#noindex del { QQQ [[변수,variable]]들 간의 연관 관계를 묘사함?? 변수의 집합이 두(세?) 개 있고 그것의 [[관계,relation]]? [[연산,operation]]과의 정확한 관계가? (무관) '함수연산'에 대해선 [[연산,operation#s-6]] 정의역 공역 연산 이렇게 세트가(tuple?) 있으면 함수? AAA 이건 planetmath에 의하면, 집합 두 개(각각 [[정의역,domain]]과 [[공역,codomain]])와 그 사이 [[이항관계,binary_relation]]로 이루어진 triplet (f,A,B)로 정의함. AAA 생각 at [[Date(2023-01-16T16:35:17)]] 질문에 오류. 변수는 좀 거리가 있는 개념. 입력은 변수일 수 있지만 parameter나 argument라는 명칭이 올바를테고 (혹시 항상 evaluate되어 constant로 들어감?) 출력은 변수라고 보기 어렵고(?) 함수자체가 명칭이 변수일수도있고(esp 통계쪽) 저런것까지 생각할 필요가 있을까? 그냥 단순히 [[입력,input]]은 [[정의역,domain]]의 [[원소,element]]이고, [[출력,output]]은 ([[공역,codomain]]의 [[부분집합,subset]]인) [[치역,range]]의 원소이다. 정도면 ok인듯 QQQ 그럼 정의역의 [[원소,element]]들은 [[입력,input]], [[독립변수,independent_variable]]이고 공역?치역?의 원소들은 [[출력,output]], [[종속변수,dependent_variable]]? (rel. [[독립변수와_종속변수]]) CHK [[그래프,graph]]로 그릴 수 있다. ([[시각화,visualization]] 관련) .... 함수 $f:A\to B$ 는 어떠한 [[관계,relation]]를 뜻하는 데, 이 관계란 다름아닌 [[집합,set]] $A\times B$ 의 한 [[부분집합,subset]]이 된다. 이 부분집합을 보통 함수의 그래프라고 부른다. 따라서 함수와 그래프는 같은 것이다. (김홍종 미적1+ p365) } 함수와 관계의 관계: { 함수는 [[관계,relation]]의 일종. ## from 수학백과: 정의역 } 모두(빠짐없이), [[하나,one]]씩만 대응 함수는 입력 x와 출력 y(x)를 가진다. 각각의 x에 대해 이 함수는 하나의 y를 가진다. 입력 x는 함수의 정의역으로부터 온다. 출력은 함수의 치역을 형성한다. A '''function''' $f$ from a set A to a set B is a rule of correspondence that assigns to each element in A one and only one element in B. 이 때 기호는 $f:A\to B$ A는 domain, B는 codomain, B의 [[부분집합,subset]]이 range ## from namu $f:X\mapsto Y$ 에서 $X$ : [[정의역,domain]] $Y$ : [[공역,codomain]] $f(X)$ : [[치역,range]] $f(x)$ : 함수값 or [[상,image]] 정의역과 공역이 같으면 [[endofunction]]. WtEn:endofunction WpEn:Endofunction redir to Endomorphism. Rel [[endomorphism]] ... pagename TBD: [[자기사상,endomorphism]] or [[자기준동형사상,endomorphism]] ([[준동형사상,homomorphism]]을 살린 번역) ... WpKo:자기_사상 Sub: [[수열,sequence]] [[장,field]] QQQ CHK { 관계 순서쌍의 집합으로 나타낼 수 있남? 함수란 세 [[집합,set]] 사이의 [[관계,relation]]....? 두 집합? // 정공치 이것들은 다 [[집합,set]]인지? CHK [[정의역,domain]] natural domain (kms 번역어 없음) natural_domain 대략, 정의역이 직접 주어지지(명시되지) 않았을 때 가정하는, 정의역으로 타당하고 적절한 최대의 집합 정도를 일컫는 듯 함. e.g. Precalculus and Calculus 정도 레벨에서 대략 이쯤 되는 듯.... (Thomas Calculus: Domain) ||$y=x^2$ ||$\mathbb{R}$ || ||$y=1/x$ ||$\mathbb{R}\setminus\{0\}$ || ||$y=\sqrt{x}$ ||$[0,\infty)$ || ||$y=\sqrt{4-x}$ ||$(-\infty,4]$ || ||$y=\sqrt{1-x^2}$ ||$[-1,1]$ || 허용된 입력 값들의 집합[* Ivan Savov 번역서 p75] [[공역,codomain]] 함수가 가질 수 있는 출력들의 집합 함수 $f:A\to B$ 와 함수 $f:A\to C$ (책에서 생략되었지만 분명 ''B''≠''C'')는 함수의 입출력 관계, 즉 그래프가 같더라도 공역이 다르므로 다른 함수로 간주된다.[* Ivan Savov 번역서 p75] AKA 공변역 [[치역,range]] 정의역의 [[상,image]] 공역의 원소 중에서 함수의 가능한 모든 출력값들의 집합[* Ivan Savov 번역서 p75] 치역은 항상 공역의 부분집합이다. [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338327&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 치역]] } ---- 정의역 domain [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338294&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 정의역]] 공역 codomain [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338241&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 공역]] 치역 range ---- 기타 용어 [[상,image]] [[사상,map]] [[사상,morphism]] { [[WpKo:사상_(수학)]] } ---- CHK 오래된내용. { 표기 기호 (함수 이름이 f이고 [[독립변수와_종속변수]]가 각각 x, y일 때) f: x → y 또는 y = f(x) } TeX 기호 \mapsto : $\mapsto$ 를 쓰면, ‘함수 f에 의해 x가 y에 대응되는 것’은 $f:x\mapsto y$ $y=f(x)$ ---- [[Date(2020-10-23T17:46:08)]] \to, \mapsto $(\to,\mapsto)$ 기호의 차이를 우연히 알았는데, 각각 집합대응과 원소대응을 표시하는 것 같음. $f:A\to B$ 는 [[집합,set]] A([[정의역,domain]])에서 B(--[[치역,range]]-- [[공역,codomain]])로 가는, 그리고 이 때 $f:a\mapsto b$ 는 $a(\in A)$ 를 $b(\in B)$ 에 대응하는 것을 표시하는 게 맞는지 CHK ||표기 ||뜻 || ||$f:X\to Y$ ||함수 f, 정의역 X, 공역 Y || ||$f:x\mapsto y$ ||함수 f, 원상(preimage) x, 상(image) y. $f(x)=y$ 와 같음. || ex. 모든 실수를 그 제곱으로 대응시키는 대응 관계는 함수 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\, x\mapsto x^2$ src [[WpKo:함수#정의]] [[Date(2020-10-24T15:39:34)]] 원상과 상. preimage and image. f(a)=b 이면 b를 a의 상(image), a를 b의 원상(preimage)이라 한다. [[https://johngrib.github.io/wiki/discrete-math-functions/ src]] [[,preimage]] { https://mathworld.wolfram.com/Preimage.html } ---- [[TableOfContents]] = [[상수함수,constant_function]] = 정의역의 모든 원소에 대한 함수값이 일정할 때, 즉 $f(x)=c$ 인 경우. 치역의 원소가 한 개. Sub: [[영함수,zero_function]] https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/constantfunc.html 0-ary(nullary)이면서 pure한 함수는 분명 상수함수이다. ''이건 잠깐 생각해보면 아주 명확하지만, 증명은? qqq'' Related: piecewise_constant_function { Sub: [[단위계단함수,unit_step_function]], 각종정수화함수, .... https://mathworld.wolfram.com/PiecewiseConstantFunction.html } Twins: [[WpEn:Constant_function]] - 여러 성질들 [[WpKo:상수_함수]] https://ncatlab.org/nlab/show/constant+function https://mathworld.wolfram.com/ConstantFunction.html == [[영함수,zero_function]] == $f(x)=0$ 홀함수이자 짝함수인 유일한 함수. https://mathworld.wolfram.com/ZeroFunction.html https://ncatlab.org/nlab/show/zero+function mklink [[영사상,zero_morphism]] = [[항등함수,identity_function]] = $f(x)=x$ related or similar: [[항등원,identity_element]] e [[항등식,identity]] [[단위행렬,unit_matrix]](=항등행렬) I Twins: [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338323&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 항등함수]] = [[합성함수,composite_function]] = $f:X\to Y$ 와 $g:Y\to Z$ 에 대해 $g\circ f:X\to Z$ 의 정의: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ [[합성,composition]] [[함수합성,function_composition]] ...or composition_of_functions? (curr see [[결합법칙,associativity]]) { $(f\circ g)(x) \equiv f(g(x))$ cmp [[펑션합성,function_composition]] - of [[펑션,function]] } 성질 $f\circ g\ne g\circ f$ - [[교환법칙,commutativity]] 성립하지 않음 i.e. $f(g(x))\ne g(f(x))$ $f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ - [[결합법칙,associativity]] 성립함 멱등함수와의 관계 같은 것을 합성한 함수가 자기 자신이 되면 멱등함수. $(f\circ f)(x)=f^2(x)=f(x)$ 를 만족하는 함수 $f$ 는 [[멱등함수,idempotent_function]]. [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3338320&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 합성함수]] 미분법은 [[연쇄법칙,chain_rule]] ---- '''함수 합성''' [[함수합성,function_composition]] https://mathworld.wolfram.com/Composition.html https://wiki.haskell.org/Function_composition = 양함수/음함수 explicit/implicit = [[독립변수와_종속변수]]에서 [[종속변수,dependent_variable]]?????? 가 하나이면 [[양함수,explicit_function]] 둘 이상이면 [[음함수,implicit_function]] ? CHK 음함수는 y=(x에 대한 (piecewise말고 단일) [[식,expression]]) 꼴로 정리할 수 없으면 음함수인가? chk ex. [[원,circle]]의 방정식 음함수를 미분하는 것은 [[음함수미분,implicit_differentiation]] '''음함수의 미분법''' 함수가 $y=f(x)$ 꼴로 쓰여졌을 때, 양함수 꼴로 표현되었다(defined explicitly)고 함. $g(x,y)=c$ 꼴로 쓰여졌을 때, 음함수 꼴로 표현되었다(defined implicitly)고 함. 명백히, 음함수 꼴이 더 일반적임. ---- 양함수는 음함수의 특별한 형태이다. (이춘호) i.e. 음함수가 양함수보다 더 일반적인 형태이다. ---- 양함수(explicit function): 독립변수 x에 대해 $y=f(x)$ 로 유일하게 표현되는 함수. 음함수(implicit function): 독립변수 x와 종속변수 y가 분리되지 않고, 두 변수 x, y의 관계 $f(x,y)=0$ 로 표현되는 함수. 사실 음함수는 (어떤 경우에는?) 일반적인 의미에서의 함수는 아님. 음함수는 엄밀히 말하여 함수는 아니라는데... CHK '엄밀한 의미에서의 함수'는 아니라는건가? ---- implicit function과 parametric-''something'' (curr see [[매개변수방정식,parametric_equation]])은 밀접한 관계가 있는듯? 한 x에 대응하는 y가 여럿 있어서 일반적인 함수관계로 나타낼 수 없는 경우를 parametric하게 하면 쉽게 표현되는 것 같은데. ---- 용어가 좀 이상하여, (음/양은 negative positive를 연상시킴.) 명시적 explicit 내재적 implicit 이란 번역도 있다 기타 명시적함수/암시적함수 명시함수/암시함수 (내 생각) 명함수/암함수 (namu 어디에선가 본 것 같음) 같은 번역 제안이 있는데, 유리수/무리수를 유비수/무비수라고 바꾸려는 그 느낌과 비슷 같은 용어를 쓰는 곳: [[미분방정식,differential_equation]]에도 implicit/explicit 구분이 있다. 양함수 음함수는 차라리 positive_function / negative_function 에 더 잘 대응하는 번역이 아닌지? 애초에 저렇게 번역한 이유? [[Date(2023-11-13T23:41:51)]] 비슷한 의견: 왜 '음함수'는 잘못된 번역인가? https://freshrimpsushi.github.io/posts/why-korean-translation-of-implicit-function-is-inappropriate/ ---- Heinbockel Calculus Volume 1에서는 [[http://www.math.odu.edu/~jhh/Volume-1.PDF p14]] single-valued function multiple-valued function 으로 나눈다. ---- see also: multi어쩌고 함수에 대해서는 curr goto [[함수,function#s-32]] ---- Twins: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Implicit_function = 전사/단사/전단사, surj/inj/bij = 현재 주로 [[사상,map]]페이지에. [[전사,단사,전단사]] { || ||[[전사,surjection]] ||[[단사,injection]] ||[[전단사,bijection]] || ||영어 형용사형 ||surjective ||injective ||bijective || ||표현(영어) ||onto ||one-to-one ||one-to-one correspondence || ||표현(한국어) ||위로의 함수 ||일대일 함수 ||일대일 대응 || ||식 ||$f(X)=Y$ ||$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$ ||왼쪽 두가지 다? chk || ||설명 ||치역과 공역이 같음 || ||전사와 단사의 성질을 모두 만족 || } 일단 공통 내용 { 함수 $f:X\to Y$ 여기서 $X$ : 정의역 $Y$ : 공역 $f(X)=\{f(x)|x\in X\}$ : 치역 } [[전사,surjection]] { $f(X)=Y$ onto 와 완벽동의어인지 chk adj. surjective } [[단사,injection]] { $\forall x_1,x_2\in X,$ $x_1\ne x_2 \Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$ [[일대일,one-to-one]]과 완벽동의어인지 chk [[일대일함수,one-to-one_function]]와 밀접. adj. injective } [[전단사,bijection]] { [[일대일대응,one-to-one_correspondence]] 과 완벽동의어인지 chk adj. bijective } ---- [[전사함수,surjective_function]] AKA 위로의(onto) 함수 치역과 공역이 같은 함수. [[선택공리,choice_axiom]]에서 언급됨. "선택공리는 '임의의 전사함수가 절단함수를 가진다.'는 주장과 동치이다."[* [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338054&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 선택공리]]에서, 2.4. 전사함수의 절단 참조.] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338293&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 전사함수]] [[단사함수,injective_function]] AKA 일대일 함수(one-to-one function) 단사함수는 [[역함수,inverse_function]]를 가지기 위한 조건. (QQQ 정확히 무슨조건인지 명시 - 필요?충분?필요충분??) via "주어진 함수가 역함수를 가지기 위해서는 반드시 단사함수여야 한다"[* [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338284&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 역함수]] 목차 바로 앞.] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338254&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 단사함수]] [[전단사함수,bijective_function]] AKA 일대일 대응 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338292&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 전단사함수]] ---- ||전사함수 ||surjective f. ||위로의 함수, onto || ||단사함수 ||injective f. ||일대일 함수, one-to-one || ||전단사함수 ||bijective f. ||일대일 대응, one-to-one correspondence || WpKo:전사_함수 = WpEn:Surjective_function = onto = 위로의 함수 WpKo:단사_함수 = WpEn:Injective_function = one-to-one = 일대일 함수 WpKo:전단사_함수 = WpEn:Bijective_function = one-to-one correspondence = 일대일 대응 함수 종합한 페이지: [[WpEn:Bijection,_injection_and_surjection]] ||전사 ||공역과 치역이 같다 ||Y=f(X) ||surjection ||모두 사살당한다? || ||단사 ||정의역의 서로 다른 원소는 [[br]]공역의 서로 다른 원소에 대응 ||a≠b ⇒ f(a)≠f(b) ||injection ||한(one) 발만 맞는다? [[br]] (키워드: distinctness) [[br]] (관련: [[WpEn:Horizontal_line_test]]) || (비교: 수직선 판정법(https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Vertical_line_test [[WpEn:Vertical_line_test]]) 통과는 모든 함수의 필수조건) { 수직선 판정법(vertical line test) 곡선이 x축에 수직인 직선과 두 번 이상 만나면, 이 곡선은 함수의 그래프가 될 수 없다. 