평면,plane


cross_section = cross-section : 3D 공간의 무언가(solid body)와 평면,plane의 intersection. (we)
WpKo:단면
WpSp:Cross_section_(geometry)
WpEn:Cross_section_(geometry)
'절단면' via KmsE:cross section

TODO
이하 주로 (유클리드)기하학의 유클리드_평면,Euclidean_plane얘기이며 다른 평면 언급되면 분리
다른평면들이란 ex.
복소평면,complex_plane of 복소해석
이건 유클리드평면에다가 해석만 덧붙인 것이라도 봐도 되나?
사영평면,projective_plane of 사영기하(학),projective_geometry
이건 유클리드평면과 구별되는 게 아니라 유클리드평면에 어떤 특이적인(singular-, 무한 관련) 특성을 추가한??? chk
hyperplane - plane의 다차원 일반화,generalization. 번역 TBD, KmsE:hyperplane KpsE:hyperplane WtEn:hyperplane Ndict:hyperplane
(QQQ 곡면,surface도 평면의 일반화? - 평평하지 않은 경우까지를 포함하는 일반화,generalization로 볼 수 있음?)

// 이 둘 분류 mk - 어디 아래에 분류하는게 최선인지,
s평면,s-plane - continuous_time, Cartesian, 라플라스_변환,Laplace_transform ... WpEn:S-plane Naver:s-plane Ggl:s-plane Bing:s-평면
z평면,z-plane - discrete_time, polar, Z변환,Z-transform ... AKA z-domain ... WpEn:Z-plane Naver:Z-plane Ggl:Z-plane Bing:z-평면
... Google:s-plane z-plane

noncompact 2차원 다양체,manifold. Ggl:non-compact 2D manifold

QQQ 직선,line의 일부는 선분,line_segment? 구간,interval...? 성질은 길이,length? / 평면의 일부는? 영역,region? 성질은 넓이,area? 정확히.
- 사면체,tetrahedron는 "4개의 삼각평면으로 둘러싸인" ...( Ndict:사면체 ) 저때는 =면,face?

평평한(flat) 면(surface).

성질:
* 평평함
* 무한히 뻗어나감

//평면의 결정 조건? chk :
* 임의의 세 noncollinear(동일직선상에 있지 않은) 점들
* 임의의 두 distinct intersecting lines
lie on one and only one plane. (https://www.mathwords.com/p/plane.htm)

// tmp from http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1141060 김도형 6. 22m
{
... 평면은 평면위의 한 점,point과 평면에 수직인 벡터,vector $\vec{n}$ (법선벡터,normal_vector)로 결정된다.

1.
점 $\vec{r_0}$ 를 지나고 법선벡터가 $\vec{n}$ 인 평면 위의 임의의 점을 $\vec{r}$ 이라 하면
$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0$
or
$\vec{r}\cdot\vec{n} = \vec{r_0}\cdot\vec{n}$

2.
$\vec{r}=(x,y,z),\;\vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0),\;\vec{n}=(a,b,c)$ 라 하면
$(a,b,c)\cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0$
$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$
따라서
$ax+by+cz = ax_0+by_0+cz_0$
그래서 방정식은 (우변의 상수를 $d$ 라 한다면)
$ax+by+cz=d$

평면 위의 임의의 점 $(x,y,z)$ 는 위의 방정식을 만족시킨다.
역으로, 위 방정식을 만족시키는 $(x,y,z)$ 를 모두 모아놓으면 그것은 평면이 된다.
}

좌표공간에서 방정식,equation:
$ax+by+cz+d=0$

미지수가 3개인 일차방정식과 equiv? chk

점 $A(x_1,y_1,z_1)$ 을 지나고, $\vec{n}=(a,b,c)$ 에 수직인 평면의 방정식:
$a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$
이 때 $\vec{n}$ 을 이 평면의 법선벡터라고 함.
형태의 명칭은 point-normal form

