함수,function

del
{
QQQ
변수,variable들 간의 연관 관계를 묘사함??
변수의 집합이 두(세?) 개 있고 그것의 관계,relation?
연산,operation과의 정확한 관계가?
(무관) '함수연산'에 대해선 연산,operation#s-6
정의역 공역 연산 이렇게 세트가(tuple?) 있으면 함수?
AAA
이건 planetmath에 의하면, 집합 두 개(각각 정의역,domain과 공역,codomain)와 그 사이 이항관계,binary_relation로 이루어진 triplet (f,A,B)로 정의함.
AAA 생각 at 2023-01-17
질문에 오류. 변수는 좀 거리가 있는 개념. 입력은 변수일 수 있지만 parameter나 argument라는 명칭이 올바를테고 (혹시 항상 evaluate되어 constant로 들어감?)
출력은 변수라고 보기 어렵고(?)
함수자체가 명칭이 변수일수도있고(esp 통계쪽)
저런것까지 생각할 필요가 있을까?
그냥 단순히 입력,input은 정의역,domain의 원소,element이고, 출력,output은 (공역,codomain의 부분집합,subset인) 치역,range의 원소이다. 정도면 ok인듯


그래프,graph로 그릴 수 있다. (시각화,visualization 관련)

....

함수 $f:A\to B$ 는 어떠한 관계,relation를 뜻하는 데, 이 관계란 다름아닌 집합,set $A\times B$ 의 한 부분집합,subset이 된다. 이 부분집합을 보통 함수의 그래프라고 부른다. 따라서 함수와 그래프는 같은 것이다. (김홍종 미적1+ p365)
}

함수와 관계의 관계:
{
함수는 관계,relation의 일종.
}

모두(빠짐없이), 하나,one씩만 대응
함수는 입력 x와 출력 y(x)를 가진다. 각각의 x에 대해 이 함수는 하나의 y를 가진다.
입력 x는 함수의 정의역으로부터 온다.
출력은 함수의 치역을 형성한다.
A function $f$ from a set A to a set B is a rule of correspondence that assigns to each element in A one and only one element in B.
이 때 기호는 $f:A\to B$
A는 domain, B는 codomain, B의 부분집합,subset이 range

$f:X\mapsto Y$ 에서
$X$ : 정의역,domain
$Y$ : 공역,codomain
$f(X)$ : 치역,range
$f(x)$ : 함수값 or 상,image

정의역과 공역이 같으면 endofunction.
WtEn:endofunction
WpEn:Endofunction redir to Endomorphism.
Rel endomorphism ... pagename TBD: 자기사상,endomorphism or 자기준동형사상,endomorphism (준동형사상,homomorphism을 살린 번역) ... WpKo:자기_사상

Sub:
수열,sequence
장,field


QQQ CHK
{
관계 순서쌍의 집합으로 나타낼 수 있남?

함수란 세 집합,set 사이의 관계,relation....? 두 집합?
// 정공치 이것들은 다 집합,set인지? CHK
정의역,domain
natural domain (kms 번역어 없음) natural_domain
대략, 정의역이 직접 주어지지(명시되지) 않았을 때 가정하는, 정의역으로 타당하고 적절한 최대의 집합 정도를 일컫는 듯 함.
e.g. Precalculus and Calculus 정도 레벨에서 대략 이쯤 되는 듯.... (Thomas Calculus: Domain)
$y=x^2$ $\mathbb{R}$
$y=1/x$ $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
$y=\sqrt{x}$ $[0,\infty)$
$y=\sqrt{4-x}$ $(-\infty,4]$
$y=\sqrt{1-x^2}$ $[-1,1]$
허용된 입력 값들의 집합[1]
공역,codomain
함수가 가질 수 있는 출력들의 집합
함수 $f:A\to B$ 와 함수 $f:A\to C$ (책에서 생략되었지만 분명 B≠C)는 함수의 입출력 관계, 즉 그래프가 같더라도 공역이 다르므로 다른 함수로 간주된다.[2]
AKA 공변역
치역,range
정의역의 상,image
공역의 원소 중에서 함수의 가능한 모든 출력값들의 집합[3]
치역은 항상 공역의 부분집합이다.
[https]수학백과: 치역
}
정의역 domain [https]수학백과: 정의역
공역 codomain [https]수학백과: 공역
치역 range
CHK 오래된내용.
{
표기 기호 (함수 이름이 f이고 독립변수와_종속변수가 각각 x, y일 때)
f: x → y 또는
y = f(x)
}

TeX 기호
\mapsto : $\mapsto$
를 쓰면, ‘함수 f에 의해 x가 y에 대응되는 것’은
$f:x\mapsto y$
$y=f(x)$

2020-10-24
\to, \mapsto $(\to,\mapsto)$ 기호의 차이를 우연히 알았는데, 각각 집합대응과 원소대응을 표시하는 것 같음.
$f:A\to B$ 는 집합,set A(정의역,domain)에서 B(치역,range 공역,codomain)로 가는,
그리고 이 때
$f:a\mapsto b$ 는 $a(\in A)$ 를 $b(\in B)$ 에 대응하는 것을 표시하는
게 맞는지 CHK

표기 뜻
$f:X\to Y$ 함수 f, 정의역 X, 공역 Y
$f:x\mapsto y$ 함수 f, 원상(preimage) x, 상(image) y. $f(x)=y$ 와 같음.
ex. 모든 실수를 그 제곱으로 대응시키는 대응 관계는 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\, x\mapsto x^2$
src WpKo:함수#정의

2020-10-25
원상과 상. preimage and image.
f(a)=b 이면 b를 a의 상(image), a를 b의 원상(preimage)이라 한다. [https]src