왜냐면 (x의 값에 y의 값이) 꼭 하나만 대응해야 함수가 되기 때문. } tmp links ko: https://junklee.tistory.com/80 전사함수와 일대일함수 == 일대일 함수 one-to-one function == [[일대일함수,one-to-one_function]] 함수 $f:X\to Y$ 에 대해 $f(x_1)=f(x_2)\;\Rightarrow\;x_1=x_2$ 이면 $f$ 는 일대일함수(one-to-one function)이다. ---- 함수 $f$ 가 같은 값을 두 번 취하지 않을 때, 즉 다음이 성립할 때 함수 $f$ 를 '''일대일 함수'''(one-to-one function)라 한다. $x_1\ne x_2$ 일 때 $f(x_1)\ne f(x_2)$ 수평선판정법 horizontal_line_test : 함수가 일대일이기 위한 필요충분조건은 어떤 수평선도 함수의 그래프와 기껏해야 한 번만 교차하는 것이다. (Stewart 8e ko) ---- A function $f$ is called a '''one-to-one function''' if it never takes on the same value twice; that is, $f(x_1)\ne f(x_2)\;\;\textrm{ whenever }x_1\ne x_2$ horizontal_line_test로 판별. A function is one-to-one iff no horizontal line intersects its graph more than once. 예 $f(x)=x^3$ 은 일대일(one-to-one). $g(x)=x^2$ 은 아님. 예를 들어 $g(1)=1=g(-1)$ 이렇게 출력이 같으므로. (Stewart) ---- 일대일함수인지 여부는 [[역함수,inverse_function]]를 구할 수 있는지와 밀접한데 정확히 서술. TBW. AKA [[단사함수,injective_function]] rel. [[단사,injection]] == 일대일 대응 함수 == 함수 $f:X\to Y$ 에 대해 $f$ 가 일대일 함수이고 $f(X)=Y$ 이면 $f$ 는 일대일대응(one-to-one correspondence) 함수이다. == 수평선 판정법(horizontal line test) == 일대일 함수이기 위한 필요충분조건: 어떤 수평선도 함수의 그래프와 두 점 이상에서 만나지 않는다. = 역함수 inverse function = Moved to [[역함수,inverse_function]] = 삼각함수 및 관련 함수 = [[삼각함수,trigonometric_function]] [[역삼각함수,inverse_trigonometric_function]] [[쌍곡선함수,hyperbolic_function]] [[역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function]] [[RR:삼각함수,trigonometric_function]] [[RR:역삼각함수,inverse_trigonometric_function]] [[RR:쌍곡선함수,hyperbolic_function]] [[RR:역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function]] = 단조함수 monotonic_function = [[단조함수,monotonic_function]] 정의된 구간에서 감소하는 구간이 없거나(단조증가함수) 증가하는 구간이 없을 경우(단조감소함수) [[https://www.scienceall.com/%EB%8B%A8%EC%A1%B0%ED%95%A8%EC%88%98monotonemonotonic-function/ tmp src]] //''from https://freshrimpsushi.tistory.com/848'': 함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 있고 $\forall x_1,x_2\in[a,b]$ 에 대해 $x_1f(x_2)$ : $f$ 는 strictly decreasing function Sub: 단조증가함수 monotone increasing function 단조감소함수 monotone decreasing function QQQ monotone인가 monotonic인가 둘다ok인가? 단조롭게 monotonically 밑의 '함수의 증가와 감소' section과 합칠 필요 있음. .... 보다는 서로 언급 필요. = 대수함수 algebraic function = AKA '''대수적 함수''' 다항함수에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 근호 취하기와 같은 대수적 연산을 이용해서 만든 함수를 '''대수함수'''라 한다. 모든 유리함수는 대수함수이다. (Stewart 8e 번역판) A function $f$ is called an '''algebraic function''' if it can be constructed using algebraic operations(대수적 연산 algebraic_operation) (such as [[덧셈,addition]], [[뺄셈,subtraction]], [[곱셈,multiplication]], [[나눗셈,division]], and taking roots) starting with polynomials. 모든 다항함수(polynomial function), 유리함수(rational function)는 대수함수(algebraic function)임. 대수함수가 아닌 함수는 (모두? 아님 초등함수 중에서?) [[초월함수,transcendental_function]]임. polynomial - [[다항식,polynomial]] constant function (0차) linear function (1차) quadratic function (2차) (형태: [[포물선,parabola]]) cubic function (3차) quartic function (4차) etc. rational function - 두 polynomial의 [[비,ratio]] nth root square root - [[제곱근,square_root]] cube root 등등.. - [[근,루트,root]] == Polynomials and rational functions == [[다항함수,polynomial_function]] { [[다항식,polynomial]] [[이차함수,quadratic_function]]; curr. goto [[이차방정식,quadratic_equation]] and [[포물선,parabola]] } [[분수함수,fractional_function]] [[유리함수,rational_function]] [[무리함수,irrational_function]] { $f(x)$ 가 유리식이고, 0이 아닌 정수 n에 대해, 적당한 x의 범위에서 $y=\sqrt[n]{f(x)}=f(x)^{\frac1n}$ 일 때, $y$ 를 무리함수라고 한다. [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125284&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 무리함수]] Namu:무리함수 } = 초월함수 transcendental function = [[초월함수,transcendental_function]] algebraic하지 않은 함수. Compare: [[대수함수,algebraic_function]] [[지수함수,exponential_function]] [[로그함수,logarithmic_function]] [[삼각함수,trigonometric_function]] [[역삼각함수,inverse_trigonometric_function]] [[쌍곡선함수,hyperbolic_function]] [[역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function]] ... mklink [[초월수,transcendental_number]] ---- [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3340693&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 초월함수]] https://everything2.com/title/transcendental+function = 절대값 함수 = [[절대값,absolute_value]] $|x|=\begin{cases}-x&(x<0)\\x&(x\ge0)\end{cases}$ = 계단 함수 step function = [[계단함수,step_function]] [[불연속성,discontinuity]]? esp. jump discontinuity? '''계단 함수'''의 도함수는 [[임펄스함수,impulse_function]] Apostol Calculus에선 [[적분,integration]]을 '''계단함수'''로 먼저 설명하고 일반적 함수로 넘어간다. 계단함수의 적분은 유한[[합,sum]](finite_sum)으로 나타나기 때문에 비교적 쉽기 때문. == 헤비사이드_계단함수,Heaviside_step_function == $H(x)=\begin{cases}0&(x<0)\\1&(x\ge0)\end{cases}$ "0부터 1이다" AKA [[헤비사이드_함수,Heaviside_function]] { The Heaviside function $H$ is defined by $H(t)=\begin{cases}0&\textrm{ if }t<0\\1&\textrm{ if }t\ge 0\end{cases}$ $H(t-a)=\begin{cases}0&\textrm{ if }t0\end{cases}$ } 또는 중간을 1/2로 정의하기도. from https://mathstorehouse.com/lecture-notes/laplace-transform/unit-step-function/ { $a\ge 0$ 일 때 unit step function은 $u(t-a)=\begin{cases}0&(ta)\end{cases}$ } Twins: [[Namu:헤비사이드%20계단함수]] https://everything2.com/title/Heaviside+function https://oeis.org/wiki/Heaviside_step_function ---- 다음과 밀접함. TOLINK. 