#noindex sin과 cos의 [[가중합,weighted_sum]]? 삼각함수들(sinusoidal)의 [[합,sum]](i.e. [[급수,series]])으로 [[주기함수,periodic_function]]를 나타내는 방법? ---- 대칭을 가진 범위([[대칭성,symmetry]] [[범위,range]])가 있고 그 밖에서는 저 범위가 반복하여 나타나는 즉 [[주기성,periodicity]]을 띠는? 항상? [[기저,basis]]를 단순하게 $\left{ 1,\cos x,\cos 2x,\cos 3x,\ldots,\sin x,\sin 2x,\sin 3x,\ldots \right}$ 로 두면 범위가 $[-\pi,\pi]$ 로 고정되어 버린다. $[-T,T]$ 범위의 임의의 [[주기,period]] ( 즉 주기의 길이는 $2T$ ) 를 쓰려면 삼각함수 속 $x$ 앞의 계수 $P$ 가 $\frac{2\pi}{P}=2T$ 즉 $\pi=TP,\,P=\frac{\pi}{T}$ 이면 되므로 기저를 $\left{ 1,\cos\left(\frac{\pi}{T}x\right),\cos\left(\frac{2\pi}{T}x\right),\cos\left(\frac{3\pi}{T}x\right),\ldots,\sin\left(\frac{\pi}{T}x\right),\sin\left(\frac{2\pi}{T}x\right),\sin\left(\frac{3\pi}{T}x\right),\ldots\right}$ 로 하면 반복되는 범위를 $[-T,T]$ 로 일반화할 수 있다. 그리고 저 집합 [[직교성,orthogonality]]을 가짐. ∫sin()cos()dx 뿐만 아니라 ∫cos()cos()dx도 마찬가지로 0이 나오는. tips 1. 기함수의 $-L$ 부터 $L$ 까지의 [[정적분,definite_integral]]은 항상 0 .... $\int\nolimits_{-L}^L \sin(\cdots)dx=0$ 2. $n$ 이 정수이면 $\sin(n\pi)=0$ 3. $n$ 이 자연수(0포함)이면 $\cos(n\pi)=(-1)^n$ // tmp from https://youtu.be/XwsPTAnFRsk $f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right]$ 여기서 $a_0,a_n,b_n$ 은 다음 공식으로 구한다. $a_0=\frac1{2L}\int\nolimits_{-L}^{L} f(x)dx$ $a_n=\frac1{L}\int\nolimits_{-L}^{L} f(x)\cos\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$ $b_n=\frac1{L}\int\nolimits_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)dx$ // tmp from https://youtu.be/DVlSETdpEao ---- 푸리에에 의하면, 모든 [[주기함수,periodic_function]]는 사인 함수와 코사인 함수의 (무한)합으로 나타난다. 함수 $\sin x,\sin 2x,\sin 3x,\cdots,$ $1,$ $\cos x,\cos 2x,\cos 3x,\cdots$ 는 모두 [[주기,period]]가 $2\pi$ 인 함수이다. (주기는 "최소 주기"를 뜻하기도 하지만 여기서는 넓은 의미로 사용하였다.) 함수 $f(x)$ 가 주기가 $2\pi$ 인 함수이면, $f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right)$ 를 만족시키는 실수 $a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots$ 가 (오직 하나) 존재한다. 이 때 위 식의 오른쪽 항을 $f$ 의 '''푸리에 급수'''라고 부른다. (김홍종 미적1+ p141) ---- (정의) Fourier 급수 구간 $(-p,p)$ 에서 정의된 함수 $f$ 의 '''Fourier 급수'''는 다음과 같다. $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n\cos\frac{n\pi}{p}x + b_n\sin\frac{n\pi}{p}x \right)$ 여기서 $a_0=\frac1p\int_{-p}^p f(x)\,dx$ $a_n=\frac1p\int_{-p}^p f(x)\cos\frac{n\pi}{p}x\,dx$ $b_n=\frac1p\int_{-p}^p f(x)\sin\frac{n\pi}{p}x\,dx$ 이다. (Zill 8e ko vol2 p12) ---- ---- trig- 와 expon- 이 있는데.. 관계 정확히 Google:trigonometric.fourier.series Google:exponential.fourier.series Google:trigonometric.fourier.series+exponential [[일반화,generalization]]버전? : [[generalized_Fourier_series]] - writing; curr see Google:일반화된.푸리에급수 Google:generalized.fourier.series ---- 임의의 [[주기함수,periodic_function]]는 코사인/사인(sinusoid)의 [[무한급수,infinite_series]]로 표현([[전개,expansion]])할 수 있다. [[조화해석,harmonic_analysis]] : 함수를 '''푸리에급수''' 꼴로 나타내는 일. 푸리에급수 전개에서 각 항의 계수를 구하는 기법. ---- //수백 주어진 [[구간,interval]] 내에서 정의된 함수 $f$ 를 특수한 [[삼각함수,trigonometric_function]]의 [[직교집합,orthogonal_set]]을 [[기저,basis]]로 하여 [[전개,expansion]]하는 것. 현대적 관점에선 푸리에 급수를 [[공간,space]]의 [[대칭성,symmetry]]의 결과로 이해... 