Contents

1. 상수함수,constant_function
1.1. 영함수,zero_function
2. 항등함수,identity_function
3. 합성함수,composite_function
4. 양함수/음함수 explicit/implicit
5. 전사/단사/전단사, surj/inj/bij
5.1. 일대일 함수 one-to-one function
5.2. 일대일 대응 함수
5.3. 수평선 판정법(horizontal line test)
6. 역함수 inverse function
7. 삼각함수 및 관련 함수
8. 단조함수 monotonic_function
9. 대수함수 algebraic function
9.1. Polynomials and rational functions
10. 초월함수 transcendental function
11. 절대값 함수
12. 계단 함수 step function
12.1. 헤비사이드_계단함수,Heaviside_step_function
13. 임펄스 함수 impulse function
14. 시그모이드 함수 sigmoid function
15. ReLU함수, rectified linear unit 함수
16. 부호함수 sign function, signum function
17. 바이어슈트라스 함수 Weierstrass function
18. 오차함수 error function
19. 주기함수 periodic function
20. 파동함수 wave function
21. 베셀 함수 Bessel function
22. 뫼비우스 함수 Möbius function
23. 정수화 함수?
23.1. 최대정수함수 greatest integer function, 바닥함수 integer floor function
23.2. 최소정수함수 least integer function, 천정함수 integer ceiling function
23.3. 반올림rounding도 서술해야 함
23.4. (정수화함수는 아니지만 관련있음, 일단 여기에) 소수 부분 나타내는 함수
24. 매끄러운 함수 smooth function
25. 연속함수 continuous function
26. 짝함수/홀함수 even/odd 우함수/기함수
27. 확률함수,probability_function
28. 리만_제타함수,Riemann_zeta_function
29. 멱함수,power_function
30. root function
31. 지시 함수 indicator function
31.1. 디리클레 함수 Dirichlet function
32. 다변수함수 multivariable function
32.1. 다가함수,multivalued_function
33. 람베르트 W 함수, Lambert W function, 오메가 함수, omega function
34. 로그 적분 함수
35. 초등함수 elementary function vs 비초등함수 nonelementary function
36. 조화 함수 harmonic function
37. 조각마다 정의된 함수 piecewise-defined function
38. 복소함수 complex function
39. cis 함수, cis function
40. 해석함수 analytic function
41. 지수 적분 함수
42. 동차함수 homogeneous function
43. 볼록함수/오목함수
43.1. 볼록함수 convex function
43.2. 오목함수 concave function
44. 제한함수/확장함수
44.1. 제한함수 restricted function
44.2. 확장함수 extended function
45. 밀도함수 density function
46. 가우스 함수 Gaussian function
47. 싱크함수 sinc function
48. 탄크함수? 탕크함수? tanc function
49. 특성함수 characteristic function
50. 기저함수 basis function
51. 활성화함수 activation function
52. 명제함수 propositional function
53. 스칼라함수 scalar function and 벡터함수 vector function(= 벡터값함수 vector-valued function)
54. 유닛 함수 unit function
55. reciprocal function - 역수함수? 반비례함수? 상반함수?
56. 다음수 함수 successor function
57. rectangular function, rect function
58. triangular function, tri function
59. addhere
60. addhere
61. addhere
62. addhere
63. addhere
64. addhere
65. 함수의 분류
65.1. n급함수 - 𝒞n?
65.2. 함수의 가능한 값에 따른 분류
65.3. 함수의 정의역에 따른 분류
65.4. 함수분류추가
65.5. 함수분류추가
65.6. 함수분류추가
66. 함수 비교
66.1. (물리+화학) 상태함수와 경로함수
67. Auto-generated List of *function Pages
68. 노름,norm
69. 함수의 증가와 감소
70. 함수에 대한 연산 operations on functions
70.1. 함수의 변환 transformations of functions
70.1.1. translation, translating, shift
70.1.2. stretch/shrink
70.1.3. reflecting
71. 함수 공간들의 포함관계
72. 표기법 남용? abuse of notation
73. Links ko
74. Links en
75. 함수와 비슷해 보이거나 비교되는 것
76. 함수인데 pagename에 함수 안 들어간 것


[edit]

1. 상수함수,constant_function

정의역의 모든 원소에 대한 함수값이 일정할 때, 즉 $f(x)=c$ 인 경우.

치역의 원소가 한 개.


https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/constantfunc.html
0-ary(nullary)이면서 pure한 함수는 분명 상수함수이다.
이건 잠깐 생각해보면 아주 명확하지만, 증명은? qqq

Related: piecewise_constant_function
{
Sub: 단위계단함수,unit_step_function, 각종정수화함수, ....
https://mathworld.wolfram.com/PiecewiseConstantFunction.html
}


[edit]

1.1. 영함수,zero_function

[edit]

2. 항등함수,identity_function

[edit]

3. 합성함수,composite_function

$f:X\to Y$ 와 $g:Y\to Z$ 에 대해 $g\circ f:X\to Z$ 의 정의:
$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

합성,composition
함수합성,function_composition ...or composition_of_functions? (curr see 결합법칙,associativity)
{
$(f\circ g)(x) \equiv f(g(x))$

cmp 펑션합성,function_composition - of 펑션,function
}

성질
$f\circ g\ne g\circ f$ - 교환법칙,commutativity 성립하지 않음
i.e. $f(g(x))\ne g(f(x))$
$f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ - 결합법칙,associativity 성립함

멱등함수와의 관계
같은 것을 합성한 함수가 자기 자신이 되면 멱등함수.
$(f\circ f)(x)=f^2(x)=f(x)$ 를 만족하는 함수 $f$ 는 멱등함수,idempotent_function.



함수 합성



[edit]

4. 양함수/음함수 explicit/implicit


음함수는 y=(x에 대한 (piecewise말고 단일) 식,expression) 꼴로 정리할 수 없으면 음함수인가? chk

ex. 원,circle의 방정식


음함수를 미분하는 것은 음함수미분,implicit_differentiation 음함수의 미분법

함수가
$y=f(x)$ 꼴로 쓰여졌을 때, 양함수 꼴로 표현되었다(defined explicitly)고 함.
$g(x,y)=c$ 꼴로 쓰여졌을 때, 음함수 꼴로 표현되었다(defined implicitly)고 함.

명백히, 음함수 꼴이 더 일반적임.
양함수는 음함수의 특별한 형태이다. (이춘호)
i.e. 음함수가 양함수보다 더 일반적인 형태이다.
양함수(explicit function):
독립변수 x에 대해 $y=f(x)$ 로 유일하게 표현되는 함수.

음함수(implicit function):
독립변수 x와 종속변수 y가 분리되지 않고, 두 변수 x, y의 관계 $f(x,y)=0$ 로 표현되는 함수.

사실 음함수는 (어떤 경우에는?) 일반적인 의미에서의 함수는 아님.
음함수는 엄밀히 말하여 함수는 아니라는데... CHK
'엄밀한 의미에서의 함수'는 아니라는건가?
implicit function과 parametric-something (curr see 매개변수방정식,parametric_equation)은 밀접한 관계가 있는듯?
한 x에 대응하는 y가 여럿 있어서 일반적인 함수관계로 나타낼 수 없는 경우를 parametric하게 하면 쉽게 표현되는 것 같은데.
용어가 좀 이상하여, (음/양은 negative positive를 연상시킴.)
명시적 explicit
내재적 implicit
이란 번역도 있다
기타
명시적함수/암시적함수
명시함수/암시함수 (내 생각)
명함수/암함수 (namu 어디에선가 본 것 같음)
같은 번역 제안이 있는데, 유리수/무리수를 유비수/무비수라고 바꾸려는 그 느낌과 비슷

같은 용어를 쓰는 곳:
미분방정식,differential_equation에도 implicit/explicit 구분이 있다.

양함수 음함수는 차라리 positive_function / negative_function 에 더 잘 대응하는 번역이 아닌지? 애초에 저렇게 번역한 이유?

2023-11-14 비슷한 의견: 왜 '음함수'는 잘못된 번역인가? https://freshrimpsushi.github.io/posts/why-korean-translation-of-implicit-function-is-inappropriate/

Heinbockel Calculus Volume 1에서는 [http]p14
single-valued function
multiple-valued function
으로 나눈다.

see also:

multi어쩌고 함수에 대해서는 curr goto 함수,function#s-32


[edit]

5. 전사/단사/전단사, surj/inj/bij

현재 주로 사상,map페이지에.