관계서술. [[디랙_델타함수,Dirac_delta_function]] [[라플라스_변환,Laplace_transform]] 이동 shift/shifting = 임펄스 함수 impulse function = [[임펄스함수,impulse_function]] QQQ [[디랙_델타함수,Dirac_delta_function]]와 관계 정확히??? Sub? : [[단위임펄스함수,unit_impulse_function]] - 이게 dirac delta? chk [[계단함수,step_function]]의 도함수는 '''임펄스 함수''' '''임펄스함수'''의 [[라플라스_변환,Laplace_transform]]은 1. chk $\mathcal{L}[\delta(t)]=F(s)=1$ [[sampling_property]] // [[샘플링,sampling]] [[표본화,sampling]]? of the '''impulse function''': $f(t)\delta(t-t_1)=f(t_1)\delta(t-t_1)$ 여기서 $f(t)$ 는 $t=t_1$ 일 때 연속인 임의의 함수. [[sifting_property]] of the '''impuse function''': $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-t_1)dt = f(t_1)$ = 시그모이드 함수 sigmoid function = ''Moved to [[시그모이드함수,sigmoid_function]]'' = ReLU함수, rectified linear unit 함수 = 0이 넘으면 그대로 출력하고 0 이하이면 0을 출력 $h(x)=\begin{cases}x&(x>0)\\0&(x\le 0)\end{cases}$ 정류된 선형 함수 max(0, x)으로도 정의 가능 {{{ def relu(x): return np.maximum(0, x) }}} https://itwiki.kr/w/ReLU ... Google:relu+function [[Date(2023-04-29T01:32:49)]] 그렇다면 이것의 미분은 양수에서 1 음수에선 0인데 0에서는? 존재하지 않지만 (does not exist, DNE) https://youtu.be/oY6-i2Ybin4?t=311 에선 0에서 그냥 0으로 한다고. = 부호함수 sign function, signum function = [[부호함수,sign_function]] $\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}-1&(x<0)\\0&(x=0)\\1&(x>0)\end{cases}$ WpKo:부호함수 [[부호,sign]] = 바이어슈트라스 함수 Weierstrass function = [[바이어슈트라스_함수,Weierstrass_function]] 모든 점에서 연속이면서 모든 점에서 미분 불능한 함수 [[프랙털,fractal]]임 = 오차함수 error function = [[오차함수,error_function]] = 주기함수 periodic function = [[주기함수,periodic_function]] 일정 [[주기,period]]로 [[패턴,pattern]]이 반복되는 함수 Definition. A function $f(x)$ is '''periodic''' if there is a positive number $p$ such that $f(x+p)=f(x)$ for every value of $x.$ The smallest such value of $p$ is the '''period''' of $f.$ (Thomas Calculus) 모든 주기함수는 무한 다항식의 합으로 표현할 수 있다. [[푸리에_급수,Fourier_series]] CHK 모든 '''주기함수'''는 [[RR:정현파,sinusoidal_wave]]의 [[선형결합,linear_combination]]으로 표현할 수 있다. CHK [[WpKo:주기함수]] [[WpEn:Periodic_function]] = 파동함수 wave function = [[파동함수,wave_function]] = 베셀 함수 Bessel function = [[베셀_함수,Bessel_function]] $J_0(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{2^{2n} (n!)^2}$ $J_n(x)$ 미적분 과정에선 [[수렴판정법,convergence_test]] 예제로 나오며 [[미분방정식,differential_equation]]과 관련이 있다고 한다. [[베셀_미분방정식,Bessel_s_differential_equation]] ... or [[베셀_방정식,Bessel_equation]] https://ghebook.blogspot.com/2011/12/bessels-differential-equation.html https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html https://encyclopediaofmath.org/wiki/Bessel_equation 1종 베셀 함수 Bessel function of the first kind 2종 베셀 함수 Bessel function of the second kind 3종 베셀 함수 한켈 함수 Hankel function https://mathworld.wolfram.com/HankelFunction.html https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hankel_functions https://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheFirstKind.html https://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheSecondKind.html https://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselDifferentialEquation.html https://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselFunctionoftheFirstKind.html https://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselDifferentialEquation.html https://ghebook.blogspot.com/2011/12/bessel-function.html https://everything2.com/title/Bessel+functions Bessel_equation 의 모든 해 [[WpEn:Bessel_function]] [[WpKo:베셀_함수]] https://encyclopediaofmath.org/wiki/Bessel_functions rel. cylinder_function https://mathworld.wolfram.com/CylinderFunction.html https://encyclopediaofmath.org/wiki/Cylinder_functions https://en.wiktionary.org/wiki/cylinder_function .....correct? chk rel. Neumann_function https://encyclopediaofmath.org/wiki/Neumann_function = 뫼비우스 함수 Möbius function = [[뫼비우스_함수,Moebius_function]] - writing = 정수화 함수? = 정수화함수 ? [[Date(2024-01-07T11:46:53)]] '''정수값함수''' ...라는 번역이 적절해보이는 ? ∵ we 표제어 [[WpEn:Integer-valued_function]] 결과 [[값,value]]의 [[타입,type]] i.e. [[치역,range]]이 뭐인지에 따라 명칭을 붙인. == 최대정수함수 greatest integer function, 바닥함수 integer floor function == $f(x)=\lfloor x \rfloor$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대의 정수 $\mathbb{[}x\mathbb{]}$ 으로 나타내기도 계단 모양 $\lfloor x \rfloor$ \lfloor,\rfloor : $\lfloor,\rfloor$ == 최소정수함수 least integer function, 천정함수 integer ceiling function == $\lceil x \rceil$ \lceil,\rceil : $\lceil,\rceil$ ---- ||최대정수함수 greatest integer function ||바닥함수 floor function || ||최소정수함수 least integer function ||천장함수 ceiling function || 올림, 내림(버림?) 은 음수일 경우 달라짐에 주의 임의의 실수 $x$ 에 대해 $\lfloor x \rfloor : x$ 의 정수부 $x-\lfloor x\rfloor : x$ 의 소수부 ---- 구체수학(Concrete Math.)의 "바닥(floor) 함수와 천장(ceiling) 함수" 스터디 노트 (ko) https://johngrib.github.io/wiki/c-m-03-Integer-Functions-01/ at [[Date(2020-10-22T12:38:59)]] 이상 두 섹션을 정수함수 integer functions로 합쳐??? CHK == 반올림rounding도 서술해야 함 == 반올림round 올림ceil 내림floor 인가??? CHK 소수 관련. 