기호: d, $d$ 대신 ∂, $\partial$ ("partial"로 읽음) 사용 ([[TeX_및_LaTeX_수식_문법|TeX symbol]] \partial)

편도함수를 구한다 = 편미분한다

$f(x,y)$ 를 $x$ 에 대해 편미분했다면,
$f(x,y)$ 의 $x$ 에 관한 편도함수:
 $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$

$f(x,y)$ 를 $y$ 에 대해 편미분했다면,
$f(x,y)$ 의 $y$ 에 관한 편도함수:
 $f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$

----
일변수함수 $f(x)$ 의 $x$ 에 대한 미분은
 $f_x(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
다변수함수 $f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)$ 의 [[독립변수,independent_variable]] $x_i$ 에 대한 '''편미분'''은
 $f_{x_i}(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)$
 $=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)$
 $=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_1,\ldots,x_i+h,\ldots,x_n)-f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)}{h}$
(from 수학백과: 편미분)

<<TableOfContents>>

= 표기 notation =
∂를 쓰는 Leibniz방식과, subscript notation이 있음.

$f_{xx}=(f_x)_x=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$
$f_{xy}=(f_x)_y=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$
$f_{yx}=(f_y)_x=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$

tmp see also / tmp curr goto [[미적분,calculus#s-5.1]]

= Clairaut's theorem =
f(x, y)가 점 (a, b) 주변의 모든 점에서 f,,xy,,, f,,yx,,가 존재하고 연속이면
> $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$
----
편미분 '교환법칙'
''즉 [[교환법칙,commutativity]]과 유사? 일종?''

$\mathbb{R}^2$ 의 [[열린집합,open_set]]에서 정의된 함수 $f(x,y)$ 가 정의역의 점 $p$ 에서 두번 [[미분가능성,differentiability|미분가능]]하면,
 $f_{xy}(p)=f_{yx}(p)$
이다. [[평균값정리,mean_value_theorem,MVT]]로 증명한다.[* 수학백과: 편미분]

----
see also (short) 아래 '수학백과: 편미분'의 4.편미분 교환법칙

비슷한 느낌의 정리가 [[푸비니_정리,Fubini_theorem]]

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125484&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 편미분 교환법칙]]

= 편미분방정식(PDE) =
[[편미분방정식,partial_differential_equation,PDE]]




= [[연쇄법칙,chain_rule]] =
1변수의 경우,
Leibniz's notation으로는
${dz\over dx}={dz \over dy}\cdot{dy \over dx}$

2변수라면?
 $z=f(x,y),$
 $x=g(t),\; y=h(t)$ : 미분가능
$\rightarrow z=f(g(t),h(t)),\; t\mapsto z$
 $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}$
그리고...
 $\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}$
cleanup



Notation:
 $\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial s}&\frac{\partial z}{\partial t}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial z}{\partial x}&\frac{\partial z}{\partial y}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial s}&\frac{\partial x}{\partial t}\\ \frac{\partial y}{\partial s}&\frac{\partial y}{\partial t}\end{pmatrix}$
이것은
 $\frac{\partial z}{\partial(s,t)}=\frac{\partial z}{\partial(x,y)}\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}$

"Jacobian matrix"

see [[야코비안,Jacobian]]

= 미분과 편미분의 비교(도함수와 편도함수의 비교) =
미분(도함수) - see [[미분,derivative]]
 $y=f(x)$
 $\frac{dy}{dx}=\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}$
'''편미분(편도함수)'''
 $u=f(x,y)$
 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{f(x+dx,y)-f(x,y)}{dx}$
 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}$
// from 차동우 https://youtu.be/IAIADoy83as?t=368

= etc =
Related:
 [[기울기벡터,gradient_vector]]

Compare:
 [[편미분,partial_differentiation]]
{
https://ncatlab.org/nlab/show/partial+differentiation
}
 [[전미분,total_differentiation]]?
 [[전미분,total_differential]]?
 [[전미분,total_derivative]]?

Zill 표지 적분표에 이런게 있는데 뜻/유도법/활용예/외울가치있는지??

38. $\frac{d}{dx}\int_a^b g(x,t)dt=\int_a^b\frac{\partial}{\partial x}g(x,t)dt$

=> [[Date(2023-05-13T14:28:32)]] 이것의 이름은 [[라이프니츠_적분규칙,Leibniz_integral_rule]]

----
Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405385&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 편미분]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405384&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 편도함수]]
https://planetmath.org/partialderivative
https://mathworld.wolfram.com/PartialDerivative.html
[[WpEn:Partial_derivative]]
[[WpKo:편미분]]

Up: [[미적분,calculus]], [[미분,derivative]]

----
각각 x축 y축 방향만으로의 [[기울기,slope]]를 의미하는지? CHK

다변수함수의 미분에 관해서, '''편미분'''은 변수 하나만 ... 전미분{ [[전미분]] KmsK:전미분 Ndict:전미분 }은 모든 변수를... ? CHK

'''편미분'''은 [[방향도함수,directional_derivative]]의 특수한 경우 ? [[https://namu.wiki/w/%EB%8D%B8(%EC%97%B0%EC%82%B0%EC%9E%90) src]]

[[Date(2023-11-18T06:04:44)]]
[[편미분,partial_differentiation]]과 [[편도함수,partial_derivative]]로 나누는 건 어떨지? (mkl [[도함수,derivative]])
Ggl:"Define: partial differentiation"

chkout:
WtEn:partial_differentiation
WtEn:partial_differential
WtEn:partial_derivative
WtEn:total_differentiation
WtEn:total_differential
WtEn:total_derivative