전사,단사,전단사
{
전사,surjection 단사,injection 전단사,bijection
영어 형용사형 surjective injective bijective
표현(영어) onto one-to-one one-to-one correspondence
표현(한국어) 위로의 함수 일대일 함수 일대일 대응
식 $f(X)=Y$ $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$ 왼쪽 두가지 다? chk
설명 치역과 공역이 같음 전사와 단사의 성질을 모두 만족
}

일단 공통 내용
{
함수
$f:X\to Y$
여기서
$X$ : 정의역
$Y$ : 공역
$f(X)=\{f(x)|x\in X\}$ : 치역
}


onto 와 완벽동의어인지 chk

adj. surjective
}


일대일,one-to-one과 완벽동의어인지 chk


adj. injective
}


일대일대응,one-to-one_correspondence 과 완벽동의어인지 chk

adj. bijective
}
전사함수,surjective_function AKA 위로의(onto) 함수
치역과 공역이 같은 함수.
선택공리,choice_axiom에서 언급됨.
"선택공리는 '임의의 전사함수가 절단함수를 가진다.'는 주장과 동치이다."[4]
[https]수학백과: 전사함수

단사함수,injective_function AKA 일대일 함수(one-to-one function)
단사함수는 역함수,inverse_function를 가지기 위한 조건. (QQQ 정확히 무슨조건인지 명시 - 필요?충분?필요충분??)
via "주어진 함수가 역함수를 가지기 위해서는 반드시 단사함수여야 한다"[5]
[https]수학백과: 단사함수


전사함수 surjective f. 위로의 함수, onto
단사함수 injective f. 일대일 함수, one-to-one
전단사함수 bijective f. 일대일 대응, one-to-one correspondence

WpKo:전사_함수 = WpEn:Surjective_function = onto = 위로의 함수
WpKo:단사_함수 = WpEn:Injective_function = one-to-one = 일대일 함수
WpKo:전단사_함수 = WpEn:Bijective_function = one-to-one correspondence = 일대일 대응 함수


전사 공역과 치역이 같다 Y=f(X) surjection 모두 사살당한다?
단사 정의역의 서로 다른 원소는
공역의 서로 다른 원소에 대응 		a≠b ⇒ f(a)≠f(b) injection 한(one) 발만 맞는다?
(키워드: distinctness)
(관련: WpEn:Horizontal_line_test)
(비교: 수직선 판정법(https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Vertical_line_test WpEn:Vertical_line_test) 통과는 모든 함수의 필수조건)
{
수직선 판정법(vertical line test)
곡선이 x축에 수직인 직선과 두 번 이상 만나면, 이 곡선은 함수의 그래프가 될 수 없다. 왜냐면 (x의 값에 y의 값이) 꼭 하나만 대응해야 함수가 되기 때문.
}

tmp links ko:
https://junklee.tistory.com/80 전사함수와 일대일함수

[edit]

5.1. 일대일 함수 one-to-one function


함수 $f:X\to Y$ 에 대해
$f(x_1)=f(x_2)\;\Rightarrow\;x_1=x_2$
이면 $f$ 는 일대일함수(one-to-one function)이다.

함수 $f$ 가 같은 값을 두 번 취하지 않을 때, 즉 다음이 성립할 때 함수 $f$ 를 일대일 함수(one-to-one function)라 한다.
$x_1\ne x_2$ 일 때 $f(x_1)\ne f(x_2)$

수평선판정법 horizontal_line_test : 함수가 일대일이기 위한 필요충분조건은 어떤 수평선도 함수의 그래프와 기껏해야 한 번만 교차하는 것이다.

(Stewart 8e ko)

A function $f$ is called a one-to-one function if it never takes on the same value twice; that is,
$f(x_1)\ne f(x_2)\;\;\textrm{ whenever }x_1\ne x_2$

horizontal_line_test로 판별.
A function is one-to-one iff no horizontal line intersects its graph more than once.

예
$f(x)=x^3$ 은 일대일(one-to-one).
$g(x)=x^2$ 은 아님. 예를 들어 $g(1)=1=g(-1)$ 이렇게 출력이 같으므로.

(Stewart)

일대일함수인지 여부는 역함수,inverse_function를 구할 수 있는지와 밀접한데 정확히 서술. TBW.


[edit]

5.2. 일대일 대응 함수

함수 $f:X\to Y$ 에 대해
$f$ 가 일대일 함수이고
$f(X)=Y$
이면 $f$ 는 일대일대응(one-to-one correspondence) 함수이다.

[edit]

5.3. 수평선 판정법(horizontal line test)

일대일 함수이기 위한 필요충분조건:
어떤 수평선도 함수의 그래프와 두 점 이상에서 만나지 않는다.

[edit]

6. 역함수 inverse function

[edit]

7. 삼각함수 및 관련 함수

[edit]

8. 단조함수 monotonic_function


정의된 구간에서
감소하는 구간이 없거나(단조증가함수)
증가하는 구간이 없을 경우(단조감소함수)
[https]tmp src

//from https://freshrimpsushi.tistory.com/848:
함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 있고 $\forall x_1,x_2\in[a,b]$ 에 대해
$x_1<x_2 \,\Rightarrow\, f(x_1)\le f(x_2)$ : $f$ 는 단조롭게 증가한다. (함수값이 같을지언정 적어도 감소하지는 않는다.)
$x_1<x_2 \,\Rightarrow\, f(x_1)\ge f(x_2)$ : $f$ 는 단조롭게 감소한다. (함수값이 같을지언정 적어도 증가하지는 않는다.)
$x_1<x_2 \,\Rightarrow\, f(x_1)<f(x_2)$ : $f$ 는 strictly increasing function
$x_1<x_2 \,\Rightarrow\, f(x_1)>f(x_2)$ : $f$ 는 strictly decreasing function

Sub:
단조증가함수 monotone increasing function
단조감소함수 monotone decreasing function

QQQ monotone인가 monotonic인가 둘다ok인가?
단조롭게 monotonically

밑의 '함수의 증가와 감소' section과 합칠 필요 있음. .... 보다는 서로 언급 필요.

[edit]

9. 대수함수 algebraic function

AKA 대수적 함수

다항함수에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 근호 취하기와 같은 대수적 연산을 이용해서 만든 함수를 대수함수라 한다. 모든 유리함수는 대수함수이다. (Stewart 8e 번역판)

A function $f$ is called an algebraic function if it can be constructed using algebraic operations(대수적 연산 algebraic_operation) (such as 덧셈,addition, 뺄셈,subtraction, 곱셈,multiplication, 나눗셈,division, and taking roots) starting with polynomials.

모든 다항함수(polynomial function), 유리함수(rational function)는 대수함수(algebraic function)임.
대수함수가 아닌 함수는 (모두? 아님 초등함수 중에서?) 초월함수,transcendental_function임.

polynomial - 다항식,polynomial
constant function (0차)
linear function (1차)
quadratic function (2차) (형태: 포물선,parabola)
cubic function (3차)
quartic function (4차)
etc.
rational function - 두 polynomial의 비,ratio
nth root
square root - 제곱근,square_root
cube root
등등.. - 근,루트,root

[edit]

9.1. Polynomials and rational functions

[edit]

10. 초월함수 transcendental function

[edit]

11. 절대값 함수

[edit]

12. 계단 함수 step function


불연속성,discontinuity? esp. jump discontinuity?