소수점 관련. [[부동소수점,floating_point]] 관련. == (정수화함수는 아니지만 관련있음, 일단 여기에) 소수 부분 나타내는 함수 == 톱니파? $\lbrace x \rbrace = x-\lfloor x \rfloor$ = 매끄러운 함수 smooth function = [[매끄러운함수,smooth_function]] [[WpEn:Smoothness]] [[WpKo:매끄러운_함수]] [[매끄러움,smoothness]] TBW [[해석함수,analytic_function]]와 관련성 = 연속함수 continuous function = [[연속함수,continuous_function]] - TBW 매끄러움과의 차이 서술 - { [[매끄러운함수,smooth_function]] - curr see [[함수,function#s-24]] and [[매끄러움,smoothness]] } See [[연속성,continuity]] 그리고 연속함수가 아닌 함수는 불연속함수. - 무조건 항상? chk [[불연속함수,discontinuous_function]] See [[불연속성,discontinuity]] // TODO CLEANUP or TBD - 이건 여기 (subs) 중에 넣지 말고 '함수의 특성에 따른 분류' 섹션 정도로 분리해야?? = 짝함수/홀함수 even/odd 우함수/기함수 = [[짝함수,even_function]] AKA 우함수 (Tip: 글자 '우'의 모양이 좌우대칭.) y축 대칭(symmetric about the y-axis) $\forall x,\,f(-x)=f(x)$ ex. cos 상수함수 정규분포함수 디렉델타함수 ... ---- [[홀함수,odd_function]] AKA 기함수 원점 대칭(symmetric about the origin) $\forall x,\,f(-x)=-f(x)$ 다시 말해, $f(x)+f(-x)=0$ ex. sin tan sgn erf ... ---- $f(x)=1+x^2-x^4$ 처럼 오직 x의 짝수 거듭제곱만을 포함하면 짝함수. $g(x)=x+x^3-x^9$ 처럼 오직 x의 홀수 거듭제곱만을 포함하면 홀함수. ---- 모든 함수가 우함수와 기함수로 분류되지는 않는다. 모든 함수는 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있다. 증명: 임의의 함수 $f(x)$ 에 대해, $f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ (+의 좌측은 짝함수이고 우측은 홀함수이다.) [[정적분,definite_integral]]을 계산할 때 홀/짝함수의 성질을 이용하면 계산이 편해짐. Misc: 짝함수/홀함수가 직관적이고 쉽고 옳은 표현이라 생각됨. 영어와도 일치. 우함수/기함수는 어디서 유래된 한자단어인지 몰라도 왜 이런 표현이 널리 쓰이는지 모르겠음. 헷갈리지 않는 방법은 '우' 글자 모양이 좌우대칭. [[Namu:대칭함수]] ---- 둘의 도함수([[미분,derivative]]) 관계 짝함수의 도함수는 홀함수. 홀함수의 도함수는 짝함수. = [[확률함수,probability_function]] = 해당 페이지 참조. 편의상 만든 임시 목록 TMP DELME { [[확률질량함수,probability_mass_function,PMF]] [[확률밀도함수,probability_density_function,PDF]] [[누적분포함수,cumulative_distribution_function,CDF]] [[확률생성함수,probability_generating_function,PGF]] } = [[리만_제타함수,Riemann_zeta_function]] = = [[멱함수,power_function]] = $f(x)=x^a$ 이고 $a$ 는 [[상수,constant]] 꼴인 함수. $a=-1$ 일 때: reciprocal function 역수함수 ([[역함수,inverse_function]]과는 구분) [[쌍곡선,hyperbola]] $a=-2$ 일 때: 역제곱 inverse_square law 관련. (ex. 중력/전자기력이나 소리의 loudness/빛 등 각종 파동 등이 거리에 따라....) a가 음의 정수일 때 모두 reciprocal fn.이라 함. (Stewart) $a=1/n$ (n은 양의 정수)일 때: $f(x)=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$ 는 root_function. kms단어 없음. 아마 제곱근함수? /// 바로아래section n=2일 때: square root function, 정의역은 $[0,\infty)$ - 모양은 [[포물선,parabola]] $x=y^2$ 의 위쪽 절반. n=3일 때: cubic root function, 정의역은 $\mathbb{R}$ LINK LATER: [[http://tomoyo.ivyro.net/123/wiki.php/asdf?action=fullsearch&value=%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EA%B7%BC&context=20&case=1 BACKSRCH 제곱근]] 같은 power가 들어간 페이지: [[멱급수,power_series]] Twins: https://en.citizendium.org/wiki/Power_function Up: [[멱,power]] or [[거듭제곱,power]] = root function = [[root_function]] 번역? 거듭제곱근함수 (Stewart 8e 번역서) not in kms as of [[Date(2022-12-16T02:24:11)]] - https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=root+function $f(x)=x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$ (n은 양의 정수) 일반적으로 거듭제곱근함수, n=2일 때 제곱근함수, n=3일때 세제곱근함수, etc 이 번역이 적당? = 지시 함수 indicator function = [[지시함수,indicator_function]] == 디리클레 함수 Dirichlet function == [[디리클레_함수,Dirichlet_function]] - writing = 다변수함수 multivariable function = AKA '''다변량함수, function of many/several variables, multivariate/multivariable function''' (표현이 통일되지 않고 다양함) [[다변수함수,multivariable_function]] argument가 두 개 이상. 정의역이 n-tuple(n≥2)? 정의역/공역이 D/C일 때 일변량함수는 D→C '''다변량함수'''는 D^^n^^→C 예를 들어 $f(x,y)=x^2+y^2$ 은 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ wpen: 변수가 실수일 경우 WpEn:Function_of_several_real_variables 변수가 복소수일 경우 WpEn:Several_complex_variables -------- 그런데 https://mansoostat.tistory.com/23 에서는 종속변수의 개수에 따라 univariate 단변량 multivariate 다변량 bivariate 이변량 독립변수의 개수에 따라 univariable 단변수 multivariable 다변수 라는데.... 흠 ---- multivalued function see: 관련 내용 [[주치,principal_value]]로 이전. at [[Date(2020-10-24T21:55:28)]] ---- 주로 물리나 [[장,field]] 관련해서, 다변수함수는 평면 2D를 다룰 때 x, y 공간 3D를 다룰 때 x, y, z 거기에 시간까지 다룰 때 x, y, z, t 이런 기호&순서로 변수를 쓰는 듯. 어떨 땐 공간좌표를 [[벡터,vector]]로 묶어서 [[위치벡터,position_vector]] r ---- See also/misc: 양함수/음함수에 대해선 goto [[함수,function#s-4]] 복소함수에 대해선 goto [[함수,function#s-38]] ---- argument 수에 따라, 0 0-ary_function (AKA nullary_function) 영항함수 https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/zeroaryfunc.html 1 unary_function 일항함수 https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/unaryfunc.html 2 binary_function 이항함수 https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/binaryfunc.html 3 trinary_function 삼항함수 https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/trinaryfunc.html n n-ary_function n항함수 https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/naryfunc.html ---- 이것들을 one-to-one one-to-many many-to-one many-to-many 이렇게 네가지로 분류 가능할텐데... todo == 다가함수,multivalued_function == aka multi-valued function opp. single-valued function 통상적인 뜻의 함수는 아님. or 엄밀한 뜻의 함수는 아님. ----- 다가함수 여러값함수 many valued function multi valued function multivalued function multiple valued function (이게 다 kms 공식표현! 심지어 그 외의 표현이 아래에 또 있음: multifunction) ---- 한 독립변수에 대해 둘 이상의 종속변수가 정해짐. ex. y＝f(x)에서 x의 한 개의 값에 대하여 y의 값이 두 개 이상 정해지는 함수. 대응되는 y값이 2개이면 2가함수. ex. [[역함수,inverse_function]]를 찾을 때 자주 생김. y=x^^2^^ 의 역함수 y^^2^^=x는 다가함수. ∵ x=4에 대해 y=2, y=-2가 대응. ---- links ko 복소해석학에서 특이점Singular Point의 종류 [[특이점,singularity]] [[특이점,singular_point]] https://freshrimpsushi.tistory.com/281 복소해석학에서의 다가함수와 분기선, 분기점 Multifunction, Branch Cut, Branch point https://freshrimpsushi.tistory.com/374 { 의 용어 선택은 다음과 같음: 다가함수 multifunction 어규먼트 argument 분기선 branch cut 주분기 principal branch 분기점 branch point 일부만 요약: 다가함수(multifunction)는 복수의 값을 갖는 함수. ex. 