) Taylor's thm for [[complex_function]]s =
https://everything2.com/title/Taylor%2527s+theorem+for+complex+functions

= (tmp; chk) 다변수함수의 =
// ㄷㄱㄱ Week 13-1 19m

Suppose $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$
$f(x)=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2 + c_3(x-x_0)^3 + \cdots$
> $f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!} (x-x_0)^3 + \cdots$

Suppose $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$
> $f(\vec{x})=f(\vec{x_0}) + \nabla f (\vec{x_0})(\vec{x}-\vec{x_0}) + \frac12 (\vec{x}-\vec{x_0})^T \nabla^2 f(\vec{x_0})(\vec{x}-\vec{x_0})+\cdots$


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Twins:
[[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405367&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 테일러 정리]]
[[WpKo:테일러_정리]]
https://everything2.com/title/Taylor%2527s+Theorem
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Taylor_formula