계단 함수의 도함수는 임펄스함수,impulse_function

Apostol Calculus에선 적분,integration을 계단함수로 먼저 설명하고 일반적 함수로 넘어간다. 계단함수의 적분은 유한합,sum(finite_sum)으로 나타나기 때문에 비교적 쉽기 때문.
[edit]

12.1. 헤비사이드_계단함수,Heaviside_step_function

$H(x)=\begin{cases}0&(x<0)\\1&(x\ge0)\end{cases}$

"0부터 1이다"

AKA 헤비사이드_함수,Heaviside_function
{
The Heaviside function $H$ is defined by
$H(t)=\begin{cases}0&\textrm{ if }t<0\\1&\textrm{ if }t\ge 0\end{cases}$

$H(t-a)=\begin{cases}0&\textrm{ if }t<a\\1&\textrm{ if }t\ge a\end{cases}$

$H(t-a)g(t)=\begin{cases}0&\textrm{ if }t<a\\g(t)&\textrm{ if }t\ge a\end{cases}$

(O'Neil AEM Def 3.4)

}




from 단위 계단 함수의 푸리에 변환(Fourier Transform of Unit Step Function) https://ghebook.blogspot.com/2020/10/fourier-transform-of-unit-step-function.html
{
$u(t)=\begin{cases}0&\text{ for }t<0\\ \frac12&\text{ at }t=0\\ 1&\textrm{ for }t>0\end{cases}$
}

또는 중간을 1/2로 정의하기도. from https://mathstorehouse.com/lecture-notes/laplace-transform/unit-step-function/
{
$a\ge 0$ 일 때 unit step function은
$u(t-a)=\begin{cases}0&(t<a)\\1/2&(t=a)\\1&(t>a)\end{cases}$
}



다음과 밀접함. TOLINK. 관계서술.
디랙_델타함수,Dirac_delta_function
라플라스_변환,Laplace_transform
이동 shift/shifting

[edit]

13. 임펄스 함수 impulse function


QQQ 디랙_델타함수,Dirac_delta_function와 관계 정확히???
Sub? : 단위임펄스함수,unit_impulse_function - 이게 dirac delta? chk

계단함수,step_function의 도함수는 임펄스 함수

임펄스함수의 라플라스_변환,Laplace_transform은 1. chk
$\mathcal{L}[\delta(t)]=F(s)=1$

sampling_property // 샘플링,sampling 표본화,sampling?
of the impulse function:
$f(t)\delta(t-t_1)=f(t_1)\delta(t-t_1)$
여기서 $f(t)$ 는 $t=t_1$ 일 때 연속인 임의의 함수.

sifting_property of the impuse function:
$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-t_1)dt = f(t_1)$


[edit]

14. 시그모이드 함수 sigmoid function

[edit]

15. ReLU함수, rectified linear unit 함수


0이 넘으면 그대로 출력하고 0 이하이면 0을 출력

$h(x)=\begin{cases}x&(x>0)\\0&(x\le 0)\end{cases}$

정류된 선형 함수

max(0, x)으로도 정의 가능
def relu(x):
    return np.maximum(0, x)



2023-04-29 그렇다면 이것의 미분은 양수에서 1 음수에선 0인데 0에서는?
존재하지 않지만 (does not exist, DNE)
https://youtu.be/oY6-i2Ybin4?t=311
에선 0에서 그냥 0으로 한다고.

[edit]

16. 부호함수 sign function, signum function

[edit]

17. 바이어슈트라스 함수 Weierstrass function

바이어슈트라스_함수,Weierstrass_function
모든 점에서 연속이면서 모든 점에서 미분 불능한 함수
프랙털,fractal임

[edit]

18. 오차함수 error function

[edit]

19. 주기함수 periodic function


Definition. A function $f(x)$ is periodic if there is a positive number $p$ such that
$f(x+p)=f(x)$
for every value of $x.$ The smallest such value of $p$ is the period of $f.$ (Thomas Calculus)

모든 주기함수는 무한 다항식의 합으로 표현할 수 있다. 푸리에_급수,Fourier_series CHK
모든 주기함수는 RR:정현파,sinusoidal_wave의 선형결합,linear_combination으로 표현할 수 있다. CHK


[edit]

20. 파동함수 wave function

[edit]

21. 베셀 함수 Bessel function










[edit]

22. 뫼비우스 함수 Möbius function

[edit]

23. 정수화 함수?


정수화함수 ?
2024-01-07 정수값함수 ...라는 번역이 적절해보이는 ?
∵ we 표제어 WpEn:Integer-valued_function
결과 값,value의 타입,type i.e. 치역,range이 뭐인지에 따라 명칭을 붙인.

[edit]

23.1. 최대정수함수 greatest integer function, 바닥함수 integer floor function

$f(x)=\lfloor x \rfloor$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대의 정수

$\mathbb{[}x\mathbb{]}$ 으로 나타내기도

계단 모양

$\lfloor x \rfloor$
\lfloor,\rfloor : $\lfloor,\rfloor$

[edit]

23.2. 최소정수함수 least integer function, 천정함수 integer ceiling function


$\lceil x \rceil$
\lceil,\rceil : $\lceil,\rceil$

최대정수함수 greatest integer function 바닥함수 floor function
최소정수함수 least integer function 천장함수 ceiling function

올림, 내림(버림?) 은 음수일 경우 달라짐에 주의

임의의 실수 $x$ 에 대해
$\lfloor x \rfloor : x$ 의 정수부
$x-\lfloor x\rfloor : x$ 의 소수부

구체수학(Concrete Math.)의 "바닥(floor) 함수와 천장(ceiling) 함수" 스터디 노트 (ko)
https://johngrib.github.io/wiki/c-m-03-Integer-Functions-01/ at 2020-10-22

이상 두 섹션을 정수함수 integer functions로 합쳐??? CHK

[edit]

23.3. 반올림rounding도 서술해야 함


반올림round 올림ceil 내림floor 인가??? CHK

소수 관련.
소수점 관련.
부동소수점,floating_point 관련.

[edit]

23.4. (정수화함수는 아니지만 관련있음, 일단 여기에) 소수 부분 나타내는 함수

톱니파?
$\lbrace x \rbrace = x-\lfloor x \rfloor$

[edit]

24. 매끄러운 함수 smooth function

[edit]

25. 연속함수 continuous function



그리고 연속함수가 아닌 함수는 불연속함수. - 무조건 항상? chk


// TODO CLEANUP or TBD - 이건 여기 (subs) 중에 넣지 말고 '함수의 특성에 따른 분류' 섹션 정도로 분리해야??

[edit]

26. 짝함수/홀함수 even/odd 우함수/기함수

짝함수,even_function AKA 우함수 (Tip: 글자 '우'의 모양이 좌우대칭.)
y축 대칭(symmetric about the y-axis)
$\forall x,\,f(-x)=f(x)$
ex.
cos 상수함수 정규분포함수 디렉델타함수 ...
홀함수,odd_function AKA 기함수
원점 대칭(symmetric about the origin)
$\forall x,\,f(-x)=-f(x)$
다시 말해, $f(x)+f(-x)=0$
ex.
sin tan sgn erf ...
$f(x)=1+x^2-x^4$ 처럼 오직 x의 짝수 거듭제곱만을 포함하면 짝함수.
$g(x)=x+x^3-x^9$ 처럼 오직 x의 홀수 거듭제곱만을 포함하면 홀함수.
모든 함수가 우함수와 기함수로 분류되지는 않는다.