복소해석에서는, [[로그함수,logarithmic_function]]를 이렇게 정의 $\log z := \operatorname{Log} |z| + i \arg z$ 로 두고 원점을 제외한 모든 점에서 정의. } 복소 함수론(Complex Analysis)의 쉬운 이해 https://ghebook.blogspot.com/2012/08/complex-analysis.html 복소 함수의 다가성(多價性, Multi-valuedness of Complex Function) https://ghebook.blogspot.com/2012/08/multi-valuedness.html ---- from [[Namu:음함수]], chk { ex. 제곱근 : $y^n=x$ 에서 나오는 다가함수 자연로그 : $e^y=x$ 에서 나오는 다가함수 } ---- Related [[분지,branch]] [[주치,principal_value]] [[복소함수,complex_function]] - curr goto [[함수,function#s-38]] [[다가성,multivaluedness]] [[거듭제곱근,nth_root]] - curr at [[지수,exponentiation]] ---- Maybe? Twins: '''multivalued function''' https://mathworld.wolfram.com/MultivaluedFunction.html aka '''multiple-valued function''' [[WpKo:다가_함수]] [[WpEn:Multivalued_function]] https://planetmath.org/multivaluedfunction = 람베르트 W 함수, Lambert W function, 오메가 함수, omega function = [[람베르트_W함수,Lambert_W_function]] [[오메가함수,omega_function]] WpKo:람베르트_W_함수 Namu:"람베르트 W 함수" 요약 { 함수 $y=xe^x$ 의 역함수 $x=ye^y$ 를 만족하는 $y=W(x)$ 를 '''람베트르 W 함수'''라 한다. 따라서 $W(x)e^{W(x)}=x$ 초등함수로 나타낼 수 없으며, 무한급수로 표현하면 $W(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1} n^{n-2}}{\Gamma(n)}x^n$ $xe^x=1$ 을 만족하는 값이 오메가 상수이며, 약 0.567143 정도 [[음함수,implicit_function]]임 } https://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html { 일부 요약 AKA '''omega function''' 다음 함수의 역함수임 $f(W)=We^W$ } https://everything2.com/title/Lambert+W+function mklink: [[오메가상수,omega_constant]](is a [[상수,constant]]) = 로그 적분 함수 = 로그적분함수 $\operatorname{li}(x)=\int_0^x\frac{dt}{\ln t}=\int_0^x\frac{1}{\ln t}dt$ ln1=0이므로, 0일 때는 정의되지 않음 [[WpKo:로그_적분_함수]] 에 따르면 $\text{li}()$ 말고도 $\text{Li}()$ 도 있다. [[WpEn:Logarithmic_integral_function]] https://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html 비교: 지수적분함수 ([[함수,function#s-41]]), [[polylogarithm]](writing) = 초등함수 elementary function vs 비초등함수 nonelementary function = 대수함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수, 역삼각함수와 그 역함수, 합성함수들의 총칭. 이 함수들의 유한한 결합으로 표현할 수 있는 함수들을 초등함수라고 한다. 이 초등함수 중에서 대수함수로 이루어지지 않은 함수를 초월함수라고 한다. Src: [[https://www.scienceall.com/%EC%B4%88%EB%93%B1%ED%95%A8%EC%88%98elementary-function/ 과학백과]] ---- 간단한 함수라도 그 적분은 그렇지 않은 경우가 많다. Zill (2016) p11에 의하면 Elementary functions include the familiar functions studied in a typical precalculus course: constant, polynomial, rational, exponential, logarithmic, trigonometric, and inverse trigonometric functions, as well as rational powers of these functions, finite combinations of these functions using addition, subtraction, multiplication, division, and function compositions. For example, even though $e^{-t^2}$ $\sqrt{1+t^3}$ $\cos t^2$ are elementary functions, the integrals $\int e^{-t^2}dt$ $\int\sqrt{1+t^3}dt$ $\int\cos t^2 dt$ are nonelementary. = 조화 함수 harmonic function = [[조화함수,harmonic_function]] = 조각마다 정의된 함수 piecewise-defined function = ex. absolute value fn. = 복소함수 complex function = fork to [[복소함수,complex_function]] Related: [[복소해석,complex_analysis]] [[복소수,complex_number]] 다변수 다변량 등등 관련 함수, curr. at [[함수,function#s-32]] 복소함수의 특성 [[다가성,multivaluedness]] { READ AND DELETE: [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405009&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과 다가함수]] 복소 함수의 다가성(多價性, Multi-valuedness of Complex Function) https://ghebook.blogspot.com/2012/08/multi-valuedness.html } 그 때문에 다음 개념이 필요 [[주치,principal_value]] [[분지,branch]] (기타 분기, 가지 도 쓰임) [[일의거듭제곱근,unity_root]] = cis 함수, cis function = 독립된 별도의 함수라기보다는 일종의 표기법. 함수로 분류하는 곳은 별로 없음. cos, i, sin을 줄인 간편 표기법으로 볼 수 있음. (hence the name) [[오일러_공식,Euler_formula]]을 함수 꼴로 표기한 것. https://mathworld.wolfram.com/Cis.html 여기선 복소지수 표기법의 다른 이름이라고 소개. (근데 왜 capitalize했는지는 잘) $\operatorname{Cis}(x)\equiv e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 이것을 쓰면 [[드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula]]은 $(\operatorname{cis}(x))^n=\operatorname{cis}(nx)$ 이렇게 짧아짐. = 해석함수 analytic function = Moved to [[해석함수,analytic_function]] = 지수 적분 함수 = 지수적분함수 [[WpKo:지수_적분_함수]] { $\text{Ei}(x)$ 는 $\frac{e^x}{x}$ 의 역도함수라고. } 비교: 로그적분함수 ([[함수,function#s-34]]) = 동차함수 homogeneous function = ''이건 또 제차함수라고 안한다.'' 이름이 동차인 이유는, $f(x,y)=xy^3-x^3y+2x^2y^2$ 같은 함수의 경우 모든 항에서 (x의 차수) + (y의 차수)가 4이다. 이런 함수가 저런 성질을 띠기 때문에?? CHK [[동차함수,homogeneous_function]] https://mathworld.wolfram.com/HomogeneousFunction.html { 고정된 $n$ 에 대해 $f(tx,ty)=t^n f(x,y)$ 를 만족하는 함수. } ---- Namu:동차함수 { 다변수함수 중 $f(t x_1,t x_2,\cdots,t x_k)=t^n f(x_1,x_2,\cdots,x_k)$ 를 만족하는 함수 $f(x_1,x_2,\cdots,x_k)$ 를 $n$ 차 동차함수라고 한다. } ---- https://www.youtube.com/watch?v=_ooqEWQKMjc 앞부분 { 실수 $n$ 에 대해 함수 $f$ 가 $f(tx,ty)=t^n f(x,y)$ 를 만족할 때 $f$ 를 $n$ 차 동차함수라 한다. ( 단, $t>0$ ) ex. $f(x,y)=x^2+2xy+y^2$ 은 2차 동차함수. x에 tx, y에 ty를 대입하면 확인 가능. (다항함수일 경우) 직관적으로 확인하는 법은 모든 항이 차수가 2차인 것을 보면 2차 동차함수임을 알 수 있다고. ex. $f(x,y)=3x^2y+y^3$ 은 3차 동차함수 ex. $f(x,y)=x^2+y^2+2$ 는 동차함수가 아님 $f$ 가 $n$ 차 동차함수이면 $f(x,y)=x^n f(1,\frac{y}{x})=y^n f(\frac{x}{y},1)$ 이다. ''그리하여 바로 이어 [[RR:동차미분방정식,제차미분방정식,homogeneous_differential_equation]] 얘기로 연결'' } ---- [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1084637&cid=40942&categoryId=32219 