#noindex
[[스칼라,scalar]]와 [[벡터,vector]] 개념을 확장/일반화 한 것.

밑에 보니 -차원 -차 ...이것은 항상 rank? chk [[랭크,rank]]

(대충. chk)
{
[[스칼라,scalar]]는 0차원 텐서
[[벡터,vector]]는 1차원 텐서
[[행렬,matrix]]은 2차원 텐서

QQQ 여기선 [[차원,dimension]]이 rank랑 같은말인지?
QQQ rank는 linalg의 그 [[계수,rank]]와 동일한건지 아님 차이가 있는건지

텐서는 각 성분이 행렬로 이루어진 [[배열,array]]로 나타낼 수 있다?
 - data structure 표현에서만? or 일반적?

tmp bmks en
https://e-magnetica.pl/scalar_vector_tensor

텐서를 쓰는 이유 - 3차원 이상 구조의 데이터를 표현할 때를 위해? 
차원이 높은 즉 $d\ge3$ 이상의 [[공간,space]]에서 미적분학을 기술할 때 유용하다고.
그리고 다른 방식으로 [[행렬미적분,matrix_calculus]]? WpEn:Matrix_calculus
and [[텐서미적분,tensor_calculus]]? WpEn:Tensor_calculus
}

필수 특성:
좌표독립성 coordinate_independence (coordinate independent) - [[좌표,coordinate]]에 [[독립,independence]].
좌표불변성 coordinate_invariance (coordinate invariant) - [[불변성,invariance]]

A [[계수,rank|rank]]-n '''tensor''' in m-[[차원,dimension|dimension]]s is a mathematical object that has n indices and m^^n^^ components and obeys certain [[변환,transformation|transformation]] rules.
변환을 해도, 의미가 변하지 않는, 숫자나 숫자들의 collection.
(성질을 다 만족 안하고 비슷한???) pseudotensor가 있음. CHK [* https://www.youtube.com/watch?v=bpG3gqDM80w 40s]

Sub:
 * [[변형력텐서,stress_tensor]] 응력텐서 [[변형력,stress]] ... https://encyclopediaofmath.org/wiki/Stress_tensor
 * [[텐서곱,tensor_product]] - writing
 * [[계량텐서,metric_tensor]] - writing
 * [[대칭텐서,symmetric_tensor]] - 아래 언급있음 나중에 fork. / writing
 * 치환텐서 permutation_tensor - sim. [[레비치비타_기호,Levi-Civita_symbol]] ... https://mathworld.wolfram.com/PermutationTensor.html
 * 추가할 sub들 writing(텐서 섹션에.)

<<TableOfContents>>

= old tmp =
확실: 스칼라와 벡터는 '''텐서'''의 특수한, 심플한 경우임. (다만 좌표독립은 필수)

[[실수,real_number]]/[[스칼라,scalar]]는 0차 텐서,
[[벡터,vector]]는 1차 텐서,
[[행렬,matrix]]은 2차 텐서 이런 식??
[[차원,dimension]]에 따라 저렇게 나뉨?

[[http://mathworld.wolfram.com/TensorRank.html]] 관련page?
 rank는 뭐임?
 linalg의 [[계수,rank]]와 관계?

물리와 수학에서 의미 차이가 약간 있는 것 같은데..

[[Date(2020-11-16T04:26:40)]]
텐서의 특징은 좌표불변(coordinate_independent or coordinate_invariant) 좌표독립? (아무튼 [[좌표,coordinate]]관련)

[[아인슈타인_표기법,Einstein_notation]]이 매우 자주 쓰이는 듯.

[[레비치비타_기호,Levi-Civita_symbol]]는 유사텐서라고도 하고[* ] 치환텐서라고도 하는데[* WpKo:레비치비타_기호] 어떤 것들인지....

[[Date(2022-07-03T12:30:18)]] via [https://tech.kakao.com/2022/05/13/theoretical-physicist/ 카카오로 간 이론물리학자]
 * 물리학에서는 텐서의 의미를 가지려면 general coordinate transformation(일반화 좌표 변환)에 covariant(공변)해야 한다는 조건이 필요하지만, 보통 flat한 시공간에서는 중요한 조건이 아님.
 * 성질로 rank가 있으며 rank가 커질수록 [[인덱스,index]] 개수가 늘어남. rank가 커진다고 [[차원,dimension]]이 커지는 것은 아님.