모든 함수는 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있다.
증명:
임의의 함수 $f(x)$ 에 대해,
$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$
(+의 좌측은 짝함수이고 우측은 홀함수이다.)

정적분,definite_integral을 계산할 때 홀/짝함수의 성질을 이용하면 계산이 편해짐.

Misc:
짝함수/홀함수가 직관적이고 쉽고 옳은 표현이라 생각됨. 영어와도 일치.
우함수/기함수는 어디서 유래된 한자단어인지 몰라도 왜 이런 표현이 널리 쓰이는지 모르겠음.
헷갈리지 않는 방법은 '우' 글자 모양이 좌우대칭.


둘의 도함수(미분,derivative) 관계
짝함수의 도함수는 홀함수.
홀함수의 도함수는 짝함수.

[edit]

27. 확률함수,probability_function

[edit]

28. 리만_제타함수,Riemann_zeta_function


[edit]

29. 멱함수,power_function

$f(x)=x^a$ 이고 $a$ 는 상수,constant 꼴인 함수.

$a=-1$ 일 때: reciprocal function 역수함수 (역함수,inverse_function과는 구분)
쌍곡선,hyperbola

$a=-2$ 일 때: 역제곱 inverse_square law 관련. (ex. 중력/전자기력이나 소리의 loudness/빛 등 각종 파동 등이 거리에 따라....)

a가 음의 정수일 때 모두 reciprocal fn.이라 함. (Stewart)

$a=1/n$ (n은 양의 정수)일 때:
$f(x)=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$ 는 root_function. kms단어 없음. 아마 제곱근함수? /// 바로아래section
n=2일 때: square root function, 정의역은 $[0,\infty)$ - 모양은 포물선,parabola $x=y^2$ 의 위쪽 절반.
n=3일 때: cubic root function, 정의역은 $\mathbb{R}$
LINK LATER: [http]BACKSRCH 제곱근

같은 power가 들어간 페이지: 멱급수,power_series



[edit]

30. root function

root_function
번역?
거듭제곱근함수 (Stewart 8e 번역서)
not in kms as of 2022-12-16 - https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=root function

$f(x)=x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$ (n은 양의 정수)
일반적으로 거듭제곱근함수,
n=2일 때 제곱근함수,
n=3일때 세제곱근함수, etc 이 번역이 적당?

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31. 지시 함수 indicator function

[edit]

31.1. 디리클레 함수 Dirichlet function

[edit]

32. 다변수함수 multivariable function

AKA 다변량함수, function of many/several variables, multivariate/multivariable function
(표현이 통일되지 않고 다양함)


argument가 두 개 이상. 정의역이 n-tuple(n≥2)? 정의역/공역이 D/C일 때 일변량함수는
D→C
다변량함수는
Dn→C

예를 들어 $f(x,y)=x^2+y^2$ 은 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$

wpen:
변수가 실수일 경우 WpEn:Function_of_several_real_variables
변수가 복소수일 경우 WpEn:Several_complex_variables
그런데 https://mansoostat.tistory.com/23 에서는
종속변수의 개수에 따라
univariate 단변량
multivariate 다변량
bivariate 이변량
독립변수의 개수에 따라
univariable 단변수
multivariable 다변수

라는데.... 흠
multivalued function
see: 관련 내용 주치,principal_value로 이전. at 2020-10-25
주로 물리나 장,field 관련해서, 다변수함수는

평면 2D를 다룰 때 x, y
공간 3D를 다룰 때 x, y, z
거기에 시간까지 다룰 때 x, y, z, t
이런 기호&순서로 변수를 쓰는 듯.

어떨 땐 공간좌표를 벡터,vector로 묶어서 위치벡터,position_vector r
See also/misc:
양함수/음함수에 대해선 goto 함수,function#s-4
복소함수에 대해선 goto 함수,function#s-38
argument 수에 따라,
0 0-ary_function (AKA nullary_function) 영항함수 https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/zeroaryfunc.html
1 unary_function 일항함수 https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/unaryfunc.html
2 binary_function 이항함수 https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/binaryfunc.html
3 trinary_function 삼항함수 https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/trinaryfunc.html
n n-ary_function n항함수 https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/naryfunc.html
이것들을
one-to-one
one-to-many
many-to-one
many-to-many
이렇게 네가지로 분류 가능할텐데... todo

[edit]

32.1. 다가함수,multivalued_function

aka multi-valued function
opp. single-valued function

통상적인 뜻의 함수는 아님. or 엄밀한 뜻의 함수는 아님.
다가함수
여러값함수
many valued function
multi valued function
multivalued function
multiple valued function
(이게 다 kms 공식표현! 심지어 그 외의 표현이 아래에 또 있음: multifunction)
한 독립변수에 대해 둘 이상의 종속변수가 정해짐.
ex. y＝f(x)에서 x의 한 개의 값에 대하여 y의 값이 두 개 이상 정해지는 함수. 대응되는 y값이 2개이면 2가함수.
ex. 역함수,inverse_function를 찾을 때 자주 생김. y=x2 의 역함수 y2=x는 다가함수. ∵ x=4에 대해 y=2, y=-2가 대응.
links ko

복소해석학에서 특이점Singular Point의 종류 특이점,singularity 특이점,singular_point
https://freshrimpsushi.tistory.com/281

복소해석학에서의 다가함수와 분기선, 분기점 Multifunction, Branch Cut, Branch point
https://freshrimpsushi.tistory.com/374
{
의 용어 선택은 다음과 같음:

다가함수 multifunction
어규먼트 argument
분기선 branch cut
주분기 principal branch
분기점 branch point

일부만 요약:
다가함수(multifunction)는 복수의 값을 갖는 함수.
ex. 복소해석에서는, 로그함수,logarithmic_function를 이렇게 정의
$\log z := \operatorname{Log} |z| + i \arg z$
로 두고 원점을 제외한 모든 점에서 정의.
}

복소 함수론(Complex Analysis)의 쉬운 이해
https://ghebook.blogspot.com/2012/08/complex-analysis.html

복소 함수의 다가성(多價性, Multi-valuedness of Complex Function)
https://ghebook.blogspot.com/2012/08/multi-valuedness.html
from Namu:음함수, chk
{
ex.
제곱근 : $y^n=x$ 에서 나오는 다가함수
자연로그 : $e^y=x$ 에서 나오는 다가함수
}
Related

Maybe? Twins:



[edit]

33. 람베르트 W 함수, Lambert W function, 오메가 함수, omega function



Namu:람베르트 W 함수 요약 {
함수
$y=xe^x$
의 역함수
$x=ye^y$
를 만족하는 $y=W(x)$ 를 람베트르 W 함수라 한다. 따라서
$W(x)e^{W(x)}=x$
초등함수로 나타낼 수 없으며, 무한급수로 표현하면
$W(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1} n^{n-2}}{\Gamma(n)}x^n$

$xe^x=1$ 을 만족하는 값이 오메가 상수이며, 약 0.567143 정도
음함수,implicit_function임
}

https://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
{ 일부 요약
AKA omega function

다음 함수의 역함수임
$f(W)=We^W$
}



[edit]

34. 로그 적분 함수

로그적분함수

$\operatorname{li}(x)=\int_0^x\frac{dt}{\ln t}=\int_0^x\frac{1}{\ln t}dt$

ln1=0이므로, 0일 때는 정의되지 않음


비교: 지수적분함수 (함수,function#s-41), polylogarithm(writing)

[edit]

35. 초등함수 elementary function vs 비초등함수 nonelementary function

대수함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수, 역삼각함수와
그 역함수, 합성함수들의 총칭. 이 함수들의 유한한 결합으로 표현할 수 있는 함수들을 초등함수라고 한다.