두산백과: 동차함수]] [[WpKo:동차함수]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669283&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 동차함수]] [[WpEn:Homogeneous_function]] Up: 다변수함수? = 볼록함수/오목함수 = == 볼록함수 convex function == [[볼록함수,convex_function]] == 오목함수 concave function == [[오목함수,concave_function]] = 제한함수/확장함수 = 맛있는해석학4e p24 밑부분 참조. == 제한함수 restricted function == [[정의역,domain]]을 제한한 함수. == 확장함수 extended function == = 밀도함수 density function = [[밀도함수,density_function]] { Sub: [[확률밀도함수,probability_density_function,PDF]] Twins: [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405086&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 밀도함수]] Up: [[밀도,density]] [[함수,function]] } = 가우스 함수 Gaussian function = [[가우스_함수,Gaussian_function]] 일반적으로 $f(x)=ae^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}$ 꼴의 함수. 가령 $f(x)=e^{-x^2}$ 같은 것. 이걸 적분하는 것은 [[가우스_적분,Gaussian_integral]]이라고 유명함. '''가우스 함수'''는 [[오차함수,error_function]]의 도함수([[미분,derivative]]). from wpko chk '''가우스 함수'''는 [[정규분포,normal_distribution]]의 [[확률밀도함수,probability_density_function,PDF]]. from wpko chk [[WpKo:가우스_함수]] [[WpEn:Gaussian_function]] https://mathworld.wolfram.com/GaussianFunction.html = 싱크함수 sinc function = [[싱크함수,sinc_function]] [[정규화,normalization]] 여부에 따라 정의가 둘로 나뉨. 이하 둘 다 $x=0$ 에서는 정의되지 않음. - [[특이점,singular_point]] - 없앨 수 있는. (wpko 참조) 정규화되지 않은 싱크함수 unnormalized sinc function (wpko는 '비정규화된 싱크함수'라는데...글쎄?) $\text{sinc}x=\frac{\sin x}{x}$ 정규화된 싱크함수 normalized sinc function $\text{sinc}x=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ Twins: [[WpKo:싱크함수]] [[WpEn:Sinc_function]] https://calculus.subwiki.org/wiki/Sinc_function https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html https://everything2.com/title/sinc = 탄크함수? 탕크함수? tanc function = [[tanc_function]] MKLINK [[탄젠트,tangent]] https://mathworld.wolfram.com/TancFunction.html [[WpEn:Tanc_function]] https://calculus.subwiki.org/wiki/Tanc_function = 특성함수 characteristic function = [[특성함수,characteristic_function]] = 기저함수 basis function = [[기저함수,basis_function]] rel. [[기저,basis]] See [[기저,basis#s-6]] = 활성화함수 activation function = 활성함수라고도 번역하는데 나는 활성화가 맞는 거 같은데 [[활성화함수,activation_function]] - writing [[신경망,neural_network]], [[퍼셉트론,perceptron]], ... = 명제함수 propositional function = [[명제함수,propositional_function]] - writing = 스칼라함수 scalar function and 벡터함수 vector function(= 벡터값함수 vector-valued function) = [[스칼라함수,scalar_function]] [[벡터함수,vector_function]] 각각 [[스칼라,scalar]] [[벡터,vector]] 에 대응 = 유닛 함수 unit function = https://freshrimpsushi.github.io/posts/unit-function-in-analytic-number-theory/ mklink [[단위계단함수,unit_step_function]]와는 무관? or not? qqq = reciprocal function - 역수함수? 반비례함수? 상반함수? = not in kms. kms reciprocal => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=reciprocal '''반비례함수'''(reciprocal function) $f(x)=x^{-1}=1/x$ 이 그래프의 방정식은 $y=1/x$ 또는 $xy=1$ 이고 좌표축을 [[점근선,asymptote]]으로 하는 [[쌍곡선,hyperbola]]이다. Ex. 기체의 부피 $V$ 는 압력 $P$ 에 반비례한다는 보일의 법칙Boyle_law $V=\frac{C}{P}$ (C는 상수) (Stewart 8e 번역서 p29) ---- [[멱함수,power_function]]에서 지수가 $-1$ 인 경우? 아님 이건 멱함수에서 제외? qqq = 다음수 함수 successor function = [[successor_function]] aka [[successor_operation]] 표기: 보통 프라임으로 표기하는 듯. a의 다음수(successor)는 a' rel. [[페아노_공리,Peano_axiom]] or [[Peano_system]] [[집합,set]] and [[집합론,set_theory]] [[자연수,natural_number]] ... 특히 자연수의 구성(construction), 정의(definition)... 이쪽에? [[원시재귀함수,primitive_recursive_function]] [[덧셈,addition]] - 특히 [[하나,one]]를 더하는. - 정확하고 구체적 관계 TBW. [[increment]] - 증가 or 증분 [[hyperoperation]] [[hyperoperator]] 중에 가장 아래 층에 있는? 다음수의 반복은 덧셈으로 간단히 표기할 수 있고, 덧셈의 반복은 곱셈으로 간단히 표기할 수 있고, 곱셈의 반복은 지수로 간단히 표기할 수 있고, 지수의 반복은 [[테트레이션,tetration]]으로 간단히 표기할 수 있고, .... 이런식. WpKo:다음수_함수 WpEn:Successor_function ... Naver:다음수+함수 Google:다음수+함수 Google:successor.function = rectangular function, rect function = [[rectangular_function]] or [[rect_function]] AKA '''Π function, gate function, unit pulse, normalized boxcar function''' (OEIS Wiki) https://oeis.org/wiki/Rectangular_function ... Google:Rectangular.function = triangular function, tri function = [[triangular_function]] AKA '''triangle function, hat function, tent function''' (OEIS Wiki) https://oeis.org/wiki/Triangular_function ... Google:Triangular.function = addhere = = addhere = = addhere = = addhere = = addhere = = addhere = = 함수의 분류 = 모두 의식의 흐름으로 대충적음. chk chk { 변수에 따라 독립변수의 개수에 따라 ''(영변수함수?) (ex. 상수함수) ? - CHK'' 일변수함수 (ex. 일차함수, 정사각형의 넓이) 이변수함수, (z=f(x,y)에서 f는 (x,y)를 z로 대응시키는 함수이다. ex. 직사각형의 넓이) 삼변수함수, ... - 이변수함수 이상은 다변수함수 / 다변수함수의 그래프를 그릴 때는 [[등위곡선,level_curve]]''(이변수함수의 경우), [[등위곡면,level_surface]](삼변수함수의 경우) and so on? CHK'' 개념이 사용됨 ... 종속변수의 개수에 따라 ''다가함수?'' 독립변수의 [[타입,type]]에 따라 실수변수함수 = 실변수함수 복소수변수함수 = 복소변수함수 종속변수의 type에 따라 실수값함수 복소값함수? .... 이름이 함수여도, 엄밀한 의미의 함수 이름이 함수이지만 수학적 함수의 정의에 ('실제론 함수가 아닌 것' ??) ex 정의역의 모든 것에 대해 다 정의되지 않는 분야에 따라 수학의함수 물리의함수 화학의함수 CS의함수 - [[펑션,function]] { // 이건 [[루틴,routine]] [[서브루틴,subroutine]] 이라 해도 되고 OOP에선 [[메소드,method]]와도 같다. 가장 포괄적 용어(umbrella term)는 'callable unit(호출가능단위? [[호출,call]]가능 [[단위,unit]])'.