AKA '''wavefunction''' 파동량을 공간, 시간에 대한 함수로서 기술할 수 있다. [[complex-valued_function]]임. 기호 $\psi,\,\Psi$ $\Psi(x,y,z,t)$ or $\Psi(\vec{r},t)$ [[벡터,vector]]로 표기하면([[브라켓표기법,bra-ket_notation]] / [[디랙_표기법,Dirac_notation]]) $|\psi\rangle$ or $|\psi(t)\rangle$ 등등. ---- [[파동방정식,wave_equation]]의 [[해,solution]]. '''파동함수'''는 [[힐베르트_공간,Hilbert_space]]의 [[벡터,vector]]이다. ([[슈뢰딩거_방정식,Schroedinger_equation]] 등 파동방정식의 해인) "파동함수를 [[제곱,square]]하면 [[입자,particle]]의 존재확률이지만, 파동함수 그 자체의 값은 의미를 알 수 없음" chk; from https://blog.naver.com/cwhaha/70074757638 //물백 [[양자역학,quantum_mechanics]]에서 양자계의 상태를 나타내는 복소함수. [[상태함수,state_function]]라고도 한다. ''1. 물리에서? 2. 그럼 파동함수는 상태함수의 일종?'' 물질의 파동성 때문에 계''(양자계?)''의 시간에 따른 변화는 파동의 진행''(propagation? [[WpEn:Wave_propagation]] 이거?)''과 비슷하며 [[슈뢰딩거_방정식,Schroedinger_equation]]으로 기술된다. QM의 표준해석인 통계적 해석 즉 [[코펜하겐_해석,Copenhagen_interpretation]]에 따르면, '''파동함수'''의 절대값 제곱은 물질이 입자성을 가지고 어떤 위치에서 발견될 확률밀도(rel. [[확률밀도함수,probability_density_function,PDF]])를 알려준다. ....(2. 복소함수, 중첩) 파동함수는 복소함수인데 복소함수는 크기''magnitude?'' 뿐만 아니라 [[위상,phase]]을 가지고 있으므로 파동의 중요한 성질인 [[간섭,interference]]을 잘 기술할 수 있다. [[파동방정식,wave_equation]]은 [[선형방정식,linear_equation]]이므로 복소함수는 [[벡터,vector]]와 비슷한 성질을 많이 갖고 있다. 두 파동함수의 합 및 이를 일반화한 여러 파동함수의 [[선형결합,linear_combination]]으로 '''파동함수'''를 만들 수 있다. 복소함수의 선형결합은 [[위상차,phase_difference]] 때문에 상쇄되어 전체 함수의 크기가 작아질 수도 있다. 이러한 성질을 [[중첩,superposition]]이라고 한다. / 이러한 함수들의 집합은 수학에서 [[힐베르트_공간,Hilbert_space]]으로 잘 알려져 있다. ....(3. 통계적 해석).... 똑같은 양자계가 여러 개 있다고 가정하자. 이를 [[앙상블,ensemble]]이라 한다. .... <> = from ktword 파동함수 ; chk = [[시간,time]]과 [[공간,space]]에 대해 - 항상? == 공간만 고려한 파동함수의 표현 == $\Psi(\vec{r})=A\cos(\vec{k}\cdot\vec{r})$ (또는 cos대신 sin) $\Psi(\vec{r})=Ae^{j\vec{k}\cdot\vec{r}}$ 공간에서 반복되는 것을 표현하면 $\Psi(\vec{r})=\Psi(\vec{r}+\lambda \frac{\vec{k}}{k})$ $\lambda$ : [[파장,wavelength]] $k$ : [[파수,wavenumber]] $\vec{k}/k$ : $\vec{k}$ 방향(???)의 단위벡터 == 시간도 고려해서, 진행하는 파로써 파동함수의 표현 == 길어서 생략. tbw. = wave page에 있던거 = { Ψ^^2^^ = [[확률밀도,probability_density]] 확률이 0이 되는 부분이 [[마디,node]] * 파동 함수 자체는 측정하거나 관찰 불가 * 파동 함수의 절대값의 제곱은 특정 위치에서 입자를 발견할 확률 밀도를 알려줌, 이 값에 주변 부피를 곱하면 그 공간에서 입자를 발견한 확률 Ref: http://physica.gsnu.ac.kr/phtml/wave/wave/represent/represent.html [[슈뢰딩거_방정식,Schroedinger_equation]] [[오비탈,orbital]]과 같은 것? } = tmp 1 = from https://m.blog.naver.com/spin898/221155896887 /* 1차원 '''파동함수 wave function'''을 fourier series로 분석 */ 오른쪽(+)으로 진행하는 1-D sinusoidal wave function은 이렇게 표기: $f(x,t)=f_m\sin(kx-\omega t)$ 여기서 $f_m$ : 진폭 $k$ : 각파동수 angular wave number (see [[파수,wavenumber]]) $2\pi$ 안에 공간주기 $\lambda$ ([[파장,wavelength]]) 가 몇 번 들어있는지를 알려줌. $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ $\omega$ : 각진동수 angular frequency (see [[각진동수,angular_frequency]]) $2\pi$ 안에 시간주기 $T$ ([[주기,period]]) 가 몇 번 반복되는지를 알려줌. $\omega=\frac{2\pi}{T}$ (이상 두 개는 [[주기,period]]였음) 바로 위에 두 개 짧게 나온 $k,\omega$ 식으로 저 위에 '''wave function''' 식을 다시 쓰면 $f(x,t)=f_m \sin 2\pi \left( \frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T} \right)$ [[푸리에_급수,Fourier_series]]는 기본적으로 1변수 함수에 대한 급수전개([[멱급수,power_series]] [[전개,expansion]])이다. 따라서 2변수를 갖는 '''파동함수'''의 경우 둘 중 하나가 통제된(고정된) 함수를 [[기저함수,basis_function]](curr [[기저,basis]])로 사용하게 된다. 