먼저 직교집합을 정의하면 (copied to local) [[구간,interval]] $[a,b]$ 에서 정의된 실수값 함수들의 [[집합,set]] $\lbrace f_0,f_1,\cdots\rbrace$ 이 다음을 만족하면, 이 집합은 '''직교집합'''이다. $(f_m,f_n)=\int_a^b f_m(x) f_n(x) dx = 0\;\;\;(m\ne n)$ 좌변은 [[내적,inner_product]]을 뜻한다. 즉 함수의 내적이 0이면 두 함수가 직교한다([[직교성,orthogonality]])고 정의하는 것. 그다음 [[삼각급수,trigonometric_series]](writing) 매우 길어서 나중에. tbw ---- tmp from https://www.youtube.com/watch?v=0aSZM7Qj1HY $\hat{f}(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)$ 식의 의미는 '코사인과 사인을 무한히 섞으면 주기함수를 표현가능하다' 여기서 * 맨 앞 $\frac{a_0}{2}$ : [[직류,DC]]를 표현, - [[정적평형,static_equilibrium]](see [[평형,equilibrium]] > 물리에서의 평형) * 나머지 시그마 두개 합 : [[교류,AC]]를 표현. - [[진동,oscillation,vibration]] 맨 앞 항은, 나머지(뒤쪽 항들, 주기성 함수)를 위로 올리거나 내리는 역할. ---- 연속신호/연속함수는 무한차원벡터이고, 이것은 기저벡터의 선형결합으로 재구성할 수 있다. n차원 벡터는 n개 숫자의 나열이고 함수는 값을 무한 개 나열한 것으로 볼 수 있으므로 함수는 무한 차원 벡터로 생각할 수 있다. 함수는 무한차원벡터공간의 한 점으로 볼 수 있다. Def. 함수의 내적(inner product of functions) The inner product of two functions $f_1$ and $f_2$ on an interval $[a,b]$ is the number $(f_1,f_2)=\int_a^b f_1(x)f_2^*(x)dx$ Def. 직교함수(orthogonal functions) Two functions $f_1$ and $f_2$ are said to be orthogonal on an interval $[a,b]$ if $(f_1,f_2)=\int_a^b f_1(x)f_2^*(x)dx=0$ Def. 직교 함수 집합, orthogonal set A set of complex-valued functions $\lbrace\phi_0(x),\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots\rbrace$ is said to be orthogonal on an interval $[a,b]$ if $(\phi_m,\phi_n)=\int_a^b \phi_m(t) \phi_n^* (t)dt=0,\;\;\;m\ne n$ (see [[내적,inner_product]] [[직교성,orthogonality]] [[직교함수,orthogonal_function]]. *는 [[켤레,conjugate]]) 위에서 말한 무한개의 직교함수들의 선형결합으로 표현한다는 것을 식으로 나타내면 $f(x)=c_0\Phi_0(x)+c_1\Phi_1(x)+\cdots+c_n\Phi_n(x)+\cdots$ $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\Phi_n(x)$ Def. '''연속 시간 푸리에 급수''' Continous time Fourier series For any [[신호,signal|signal]] $x(t)$ satisfying $x(t)=x(t+T),$ we can write $x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \exp\left( j\frac{2\pi k}{T} t \right)$ '''Fourier series'''는 두 식으로 구성. 아래 두 식은 하나의 신호를 분석하는 두 관점. (1) $x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\exp\left( j\frac{2\pi k}{T}t\right )$ 연속신호(=연속함수)는 무한차원벡터이고, 이것은 [[기저,basis]]벡터([[삼각함수,trigonometric_function]])의 [[선형결합,linear_combination]]으로 재구성 가능. (2) $a_k=\frac{1}{T}\int_0^T x(t) \exp\left(-j\frac{2\pi k}{T}t\right) dt$ 신호를 구성하는 각 기저벡터는 얼마만큼의 기여도를 갖고 있는지? → [[주파수,frequency]]분석에 활용 가능 $\exp\left(-j\frac{2\pi k}{T} t \right)$ 이 지수함수는 주파수([[진동수,frequency]])가 $\frac{k}{T}$ 인 삼각함수를 뜻함. 식= $\cos\left(\frac{2\pi k}{T} t\right) -j\sin\left( \frac{2\pi k}{T} t \right)$ 이므로. // from [[https://www.youtube.com/watch?v=bzoGRbAXK-E 푸리에 급수의 의미와 주파수 분석에의 활용]] 3m~ 비디오 요약임. CHK ---- 임의의 2D shape를 그릴 수 있음 (fourier epicycle drawings) https://www.myfourierepicycles.com/ [[주전원,epicycle]] ---- 볼것: [[파동함수,wave_function#s-3]] ---- 정의 5.1: '''푸리에 급수''' [[주기,period]]가 $2\pi$ 인, 즉 2''π''-주기 함수 $f(x)$ 의 '''푸리에 급수''' $f_F(x)$ 를 다음과 같이 정의한다. $f_F(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right)$ 여기서 [[푸리에_계수,Fourier_coefficient]]s라고 불리는 $a_n$ 과 $b_n$ 은 다음 식으로 