표본공간,sample_space

기호: Ω 또는 S (Ω는 비교적 어려운 글, S는 비교적 쉬운 글에서 쓰는 것 같은데)

Set of all possible outcomes
확률실험,random_experiment에서 발생 가능한 모든 결과,outcome들의 집합,set
시행,trial을 했을 때 일어날 수 있는 모든 결과를 모은 집합

Ex.
주사위를 던지는 시행의 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
동전을 던지는 시행의 표본공간은 {H, T}
동전을 차례로 두 번 던지는 시행의 표본공간은 {HH, HT, TH, TT}
처음 앞면이 나올 때 까지 동전을 던진 횟수를 세는 실험의 표본공간은 {1, 2, 3, …}
트랜지스터 수명을 측정하는 실험에서 표본공간은 $[0,\infty)$
이렇게 countable(discrete)하기도 하고 continuous하기도 하다.

표본공간분할,partition 가능.
표본공간부분집합,subset사건,event이라고 한다.
표본공간의 원소나 한 점은 결과,outcome.
근원사건,elementary_event,
sample_point도 거의 같은 뜻인데, 차이가 있는지 CHK - 결과outcome은 원소이고 근원사건elementary_event은 1원소집합(singleton). CHK - src?
표본공간확률,probability은 1이다. P(S)=1.

확률변수,random_variable표본공간을 정의역으로, 실수의 부분집합을 치역으로 갖는 함수.

표본공간이 갖는 성질(property)은 다음과 같다. (from [https]https://blastic.tistory.com/155)
  1. finest-grain: 모든 가능한, 구별가능한 outcome들은 개별적으로 정의되어야 한다.
  2. mutually exclusive: 어떤 두 개 이상의 outcome이 동시에 발생할 수 없어야 한다.
  3. collectively exhaustive: 모든 outcome은 sample space에 포함되어야 한다.
// 2, 3은 MECE - see 분할,partition

표본공간은 이산적일 수도, 연속적일 수도 있다. 이산형표본공간 discrete_sample_space 그리고 연속형표본공간 continuous_sample_space
이산표본공간 discrete sample space
finite or countable infinite
연속표본공간 continuous sample space
uncountable infinite

이렇게 양분/이분,bipartition되는지 chk. 이것들 subs인지 chk
  • finite_sample_space
  • infinite_sample_space

표본공간차원,dimension이 둘 이상일(multidimensional) 수 있다. 보통 1D이면 수직선에, 2D이면 평면에 나타냄. (방법은 집합과 동일.)


TODO 표본,sample과의 정확한 관계???
{
표본점(sample point): 랜덤실험을 수행할 때 나타나는 각각의 결과
= 근원사건(elementary event). see 사건,event

TBW: 사건,event과의 관계
}
확률공간,probability_space과의 관계?


표본공간의 원소의 개수

(및 그에 따른 표본공간의 분류.)
sample space가
  • 유한한 수의 point를 가지면 finite sample space.
  • 자연수와 같은 수의 point를 가지면 countably infinite sample space.
  • x축의 구간,interval, $0\le x \le 1$ 같은, 이 정도로 많은 point를 가지면 noncountably infinite sample space.
그리고
  • finite 또는 countably infinite ⇒ discrete sample space
  • noncountably infinite ⇒ nondiscrete sample space
(Schaum Prob and Stat p3)

QQQ 바로 아래 크기와 정확한 관계? merge?

표본공간의 크기에 대해

표본공간 $(S)$ 이 너무 필요없이 클 경우 일부분을 Borel field $\mathcal{B}$ 로 잡는다?
curr. see 체,field#s-3
event_class $\mathcal{F}$ 와의 관계는?

CHK
via https://blog.naver.com/sw4r/221010499304
sample_space 의 크기가 무한히 커지면, mean 값은 expectation(기대값,expected_value)으로 접근(approach? approximate? asymptotically? ) 한다. - chk. 및 증명.
중심극한정리,central_limit_theorem,CLT와 다르지만 유사성이 있음. 비교. (저것은 표본의 크기가 충분히 크면 표본평균의 분포가 정규분포에 근사한다는것...이라 저기 써있네.)
rel. 큰수의 법칙 (Law of Large Number) 이란? https://blog.naver.com/sw4r/221162637470

Sub

discrete_sample_space - if $S$ is countable. // 가산성,countability 이산성,discreteness
continuous_sample_space - if $S$ is not countable. // 연속성,continuity