[* [[WpEn:Function_(computer_programming)]] "In different programming languages, a function may be called a routine, subprogram, subroutine, or procedure; in object-oriented programming (OOP), it may be called a method."] purity ? Ggl:"function purity" 에 따라 pure_function - 부수효과/부작용/side_effect가 없는 impure_function - 그렇지 않은 function : pure if ... programming_language : purely functional if evaluation of expressions is pure. https://wiki.haskell.org/Pure Topics purity - 위에 argument parameter - 이상 둘 뜻이 비슷한데 미묘한 차이. tbw. [[WpEn:Parameter_(computer_programming)]](formal argument) arity - 받는 argument의 개수. variadic - 변할 수 있는 개수의 argument를 받는. 즉 arity 가 정해지지 않은. WtEn:variadic WpEn:Variadic variadic_function '''variadic function''' Ggl:"variadic function" variadic_macro (C [[전처리기,preprocessor]]) '''variadic macro''' Ggl:"variadic macro" variadic_template (C++ / D) '''variadic template''' Ggl:"variadic template" Sub [[function_overloading]] = method_overloading (ad hoc polymorphism) WpEn:Function_overloading Rel [[소프트웨어,software]] [[프로그래밍,programming]] [[호출,call]] [[호출규약,calling_convention]] Similar subroutine procedure Twin [[WpKo:함수_(컴퓨터_과학)]] [[WpEn:WpEn:Function_(computer_programming)]] } // function of CS } == n급함수 - 𝒞^^n^^? == rel. 도함수(=[[미분,derivative]]) [[미분,differentiation]]가능성 즉 [[미분가능성,differentiability]]에 대한 분류? 몇 번을 할 수 있는지에 따른? chk // from 김홍종 미적1+ p96 { 도함수가 연속인 함수 = 일급 미분가능 함수(differentiable function of class 𝒞^^1^^) = 일급함수(𝒞^^1^^ 함수) 이급함수(𝒞^^2^^ 함수) ... 무한급 함수(𝒞^^∞^^ 함수) } // from 김홍종 미적1+ p128 { 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 도함수 $f'(x)$ 가 연속함수이면 $f(x)$ 를 '''일급함수'''라 부른다. 두번 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 이계도함수 $f''(x)$ 가 연속함수이면 $f(x)$ 를 '''이급함수'''라 한다. 일반적으로 $n$ 번 미분가능한 함수 $f(x)$ 의 $n$ 번째 도함수 $f^{(n)}(x)$ 가 연속함수이면 $f(x)$ 를 '''n급함수'''라 한다. // mklink [[연속함수,continuous_function]] [[연속성,continuity]] } == 함수의 가능한 값에 따른 분류 == 함수의 모든 가능한 [[출력,output]](혹은 [[펑션,function]]의 [[리턴,return]]) [[값,value]]의 [[집합,set]] ([[공역,codomain]]인지 [[치역,range]]인지? 정확히) 이 뭔지에 따라, '''뭐뭐값 함수(xxx-valued function)''' 로 분류 가능. 하나이면 single-valued function 값이 여러개이면 multivalued or multiple-valued function 즉 [[다가성,multivaluedness]] 여부에 따른 분류 ex. implicit - [[함수,function#s-4]] multivalued/multivariate? (저쪽에 용어들이 혼란스러움, 정리 필요) - [[함수,function#s-32]] complex - [[함수,function#s-38]] 값이 [[스칼라,scalar]]이면 scalar-valued function 값이 [[벡터,vector]]이면 vector-valued function ([[함수,function#s-53]]) 값이 [[실수,real_number]]이면 실함수 real-valued_function 값이 [[복소수,complex_number]]이면 복소함수 - [[함수,function#s-38]] ... 문제는 하나의 복소수가 아닐 수도 있다는(?) 0/1 값을 갖는 [[지시함수,indicator_function]], [[헤비사이드_계단함수,Heaviside_step_function]] - [[함수,function#s-12.1]] −1/0/1 값을 갖는 [[부호함수,sign_function]] - [[함수,function#s-16]] [[뫼비우스_함수,Moebius_function]] - [[함수,function#s-22]] [[참,true]]/[[거짓,false]]을 갖는 [[boolean-valued_function]] ''함수 중에서 이것(그리고 이걸 포함해 가능한 답의 개수가 두 가지인 모든 함수)는 [[문제,problem]] 중에서 [[결정문제,decision_problem]]와 관련 있을텐데. MKLINK'' $[0,1]$ 이내 실수 값을 갖는 [[확률,probability]]을 되돌리는 함수 - [[확률함수,probability_function]] and [[확률변수,random_variable]]? chk [[시그모이드함수,sigmoid_function]] $[0,\infty)$ 이내 실수 값을 갖는 [[절대값,absolute_value]]함수 - [[함수,function#s-11]] ReLU함수 - [[함수,function#s-15]] [[정수,integer]]값을 갖는 정수화함수 - [[함수,function#s-23]] 중에 일부 이산적인 값을 갖는(? chk) 함수들 중에 [[계단함수,step_function]] - [[함수,function#s-12]] ([[이산성,discreteness]]) 연속적인 값을 갖는 함수 ([[연속성,continuity]]) etc. (이상 [[Date(2023-01-14T07:56:19)]]에 이 페이지에서 `C-f`로 `valued` 검색한것 포함해 작성함, 앞으로도 가끔 valued 로 검색) rel. [[값,value]] [[주치,principal_value]] == 함수의 정의역에 따른 분류 == [[정의역,domain]]이 뭔지에 따른 분류 정의역에 대해 모두 정의되었는지에 따른 분류 정의역의 모든 원소에 대해 출력이 정해졌는지에 따라 total_function , [[부분함수,partial_function]] etc == 함수분류추가 == == 함수분류추가 == == 함수분류추가 == = 함수 비교 = == (물리+화학) 상태함수와 경로함수 == [[상태함수,state_function]] [[경로함수,path_function]] 물리량이 변화의 경로(path)에 의존하는지 여부로 구분. 상태함수(state function): 계의 상태에만 의존, 경로에 무관. 즉 현재 상태에 도달한 과정과 무관. 과정을 무시. 처음과 나중 상태에만 관련. 경로함수(path function): 반응물로부터 생성물로 가는 과정까지 고려함. 어떻게 도달했는지 그 과정의 경로에 따라 달라질 수 있음. 명칭 상태함수(state function) = 점함수(point function) 경로함수(path function) = 과정함수 = 도정함수 예 상태함수: 에너지(E), 내부에너지(U), 부피, 압력, 온도, 엔탈피(H), 엔트로피(S), 깁스자유에너지(G) 등. 경로함수: 열(heat), 일(work), 열량(Q), 일량(W) 미적분 상태함수 : 완전미분(전미분, d)과 편미분(∂, δ)으로 둘다 표현 가능 경로함수(=과정함수) : 편미분(∂, δ)으로만 표현 가능 ex. 부피변화량 $\int_{V_1}^{V_2}dV=V_2-V_1=\Delta V$ (V만 U로 바꾸면 내부에너지도 마찬가지) 열량 $\int_1^2\delta Q=Q$ 높이: 상태함수, 거리: 경로함수. ex. 계의 내부 에너지([[내부에너지,internal_energy]])는 계가 그 상태에 도달한 경로에 의존하지 않음. (현재 상태에만 의존함.) 따라서 상태함수임. Ref/twins: [[https://adtcs-w.tistory.com/entry/%EC%A0%90-%ED%95%A8%EC%88%98%EC%99%80-%EA%B2%BD%EB%A1%9C-%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98-%EB%B9%84%EA%B5%90 src]] http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4667 = Auto-generated List of *function Pages = [[PageList(function$)]] * 여기 없는것도 있음 * 나중에 분류를 해야 할 듯 - 물리학 only 함수, CS only 함수, 이름이 함수인데 사실 함수는 아닌 것, 통계학 함수, 별도의 함수라기보다는 함수의 분류인 것, etc. Related: [[사상,map]], map, [[상,image]] ... = [[노름,norm]] = 이것도 함수라 함. = 함수의 증가와 감소 = 함수 f는 구간 I에서 TBW A function f is increasing on the interval I if, for each a < b in I, f(a) < f(b). A function f is decreasing on the interval I if, for each a < b in I, f(a) > f(b). see also and chk [[단조함수,monotonic_function]] above ---- $\forall x_1,x_2\in X:$ $\bullet\; x_1f(x_2) \;:\; f$ 는 순감소함수 $\bullet\; x_1