= tmp links ko =
초보용, casual, 감잡기용
https://blog.naver.com/leeneer/220924950140

이것도 엄밀함을 포기하고 쉽게 (학부과정 물리에만 한정해서) 텐서 개념 설명.
물리학에서 텐서란? Tensor
https://freshrimpsushi.github.io/posts/tensor/

아래 블로그 Tensor 카테고리에 16개의 글 있으며
https://blog.naver.com/mykepzzang/221354031398 이게 첫 글.

텐서와 상대론 (Tensor and Relativity) - 0. 텐서 (Tensor) 란?
https://kipid.tistory.com/entry/Tensor

= 대칭텐서와 비대칭텐서 =
Symmetric tensor & antisymmetric tensor
A is symmetric ⇔
 $A=A^t$ 또는
 $A_{ij}=A_{ji}$
A is antisymmetric ⇔
 $A=-A^t$ 또는
 $A_{ij}=-A_{ji}$

MKLINK [[symmetry]] [[antisymmetry]]

= magnitude, number, scalar의 차이? + tensor 소개 =

// 요약 from https://m.blog.naver.com/rlaghlfh/220914107525 (텐서에 대한 글) 앞부분; etc CHK

||number숫자 ||크기magnitude만을 뜻함, 개수(how many?)는 이걸로 충분. ||
||scalar ||위에, 정보가 추가됨. 이 글에선 [[단위,unit]]가 추가됨. (Q: 항상 단위만?) <<br>>ex 온도, 거리 등은 이걸로 충분. ||
||vector ||위에, [[방향,direction]]정보가 추가됨. <<br>>ex 속도, 운동량 등. ||

(이하 텐서 소개)

방향과 크기를 다 바꾸려면?
벡터에다가 곱을 하면....
 스칼라곱은 크기는 달라져도 방향은 바꾸지 않는다.
  반대방향도 가능하지 않나? CHK 아무튼 최대 두 개만 가능.
 cross product는 무조건 직각인 방향으로만 방향을 바꾼다.

일단 rank를 알아보면
||                 ||              ||       ||''3차원에서?''                         ||ex. ||
||tensor of rank 0 ||rank-0 tensor ||scalar ||크기만 나타내는 1개 성분               ||{{{[1]}}} ||
||tensor of rank 1 ||rank-1 tensor ||vector ||크기와 1개의 방향을 나타내는 3개 성분  ||{{{[1,1]}}} ||
||tensor of rank 2 ||rank-2 tensor ||dyad   ||크기와 2개의 방향을 나타내는 9개 성분  ||{{{[[1,1],[1,1]]}}} ||
||tensor of rank 3 ||rank-3 tensor ||triad  ||크기와 3개의 방향을 나타내는 27개 성분 ||{{{[[[1,1],[1,1]],[[1,1],[1,1]]]}}} ||
||tensor of rank ''n'' ||rank-''n'' tensor ||? ||? || ||
You see, rank가 n이면 성분은 3^^n^^개로.
rank대신 order, degree 용어도 쓰나 보다.

차수(rank or order)로 설명하는 '''텐서'''와 벡터/행렬/dyad/triad/etc.와의 관계
(Q: 행렬/선대의 차수/[[계수,rank]]와 관련은? (이건 있을 듯) [[미분방정식,differential_equation]]의 계수(order, 최대미분회수)와 같은 단어 썼는데 혹시 관련은?(이건 없을듯))
||0차 텐서 ||벡터가 0개 ||스칼라임 ||
||1차 텐서 ||벡터가 1개 ||벡터임 ||
||2차 텐서 ||벡터가 2개 일렬 ||행렬이나 dyad임 ||
||3차 텐서 ||벡터가 3개 일렬 ||triad임 ||
(Q: 일렬은 permutation을 뜻하나?)
위 관계의 역은 항상 성립하지 않음. 텐서가 벡터, 행렬, dyad와 유사하지만 같지는 않음. 반드시 좌표독립 특성을 가져야 함. 행렬, 벡터가 좌표불변성을 가지면 바로 텐서가 될 수 있음.

어원: tensus (Latin for 'stretch')
역사적으로 [[변형력,stress|stress]] tensor에서 시작된 듯. 
처음? 초기에? 텐서 개념 출발이 응력텐서(stress tensor) 관련인 듯 한데. CHK. (응력에 대해선 [[변형력,stress]] 참조)
tension(영어: 장력, 팽팽하게 함, etc.)과 어원이 같은가?