이 초등함수 중에서 대수함수로 이루어지지 않은 함수를 초월함수라고 한다.
Src: [https]과학백과

간단한 함수라도 그 적분은 그렇지 않은 경우가 많다.
Zill (2016) p11에 의하면

Elementary functions include the familiar functions studied in a typical precalculus course:
constant, polynomial, rational, exponential, logarithmic, trigonometric, and inverse trigonometric functions,
as well as rational powers of these functions, finite combinations of these functions using addition, subtraction, multiplication, division, and function compositions. For example, even though
$e^{-t^2}$
$\sqrt{1+t^3}$
$\cos t^2$
are elementary functions, the integrals
$\int e^{-t^2}dt$
$\int\sqrt{1+t^3}dt$
$\int\cos t^2 dt$
are nonelementary.

[edit]

36. 조화 함수 harmonic function

[edit]

37. 조각마다 정의된 함수 piecewise-defined function

ex.
absolute value fn.

[edit]

38. 복소함수 complex function


Related:
복소해석,complex_analysis
복소수,complex_number
다변수 다변량 등등 관련 함수, curr. at 함수,function#s-32

복소함수의 특성
다가성,multivaluedness
{
READ AND DELETE:


복소 함수의 다가성(多價性, Multi-valuedness of Complex Function)
https://ghebook.blogspot.com/2012/08/multi-valuedness.html
}


그 때문에 다음 개념이 필요
주치,principal_value
분지,branch (기타 분기, 가지 도 쓰임)
일의거듭제곱근,unity_root

[edit]

39. cis 함수, cis function

독립된 별도의 함수라기보다는 일종의 표기법. 함수로 분류하는 곳은 별로 없음.
cos, i, sin을 줄인 간편 표기법으로 볼 수 있음. (hence the name)

오일러_공식,Euler_formula을 함수 꼴로 표기한 것.

https://mathworld.wolfram.com/Cis.html 여기선 복소지수 표기법의 다른 이름이라고 소개. (근데 왜 capitalize했는지는 잘)
$\operatorname{Cis}(x)\equiv e^{ix}=\cos x+i\sin x$

이것을 쓰면 드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula은
$(\operatorname{cis}(x))^n=\operatorname{cis}(nx)$
이렇게 짧아짐.

[edit]

40. 해석함수 analytic function

[edit]

41. 지수 적분 함수

지수적분함수

WpKo:지수_적분_함수
{
$\text{Ei}(x)$ 는 $\frac{e^x}{x}$ 의 역도함수라고.
}

비교: 로그적분함수 (함수,function#s-34)

[edit]

42. 동차함수 homogeneous function

이건 또 제차함수라고 안한다.
이름이 동차인 이유는, $f(x,y)=xy^3-x^3y+2x^2y^2$ 같은 함수의 경우 모든 항에서 (x의 차수) + (y의 차수)가 4이다. 이런 함수가 저런 성질을 띠기 때문에?? CHK


https://mathworld.wolfram.com/HomogeneousFunction.html
{
고정된 $n$ 에 대해 $f(tx,ty)=t^n f(x,y)$ 를 만족하는 함수.
}
Namu:동차함수
{
다변수함수 중 $f(t x_1,t x_2,\cdots,t x_k)=t^n f(x_1,x_2,\cdots,x_k)$ 를 만족하는 함수 $f(x_1,x_2,\cdots,x_k)$ 를 $n$ 차 동차함수라고 한다.
}
https://www.youtube.com/watch?v=_ooqEWQKMjc 앞부분
{
실수 $n$ 에 대해 함수 $f$ 가
$f(tx,ty)=t^n f(x,y)$
를 만족할 때 $f$ 를 $n$ 차 동차함수라 한다. ( 단, $t>0$ )

ex. $f(x,y)=x^2+2xy+y^2$ 은 2차 동차함수.
x에 tx, y에 ty를 대입하면 확인 가능.
(다항함수일 경우) 직관적으로 확인하는 법은 모든 항이 차수가 2차인 것을 보면 2차 동차함수임을 알 수 있다고.

ex. $f(x,y)=3x^2y+y^3$ 은 3차 동차함수
ex. $f(x,y)=x^2+y^2+2$ 는 동차함수가 아님

$f$ 가 $n$ 차 동차함수이면 $f(x,y)=x^n f(1,\frac{y}{x})=y^n f(\frac{x}{y},1)$ 이다.


Up: 다변수함수?

[edit]

43. 볼록함수/오목함수

[edit]

43.1. 볼록함수 convex function

[edit]

43.2. 오목함수 concave function

[edit]

44. 제한함수/확장함수

맛있는해석학4e p24 밑부분 참조.
[edit]

44.1. 제한함수 restricted function

정의역,domain을 제한한 함수.
[edit]

44.2. 확장함수 extended function


[edit]

45. 밀도함수 density function

[edit]

46. 가우스 함수 Gaussian function


일반적으로
$f(x)=ae^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}$
꼴의 함수. 가령
$f(x)=e^{-x^2}$
같은 것. 이걸 적분하는 것은 가우스_적분,Gaussian_integral이라고 유명함.

가우스 함수는 오차함수,error_function의 도함수(미분,derivative). from wpko chk
가우스 함수는 정규분포,normal_distribution의 확률밀도함수,probability_density_function,PDF. from wpko chk


[edit]

47. 싱크함수 sinc function


정규화,normalization 여부에 따라 정의가 둘로 나뉨.
이하 둘 다 $x=0$ 에서는 정의되지 않음. - 특이점,singular_point - 없앨 수 있는. (wpko 참조)

정규화되지 않은 싱크함수 unnormalized sinc function (wpko는 '비정규화된 싱크함수'라는데...글쎄?)
$\text{sinc}x=\frac{\sin x}{x}$

정규화된 싱크함수 normalized sinc function
$\text{sinc}x=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$

Twins:
WpKo:싱크함수
WpEn:Sinc_function
https://calculus.subwiki.org/wiki/Sinc_function
https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
https://everything2.com/title/sinc

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48. 탄크함수? 탕크함수? tanc function

[edit]

49. 특성함수 characteristic function

[edit]

50. 기저함수 basis function

[edit]

51. 활성화함수 activation function

활성함수라고도 번역하는데 나는 활성화가 맞는 거 같은데
활성화함수,activation_function - writing


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52. 명제함수 propositional function

[edit]

53. 스칼라함수 scalar function and 벡터함수 vector function(= 벡터값함수 vector-valued function)

[edit]

54. 유닛 함수 unit function

[edit]

55. reciprocal function - 역수함수? 반비례함수? 상반함수?


