주어진 시간(or 길이 넓이 부피 등) 안에 어떤 사건이 일어나는 횟수를 나타내는 이산확률변수.

[[이항확률변수,binomial_random_variable]]의 [[모수,parameter]] $n,p$ 에서 $n$ 이 크고 $p$ 가 작아 $np$ 가 적당한 크기이면, 이항확률변수는 근사적으로 '''푸아송 확률변수'''에 가까워짐.

= 정의 =
양수 $\lambda>0$ 에 대해, [[이산확률변수,discrete_random_variable]] $X$ 의 [[확률질량함수,probability_mass_function,PMF]]가
 $\text{P}(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\;\;k=0,1,2,\ldots$
이면 $X$ 는 모수가 $\lambda$ 인 '''푸아송 변수'''.

$X$ 가 모수가 $\lambda$ 인 [[푸아송_분포,Poisson_distribution]]를 따른다는 것:
 $X\sim\text{Poi}(\lambda)$

= 성질 =
$X\sim\text{Poi}(\lambda)$ 이면,

[[기대값,expected_value]] $\text{E}(X)=\lambda$
[[분산,variance]] $\text{V}(X)=\lambda$
[[확률생성함수,probability_generating_function,PGF]] $g_X(t)=e^{\lambda(t-1)}$
[[적률생성함수,moment_generating_function,MGF]] $m_X(t)=e^{\lambda(e^t-1)}$
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## from Leon
$S_X=\{0,1,2,\ldots\}$
$p_k=\frac{\alpha^k}{k!}e^{-\alpha}$
 $k=0,1,\ldots$
 $\alpha>0$

$E[X]=\alpha$
$V[X]=\alpha$

X는 한 시간 단위 당 사건의 횟수 - 사건 사이 시간이 평균 1/α인 [[지수분포,exponential_distribution]]를 보일 때.
X is the number of events that occur in one time unit when the time between events is exponentially distributed with mean $1/\alpha.$

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Related: [[푸아송_분포,Poisson_distribution]]

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Source: Leon-Garcia Table 3.1
Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338193&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 푸아송 변수]]

Up: [[이산확률변수,discrete_random_variable]]