따라서 주기가 각각 $\lambda,T$ 인 다음 두 함수를 쓴다. $f_n(x)=\sin\left( \frac{2n\pi x}{\lambda} \right)$ $f_n(t)=\sin\left( \frac{2n\pi t}{T} \right)$ 이걸 실제 '''파동함수''' 꼴로 바꿔주면 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n\cos\frac{2n\pi x}{\lambda} + b_n \sin \frac{2n\pi x}{\lambda} \right)$ $\begin{cases} \displaystyle a_n=\frac2{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{+\lambda/2}f(x)\cdot \cos \frac{2n\pi x}{\lambda} dx\\ \displaystyle b_n=\frac2{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{+\lambda/2}f(x)\cdot \sin \frac{2n\pi x}{\lambda} dx\end{cases}$ $\displaystyle f(t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos \frac{2n\pi t}{T} + b_n \sin \frac{2n\pi t}{T} \right)$ $\begin{cases}\displaystyle a_n=\frac2T \int_{-T/2}^{+T/2} f(t)\cdot \cos \frac{2n\pi t}{T} dt \\ \displaystyle a_n=\frac2T \int_{-T/2}^{+T/2} f(t)\cdot \sin \frac{2n\pi t}{T} dt \end{cases}$ == Fourier 급수 복소수 표현 == $e^{i\pi}+1=0$ $e^{ikx}=\cos kx+i\sin kx$ $e^{-ikx}=\cos kx-i\sin kx$ 여기서 $\cos kx=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}$ $\sin kx=\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}$ 이고 이걸 써서 Fourier series에 기저함수로 쓰이는 삼각함수의 주기와 관련한 인자를 $\lambda,T$ 를 써서 다시 표기하면 $\cos\frac{2n\pi x}{\lambda}=\frac{e^{i \frac{2n\pi x}{\lambda}}+e^{-i \frac{2n\pi x}{\lambda}}}{2}$ $\sin\frac{2n\pi x}{\lambda}=\frac{e^{i \frac{2n\pi x}{\lambda}}-e^{-i \frac{2n\pi x}{\lambda}}}{2i}$ $(n=1,2,3,\ldots)$ 이제 원래 Fourier series의 cos과 sin 항을 모두 지수함수로 바꿔 쓰면 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cdot\left(\frac12\right)\cdot\left(e^{i\frac{2n\pi x}{\lambda}}+e^{-i\frac{2n\pi x}{\lambda}}\right)+b_n\cdot\left(\frac1{2i}\right)\cdot\left(e^{i\frac{2n\pi x}{\lambda}}-e^{-i \frac{2n\pi x}{\lambda}}\right)\right]$ $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left [ \left(\frac{a_n}{2}+\frac{b_n}{2i}\right) e^{i \frac{2n\pi x}{\lambda}} + \left(\frac{a_n}{2}-\frac{b_n}{2i}\right) e^{-i \frac{2n\pi x}{\lambda}} \right]$ $a_n,b_n$ 이 포함된 ( ) 안의 항을 각각 $c_n,c_{-n}$ 으로 표기하면 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[ c_ne^{i\frac{2n\pi x}{\lambda}} + c_{-n}e^{-i \frac{2n\pi x}{\lambda}}\right]$ $n=0$ 인 경우 $c_0$ 라 하고, 등등, 하여 간단히 하면 $f(x)=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}c_ne^{i\frac{2n\pi x}{\lambda}}$ (복소수 형태의 Fourier series.) 이제 계수 $c_n$ 을 결정하려면? (중간 생략) $c_n=\frac2{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{+\lambda/2}f(x)\cdot e^{-i \frac{2n\pi x}{\lambda}}dx$ 그리하여 최종정리하면 $f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n\cos\frac{2n\pi x}{\lambda} + b_n\sin\frac{2n\pi x}{\lambda} \right) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i\frac{2n\pi x}{\lambda}}$ 그리고 $a_n=\frac2{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2} f(x) \cos \frac{2n\pi x}{\lambda} dx$ $b_n=\frac2{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2} f(x) \sin \frac{2n\pi x}{\lambda} dx$ $c_n=\frac1{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2} f(x) e^{-i \frac{2n\pi x}{\lambda}}dx$ 간단히 하기 위해 주기가 $2\lambda,2T$ 인 함수를 고려하면 식의 2를 없앨 수 있다 (적분 상한 하한도 $\lambda$ 로 바뀜) $f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n\cos\frac{n\pi x}{\lambda} + b_n\sin\frac{n\pi x}{\lambda}\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{i \frac{n\pi x}{\lambda}}$ 그리고 $a_n=\frac1{\lambda}\int_{-\lambda}^{\lambda} f(x) \cos \frac{n\pi x}{\lambda} dx$ $b_n=\frac1{\lambda}\int_{-\lambda}^{\lambda} f(x) \sin \frac{n\pi x}{\lambda} dx$ $c_n=\frac1{2\lambda}\int_{-\lambda}^{\lambda} f(x) e^{-i \frac{n\pi x}{\lambda}}dx$ 공간이 아니라 시간일 때는 $(x\to t,\; \lambda\to T)$ 로만 바꿔주면 됨. = 기타/관련 = 다음에서 파동함수가 언급. TOLINK [[양자역학,quantum_mechanics]] [[오비탈,orbital]] - 원자나 분자 내 전자나 전자쌍의 '''파동함수''' 인가?? CHK ---- https://everything2.com/title/wavefunction [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3537333&cid=60217&categoryId=60217 물리학백과: 파동함수]] Up: [[파동,wave]] [[함수,function]] > [[complex-valued_function]]