반비례함수(reciprocal function)
$f(x)=x^{-1}=1/x$
이 그래프의 방정식은 $y=1/x$ 또는 $xy=1$ 이고 좌표축을 점근선,asymptote으로 하는 쌍곡선,hyperbola이다.
Ex. 기체의 부피 $V$ 는 압력 $P$ 에 반비례한다는 보일의 법칙Boyle_law
$V=\frac{C}{P}$ (C는 상수)
(Stewart 8e 번역서 p29)

멱함수,power_function에서 지수가 $-1$ 인 경우? 아님 이건 멱함수에서 제외? qqq

[edit]

56. 다음수 함수 successor function


표기:
보통 프라임으로 표기하는 듯. a의 다음수(successor)는 a'

rel.
페아노_공리,Peano_axiom or Peano_system
집합,set and 집합론,set_theory
자연수,natural_number ... 특히 자연수의 구성(construction), 정의(definition)... 이쪽에?
원시재귀함수,primitive_recursive_function
덧셈,addition - 특히 하나,one를 더하는. - 정확하고 구체적 관계 TBW.
increment - 증가 or 증분
hyperoperation hyperoperator 중에 가장 아래 층에 있는?
다음수의 반복은 덧셈으로 간단히 표기할 수 있고,
덧셈의 반복은 곱셈으로 간단히 표기할 수 있고,
곱셈의 반복은 지수로 간단히 표기할 수 있고,
지수의 반복은 테트레이션,tetration으로 간단히 표기할 수 있고, .... 이런식.

WpKo:다음수_함수
WpEn:Successor_function
... Naver:다음수 함수 Google:다음수 함수 Google:successor.function

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57. rectangular function, rect function


AKA Π function, gate function, unit pulse, normalized boxcar function (OEIS Wiki)



[edit]

58. triangular function, tri function


AKA triangle function, hat function, tent function (OEIS Wiki)



[edit]

59. addhere

[edit]

60. addhere

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61. addhere

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62. addhere

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63. addhere

[edit]

64. addhere


[edit]

65. 함수의 분류

모두 의식의 흐름으로 대충적음. chk chk
{
변수에 따라
독립변수의 개수에 따라
(영변수함수?) (ex. 상수함수) ? - CHK
일변수함수 (ex. 일차함수, 정사각형의 넓이)
이변수함수, (z=f(x,y)에서 f는 (x,y)를 z로 대응시키는 함수이다. ex. 직사각형의 넓이)
삼변수함수,
... - 이변수함수 이상은 다변수함수 / 다변수함수의 그래프를 그릴 때는 등위곡선,level_curve(이변수함수의 경우), 등위곡면,level_surface(삼변수함수의 경우) and so on? CHK 개념이 사용됨 ...
종속변수의 개수에 따라
다가함수?
독립변수의 타입,type에 따라
실수변수함수 = 실변수함수
복소수변수함수 = 복소변수함수
종속변수의 type에 따라
실수값함수
복소값함수?
....

이름이 함수여도,
엄밀한 의미의 함수
이름이 함수이지만 수학적 함수의 정의에 ('실제론 함수가 아닌 것' ??)
ex 정의역의 모든 것에 대해 다 정의되지 않는

분야에 따라
수학의함수
물리의함수
화학의함수
CS의함수 - 펑션,function
{
// 이건 루틴,routine 서브루틴,subroutine 이라 해도 되고 OOP에선 메소드,method와도 같다. 가장 포괄적 용어(umbrella term)는 'callable unit(호출가능단위? 호출,call가능 단위,unit)'.[6]

purity ? Ggl:function purity 에 따라
pure_function - 부수효과/부작용/side_effect가 없는
impure_function - 그렇지 않은

function : pure if ...
programming_language : purely functional if evaluation of expressions is pure.
https://wiki.haskell.org/Pure

Topics
purity - 위에
argument
parameter - 이상 둘 뜻이 비슷한데 미묘한 차이. tbw. WpEn:Parameter_(computer_programming)(formal argument)
arity - 받는 argument의 개수.
variadic - 변할 수 있는 개수의 argument를 받는. 즉 arity 가 정해지지 않은.
WtEn:variadic
WpEn:Variadic
variadic_function
variadic function Ggl:variadic function
variadic_macro (C 전처리기,preprocessor)
variadic macro Ggl:variadic macro
variadic_template (C++ / D)
variadic template Ggl:variadic template

Sub
function_overloading = method_overloading (ad hoc polymorphism)
WpEn:Function_overloading

Rel
소프트웨어,software
프로그래밍,programming
호출,call
호출규약,calling_convention

Similar
subroutine
procedure


} // function of CS

}

[edit]

65.1. n급함수 - 𝒞n?

rel. 도함수(=미분,derivative)
미분,differentiation가능성 즉 미분가능성,differentiability에 대한 분류? 몇 번을 할 수 있는지에 따른? chk

// from 김홍종 미적1+ p96
{
도함수가 연속인 함수 = 일급 미분가능 함수(differentiable function of class 𝒞1) = 일급함수(𝒞1 함수)
이급함수(𝒞2 함수)
...
무한급 함수(𝒞∞ 함수)
}

// from 김홍종 미적1+ p128
{
미분가능한 함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)$ 가 연속함수이면 $f(x)$ 를 일급함수라 부른다.
두번 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 이계도함수 $f''(x)$ 가 연속함수이면 $f(x)$ 를 이급함수라 한다.
일반적으로 $n$ 번 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 $n$ 번째 도함수 $f^{(n)}(x)$ 가 연속함수이면 $f(x)$ 를 n급함수라 한다.


[edit]

65.2. 함수의 가능한 값에 따른 분류

함수의 모든 가능한 출력,output(혹은 펑션,function의 리턴,return) 값,value의 집합,set
(공역,codomain인지 치역,range인지? 정확히)
이 뭔지에 따라, 뭐뭐값 함수(xxx-valued function) 로 분류 가능.

하나이면 single-valued function
값이 여러개이면 multivalued or multiple-valued function
즉 다가성,multivaluedness 여부에 따른 분류
ex.
implicit - 함수,function#s-4
multivalued/multivariate? (저쪽에 용어들이 혼란스러움, 정리 필요) - 함수,function#s-32
complex - 함수,function#s-38

값이 스칼라,scalar이면 scalar-valued function
값이 벡터,vector이면 vector-valued function (함수,function#s-53)

값이 실수,real_number이면 실함수 real-valued_function
값이 복소수,complex_number이면 복소함수 - 함수,function#s-38 ... 문제는 하나의 복소수가 아닐 수도 있다는(?)



참,true/거짓,false을 갖는 boolean-valued_function
함수 중에서 이것(그리고 이걸 포함해 가능한 답의 개수가 두 가지인 모든 함수)는 문제,problem 중에서 결정문제,decision_problem와 관련 있을텐데. MKLINK


$[0,\infty)$ 이내 실수 값을 갖는
절대값,absolute_value함수 - 함수,function#s-11
ReLU함수 - 함수,function#s-15

정수,integer값을 갖는 정수화함수 - 함수,function#s-23 중에 일부

이산적인 값을 갖는(? chk) 함수들 중에
계단함수,step_function - 함수,function#s-12
(이산성,discreteness)

연속적인 값을 갖는 함수
(연속성,continuity)

etc.