법선벡터 n을 사용한 평면의 방정식:
$\vec{n}\cdot\vec{P_0P}=0$
여기서 점 $P_0(x_0,y_0,z_0),P(x,y,z)$
Ex.
점 $P_0(1,2,3)$ 을 지나고 $\vec{n}=\langle 4,5,6 \rangle$ 에 수직인 평면?
$\vec{P_0P}=\langle x-1,y-2,z-3\rangle$
$\vec{n}\cdot\vec{P_0P}=\langle 4,5,6 \rangle\cdot\langle x-1,y-2,z-3\rangle$
$=(4x-4)+(5y-10)+(6z-18)=0$
(Bazett)

점,point, 직선,line과 더불어 무정의용어이며 몇가지 공리로 다룸.
점과 평면 사이의 거리 생각 가능. see 거리,distance
평면 위의 좌표계,coordinate_system 는 평면직교좌표계와 평면극좌표계가 있음.
만나는 평면-평면, 선-평면 사이의
각,angle이 있음.
직교하는(orthogonal, perpendicular) 경우를 생각 가능.
한 평면에 대해 수직인 벡터인 법선벡터,normal_vector를 생각 가능.
법선벡터가 평행인 두 평면은 평행.

2차원 도형. (two-dimensional figure)
Q: 차원,dimension
평면은 항상 2차원? Yes. 한 차원을 더하면 공간,space?
4차원이면 초평면,hyperplane?

평면,plane보다 더 일반적인 것은 곡면,surface. 곡면 중 모든 방향으로 뻗어나가고 평평한 특수한 경우가 평면.
...차원을 일반적으로 하면 초평면,hyperplane(작성중)?? 공간,space?

tmp from https://m.blog.naver.com/ooooooooooo0/220514585313
Frenet-Serret, TNB 관련
법평면 normal_plane
{
곡선 C 위의 점 P에서 법선벡터,normal_vector $\vec{N}$ 과 종법선벡터 binormal_vector $\vec{B}$ 에 의해 결정되는 평면을 P에서 C의 법평면(normal plane)이라 한다.
법평면은 접선벡터(=접벡터,tangent_vector) $\vec{T}$ 와 직교하는 모든 직선들로 구성된다.
(Stewart 8e ko p718)
}
전직평면 rectifying_plane
접촉평면 osculating_plane
{
/// 위 법평면설명에 이어
벡터 $\vec{T}$ 와 $\vec{N}$ 에 의해 결정되는 평면을 P에서 C의 접촉평면(osculating plane)이라 한다.
이것은 P 부근의 곡선 부분을 포함하는 가장 가까운 위치의 평면이다.
(평면곡선,plane_curve의 경우 접촉평면은 간단히 그 곡선을 포함하는 평면이다.)
(Stewart 8e ko p718)
}

[edit]

MOVED FROM 기하학, MERGE

{
행렬,matrix의 행렬식,determinant을 이용한 표현:
서로 다른 세 점 $(x_1,y_1,z_1),\;(x_2,y_2,z_2),\;(x_3,y_3,z_3)$ 를 지나는 평면의 방정식은
$\begin{vmatrix}1&x&y&z\\1&x_1&y_1&z_1\\1&x_2&y_2&z_2\\1&x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}=0$

복소평면,complex_plane
AKA z평면, z-plane (보통 복소수를 z=x+iy로 표현하기 때문)
가우스-아르강 평면 Gauss-Argand plane
가우스 평면 Gaussian plane
같은거?
이런 표현 방식을 Argand diagram으로도 부름


표현
좌표평면 coordinate plane - 좌표,coordinate 좌표계,coordinate_system, 좌표평면,coordinate_plane
동일평면상의 coplanar
유클리드 평면 Euclidean plane
접촉평면 osculating plane - QQQ 접평면,tangent_plane과 차이점/관계?
위상평면 phase plane - 위상,phase
평면의, 평면적인 planar
[http]기타: kms 평면 검색
}

[edit]

평면의 방정식 (Thomas)

점,point $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 를 지나고, 법선벡터,normal_vector $\vec{n}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}$ 에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같은 형태로 표현된다.

벡터 방정식
$\vec{n}\cdot\overrightarrow{P_0P}=0$

성분 방정식
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

성분 방정식의 일반형
$Ax+By+Cz=D$
여기서, $D=Ax_0+By_0+Cz_0$

표현
plane n. 평면 adj. 평면인, 평평한 (근데 adj 여기엔 flat, level이 더 어울리는 듯)
planar /플레이너/ adj. 평면의