주어진다. $a_n = \frac1{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx, \;\;\; n=0,1,\cdots$ $b_n = \frac1{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx, \;\;\; n=1,2,\cdots$ (이승준 p85) = 복소 푸리에 급수 complex Fourier series = [[복소_푸리에_급수,complex_Fourier_series]] ---- 정의 12.4.1 복소 Fourier 급수 구간 $(-p,p)$ 에서 정의된 함수 $f$ 의 '''복소 Fourier 급수'''(complex Fourier series)는 아래와 같이 주어진다. $f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\pi x / p}$ 여기서 $c_n = \frac1{2p} \int_{-p}^p f(x) e^{-in\pi x/p} dx,\; n=0,\pm1,\pm2,\ldots$ 이다. (Zill 8e ko vol2 p26) ---- = bmks ko tmp = https://supermemi.tistory.com/95?category=837542 https://bluehorn07.github.io/mathematics/2021/06/08/fourier-series.html https://bluehorn07.github.io/mathematics/2021/06/09/fourier-series-complex-representation.html (복소지수형태) https://angeloyeo.github.io/2019/06/23/Fourier_Series.html (good) = bmks en = interactive, demo https://demonstrations.wolfram.com/ExamplesOfFourierSeries/ https://demonstrations.wolfram.com/FourierSeriesOfSimpleFunctions/ https://demonstrations.wolfram.com/ApproximationOfDiscontinuousFunctionsByFourierSeries/ https://demonstrations.wolfram.com/ComparingFourierSeriesAndFourierTransform/ ---- Related: [[푸리에_변환,Fourier_transform]] '''푸리에 급수'''는 [[주기함수,periodic_function]]에 대해서만 쓸 수 있고 비주기 함수(aperiodic_function)에 대해서 비슷한 도구가 푸리에 변환. [[직교성,orthogonality]]과의 관계 { '''푸리에 급수''' 직교성 ... tmp from https://youtu.be/VqeGQkRaSSg?t=75 적분이 [[영,zero]]이 되는.. tbw 아래 둘은 m과 n이 다르면 무조건 0이 나온다. 직교성 때문에. 다시 말해 m과 n이 같다면 '뭔가가 나온다' 는 뜻..(? 정확히) $\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos mx dx = 0 \;\;(n\ne m)$ $\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \sin mx dx = 0 \;\;(n\ne m)$ 하지만 다음 sin과 cos의 곱은 무조건 기함수([[홀함수,odd_function]])가 되기 때문에 m과 n이 같아도 0이 나온다. $\int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \cos mx dx = 0 \;\;(n\ne m \,\text{ or }\, n=m)$ 3:00~ 나중에 적든지 } [[스펙트럼,spectrum]]? [[주기파,periodic_wave]] ---- Twins: [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1158899&cid=40942&categoryId=32219 두산백과: 푸리에 급수]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405402&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 푸리에 급수]] [[WpKo:푸리에_급수]] { "[[주기함수,periodic_function]]를 [[삼각함수,trigonometric_function]]의 가중치(see [[가중값,weight]])로 [[분해,decomposition]]한 [[급수,series]]다. 함수의 푸리에 [[계수,coefficient]]는 원래 함수보다 다루기 쉽다." } [[WpEn:Fourier_series]] [[WpEn:Fourier_sine_and_cosine_series]] http://javalab.org/fourier_series/ (시각화와 간단한 예제) https://ghebook.blogspot.kr/2012/07/fourier-series.html https://mathworld.wolfram.com/FourierSeries.html https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fourier_series [[https://en.wikisource.org/wiki/1911_Encyclop%C3%A6dia_Britannica/Fourier%27s_Series 브리태니커 11e (1911): Fourier's Series]] https://everything2.com/title/Fourier+series https://en.citizendium.org/wiki/Fourier_series https://proofwiki.org/wiki/Definition:Fourier_Series Up: [[급수,series]] > [[무한급수,infinite_series]] [[조화해석,harmonic_analysis]]