(이상 2023-01-14에 이 페이지에서 C-f로 valued 검색한것 포함해 작성함, 앞으로도 가끔 valued 로 검색)


[edit]

65.3. 함수의 정의역에 따른 분류

정의역,domain이 뭔지에 따른 분류

정의역에 대해 모두 정의되었는지에 따른 분류
정의역의 모든 원소에 대해 출력이 정해졌는지에 따라
total_function , 부분함수,partial_function etc

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65.4. 함수분류추가

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65.5. 함수분류추가

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65.6. 함수분류추가


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66. 함수 비교


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66.1. (물리+화학) 상태함수와 경로함수


물리량이 변화의 경로(path)에 의존하는지 여부로 구분.

상태함수(state function): 계의 상태에만 의존, 경로에 무관. 즉 현재 상태에 도달한 과정과 무관. 과정을 무시. 처음과 나중 상태에만 관련.
경로함수(path function): 반응물로부터 생성물로 가는 과정까지 고려함. 어떻게 도달했는지 그 과정의 경로에 따라 달라질 수 있음.

명칭
상태함수(state function) = 점함수(point function)
경로함수(path function) = 과정함수 = 도정함수

예
상태함수: 에너지(E), 내부에너지(U), 부피, 압력, 온도, 엔탈피(H), 엔트로피(S), 깁스자유에너지(G) 등.
경로함수: 열(heat), 일(work), 열량(Q), 일량(W)

미적분
상태함수 : 완전미분(전미분, d)과 편미분(∂, δ)으로 둘다 표현 가능
경로함수(=과정함수) : 편미분(∂, δ)으로만 표현 가능
ex.
부피변화량
$\int_{V_1}^{V_2}dV=V_2-V_1=\Delta V$ (V만 U로 바꾸면 내부에너지도 마찬가지)
열량
$\int_1^2\delta Q=Q$

높이: 상태함수,
거리: 경로함수.

ex.
계의 내부 에너지(내부에너지,internal_energy)는 계가 그 상태에 도달한 경로에 의존하지 않음. (현재 상태에만 의존함.) 따라서 상태함수임.


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67. Auto-generated List of *function Pages

  1. 감마함수,gamma_function
  2. 다항함수,polynomial_function
  3. 단위계단함수,unit_step_function
  4. 단위임펄스함수,unit_impulse_function
  5. 디랙_델타함수,Dirac_delta_function
  6. 로그함수,logarithmic_function
  7. 리만_제타함수,Riemann_zeta_function
  8. 매끄러운함수,smooth_function
  9. 멱등함수,idempotent_function
  10. 멱함수,power_function
  11. 벡터함수,vector_function
  12. 볼록함수,convex_function
  13. 비용함수,cost_function
  14. 삼각함수,trigonometric_function
  15. 상수함수,constant_function
  16. 생성함수,generating_function
  17. 소프트맥스함수,softmax_function
  18. 손실함수,loss_function
  19. 시그모이드함수,sigmoid_function
  20. 쌍곡선함수,hyperbolic_function
  21. 역삼각함수,inverse_trigonometric_function
  22. 역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function
  23. 역함수,inverse_function
  24. 오차함수,error_function
  25. 유리함수,rational_function
  26. 조화함수,harmonic_function
  27. 주기함수,periodic_function
  28. 지수함수,exponential_function
  29. 지시함수,indicator_function
  30. 직교함수,orthogonal_function
  31. 특성함수,characteristic_function
  32. 파동함수,wave_function
  33. 퍼텐셜함수,potential_function
  34. 함수,function
  35. 항등함수,identity_function
  36. 해석함수,analytic_function
  37. 확률함수,probability_function
  38. 활성화함수,activation_function

  • 여기 없는것도 있음
  • 나중에 분류를 해야 할 듯 - 물리학 only 함수, CS only 함수, 이름이 함수인데 사실 함수는 아닌 것, 통계학 함수, 별도의 함수라기보다는 함수의 분류인 것, etc.

Related: 사상,map, map, 상,image ...

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68. 노름,norm

이것도 함수라 함.




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69. 함수의 증가와 감소

함수 f는 구간 I에서 TBW

A function f is increasing on the interval I if, for each a < b in I, f(a) < f(b).
A function f is decreasing on the interval I if, for each a < b in I, f(a) > f(b).


see also and chk 단조함수,monotonic_function above

$\forall x_1,x_2\in X:$
$\bullet\; x_1<x_2 \to f(x_1)<f(x_2) \;:\; f$ 는 순증가함수
$\bullet\; x_1<x_2 \to f(x_1)\le f(x_2) \;:\; f$ 는 증가함수
$\bullet\; x_1<x_2 \to f(x_1)>f(x_2) \;:\; f$ 는 순감소함수
$\bullet\; x_1<x_2 \to f(x_1)\ge f(x_2) \;:\; f$ 는 감소함수

모든 순증가(순감소)함수는 일대일 함수.


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70. 함수에 대한 연산 operations on functions

sum, difference, product, quotient, power 뻔해서 생략.

combinations of functions
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ etc.

composition: composition of functions 함수의 합성
$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
합성함수,composite_function
함수합성,function_composition

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70.1. 함수의 변환 transformations of functions

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70.1.1. translation, translating, shift

upward, downward, to the right, to the left
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70.1.2. stretch/shrink

horizontal/vertical stretch/shrink
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70.1.3. reflecting

about the x-axis
about the y-axis


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71. 함수 공간들의 포함관계

QQQ 여기서 말하는 함수 공간이란 함수공간,function_space? or not?

적분가능함수 ⊃ 연속함수 ⊃ 일급함수 ⊃ 이급함수 ⊃ … ⊃ 무한급함수 ⊃ 해석함수 ⊃ 대수함수 ⊃ 일차함수 ⊃ 상수함수

(김홍종 미적1+ p109)

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72. 표기법 남용? abuse of notation

특히 함수에서 심한데 이건 여러 수학책조차도 예외가 아님. '함수 f(x)...'같이.
f(x)는 x의 image.


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73. Links ko

읽을거리 (Rosen의 이산수학 요약) 함수의 쉽고 기본적인 개념들 + 용어정리
https://johngrib.github.io/wiki/discrete-math-functions/

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74. Links en

NIST Digital Library of Mathematical Functions
https://dlmf.nist.gov/

The Mathematical Functions Grimoire is an open source library of formulas and data for special functions. (grimoire = 마법서)
https://fungrim.org/

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75. 함수와 비슷해 보이거나 비교되는 것

나중에 비교/서술 예정 TBW

변환,transformation - 거의 같음. 다만 변환은 벡터→벡터? 혹은 벡터공간→벡터공간??
사상,map - 〃
연산자,operator and 작용소,operator

범함수,functional - 함수들의 집합을 정의역,domain으로 갖는 함수 ? chk - writing
함자,functor - writing
분포,distribution - writing, curr See 확률분포,probability_distribution

n차원 벡터,vector는 n개의 수,number를 나열한 것.
실수(or 복소수) 함수는 실수(or 복소수) 값을 무한 개 나열한 것.
즉,
실수(or 복소수) 함수는 무한 차원 벡터? // 무한차원,infinite_dimension { ... Google:무한차원 Google:infinite.dimension Up: infinity 차원,dimension }
함수는 벡터,vector의 일반화,generalization.
함수는 무한차원벡터공간(curr 벡터공간,vector_space#s-10(벡터공간의 차원))의 한 점.
// via https://youtu.be/bzoGRbAXK-E?t=288

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76. 함수인데 pagename에 함수 안 들어간 것

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