= from Science Asylum =
https://www.youtube.com/watch?v=bpG3gqDM80w

----
stress tensor
[[변형력,stress]]

Stress-Force Law는
 $F=\begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_x\\A_y\\A_z\end{bmatrix}$
여기서
 $F$ : [[힘,force]]
 왼쪽 행렬은 stress tensor
 오른쪽 벡터는 area vector (directional area faces)

----
electromagnetic tensor
[[전자기학,electromagnetism]]
는 이렇게 생김
$\begin{bmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&B_z&-B_y\\-E_y&-B_z&0&B_x\\-E_z&B_y&-B_x&0\end{bmatrix}$

혹은 array로 값들을 오른쪽으로 align하면,
$\left[\begin{array}{rrrr}0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&B_z&-B_y\\-E_y&-B_z&0&B_x\\-E_z&B_y&-B_x&0\end{array}\right]$

[[로런츠_힘,Lorentz_force]]은
$F=q\begin{bmatrix}0&E_x&E_y&E_z\\-E_x&0&B_z&-B_y\\-E_y&-B_z&0&B_x\\-E_z&B_y&-B_x&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\gamma\\\gamma v_x\\\gamma v_y\\\gamma v_z\end{bmatrix}$

= tmp; relativity =
일반상대론([[일반상대성,general_relativity]] { [[WpEn:General_relativity]] } 이론)에서 [[시공간,spacetime]]의 [[곡률,curvature]]을 이해하려면 tensor 개념이 필요.
mklink:
[[리만_곡률텐서,Riemann_curvature_tensor]] aka [[리만_텐서,Riemann_tensor]](MW, EoM) { [[WpEn:Riemann_curvature_tensor]] [[WpKo:리만_곡률_텐서]] https://mathworld.wolfram.com/RiemannTensor.html [[MathNote:리만_곡률_텐서]] https://encyclopediaofmath.org/wiki/Riemann_tensor }
 rel. [[리만_곡률,Riemann_curvature]] { https://ncatlab.org/nlab/show/Riemann+curvature }
[[리치_곡률텐서,Ricci_curvature_tensor]] { https://mathworld.wolfram.com/RicciCurvatureTensor.html [[WpKo:리치_곡률_텐서]] }
 rel. [[리치_곡률,Ricci_curvature]] { [[WpEn:Ricci_curvature]] https://ncatlab.org/nlab/show/Ricci+curvature }
[[바일_곡률텐서,Weyl_curvature_tensor]] aka [[바일_텐서,Weyl_tensor]] { https://mathworld.wolfram.com/WeylTensor.html [[WpKo:바일_곡률_텐서]] https://ncatlab.org/nlab/show/Weyl+tensor }
[[스칼라곡률,scalar_curvature]] { [[스칼라,scalar]] [[곡률,curvature]] ... "[[리치_곡률텐서,Ricci_curvature_tensor]]의 [[대각합,trace]]"(wpko) [[WpEn:Scalar_curvature]] [[WpKo:스칼라_곡률]] Google:scalar.curvature }

----
AKA 다중선형사상(multilinear map) (wpko) Srch:multilinear_map
 - 다중 [[선형사상,linear_map]]?

related: [[다중선형대수,multilinear_algebra]] up?

Twins:
 https://ghebook.blogspot.kr/2011/06/tensor.html
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1152933&cid=40942&categoryId=32227 두산백과: 텐서]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5810670&cid=60217&categoryId=60217 물리학백과: 텐서]]
 mentions: [[벡터공간,vector_space]] [[쌍대공간,dual_space]] [[텐서곱,tensor_product]] [[아인슈타인_표기법,Einstein_notation]] [[기저,basis]] [[반변계수,contravariant_rank]] [[공변계수,covariant_rank]]
https://everything2.com/title/tensor

[[WpSimple:Tensor]]
[[WpKo:텐서]]
[[WpEn:Tensor]]
http://oeis.org/wiki/Tensors

delme tmp
https://wiki.dcinside.com/wiki/텐서
특성상 동영상이 도움된다. (for visualization) YouTube:텐서 YouTube:tensor

Up:
 [[수학,math]]
  [[선형대수,linear_algebra]]?
 [[물리학,physics]]