#noindex
'''mathematical analysis'''
WtEn:mathematical_analysis
보통 학부 과정에서는
 * 일변수 실함수를 다루는 기초 실해석학 
 * 다변함수를 다루는 다변함수 해석학 - 다변수 해석학과 차이?
 * 복소함수를 다루는 복소해석학

<<tableofcontents>>

Sub:
 [[복소해석,complex_analysis]]
 [[실해석학,real_analysis]]
{
'''실해석, 실해석학'''

REL
[[실수,real_number]]
[[해석학,analysis]]

https://www.math.snu.ac.kr/~kye/lecture_V/V_real/index.html

Textbooks
Stephen Abbott, Understanding Analysis 2e
[[ISBN(1493927116)]] via: [[https://youtu.be/byNaO_zn2fI?t=150 여기]]서 추천. with Google:"francis su real analysis" 강의도 보라고 .... <- 이미 이 페이지 밑에 '영상'에 언급

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Real_analysis
}
 [[수치해석,numerical_analysis]]
 [[조화해석,harmonic_analysis]]
{
'''조화해석학'''

Topics:
[[푸리에_급수,Fourier_series]]
[[푸리에_변환,Fourier_transform]]
[[삼각급수,trigonometric_series]]

Twins:
[[WpKo:조화해석학]]
[[WpEn:Harmonic_analysis]]
https://mathworld.wolfram.com/HarmonicAnalysis.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Harmonic_analysis
}
 [[함수해석,functional_analysis]]
{
'''함수해석학'''

[[공간,space]] > [[벡터공간,vector_space]] > [[함수공간,functional_space]](?) function_space?

QQQ
function_space 와 functional_space 차이가???
https://mathworld.wolfram.com/FunctionSpace.html

https://mathworld.wolfram.com/FunctionalAnalysis.html
[[WpKo:함수해석학]]
[[WpSp:Functional_analysis]]
[[WpEn:Functional_analysis]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Functional_analysis
https://everything2.com/title/functional+analysis
}
 [[해석함수,analytic_function]] /// 위와 이름이 비슷하므로 see also같은 곳에 서로 연결

다변수해석학 multivariable_analysis Google:multivariable.analysis ?
{
주제들:
벡터수열 - [[공역,codomain]]이 $\mathbb{R}^n$ 인 [[수열,sequence]].[* 맛있는해석학 p69 참고 3.1.3]
 Google:벡터수열 - 잘 언급 안된다...
 Google:vector.sequence - 생물학 유전공학 얘기가 많이 나온다...

MathNote:다변수해석학
Google:다변수해석학
}

[[비표준해석학,nonstandard_analysis]] w

----
MKLINK
[[푸리에_해석,Fourier_analysis]] ... 이거 분류? 위에 조화해석?

[[경계,bound]]
[[유계,bounded]]

[[점화식,recurrence_relation]]..

[[수열,sequence]]..
 [[코시_수열,Cauchy_sequence]]
  이 개념을 쓰면, 수열의 극한을 몰라도 두 항을 선택해 수렴성을 알아볼(판정할) 수 있다고. / 실수열이 [[수렴,convergence]]하기 위한 필충조건은 그 수열이 코시수열이라는 것. / TBW
[[급수,series]]..
 [[무한급수,infinite_series]]
[[수렴판정법,convergence_test]]

[[극한,limit]]..

[[관계,relation]]
[[측도,measure]]

----
[[아르키메데스_성질,Archimedean_property]]
{
see also
[[실수,real_number#s-1]]에서도 약간 언급.

tmp bmks ko
https://chocobear.tistory.com/37?category=852841 에선 정렬성원리(well-ordering_principle)([[공리,axiom]])를 소개하고 바로 '''아르키메데스 성질''' 및 유한 귀납법의 기본 원리(First Principle of Finite Induction - rel. [[finite_induction]] [[finite_induction_principle]] - rel. [[수학적귀납법,mathematical_induction]])를 증명함

WtEn:Archimedean_property

Twins
[[Libre:아르키메데스_성질]]
[[WpKo:아르키메데스_성질]]
[[WpEn:Archimedean_property]]
https://proofwiki.org/wiki/Archimedean_Principle (여기는 Principle이라 함)

// tmp from https://blog.naver.com/minzzang68/221938057018 (실수의 성질)
임의의 실수 x에 대해 x<n인 자연수 n이 존재한다.
$\forall x\in\mathbb{R},\;\exists n\in\mathbb{N}$ such that $n>x$

// from 김홍종 미적1+ p43
{
실수의 완비성의 한가지 응용으로,
> 아르키메데스의 원리: $0<a<b \;\Rightarrow\; \exists n\in\mathbb{N},\,na>b$
즉 "아무리 작은 양수라도 여러 배하면 언젠가는 어떠한 큰 수보다 커진다"는 원리를 증명하여 보자.

먼저 증가하는 수열 $a,2a,3a,\ldots$ 을 생각하자. 만약 이 수열이 위로 유계라면, ''(see [[유계,bounded]] and [[상계,upper_bound]])'' 실수의 완비성으로부터 수렴하여야 하는데, 그러면 일반항 $na$ 와 그 다음 항 $(n+1)a$ 의 차가 아주 작아져야 한다. 그러나 이 차는 항상 일정한 양숫값 $a$ 이므로 모순이 생긴다. ''(즉 [[귀류법,proof_by_contradiction]])'' 따라서, 수열 $(na)$ 는 유계가 아니다. 즉, 임의의 실수 $b$ 에 대하여 $na>b$ 인 $n$ 이 존재한다. □
}

이상 [[추상대수,abstract_algebra]], [[해석학,analysis]] > [[real_analysis]] 내용임.
참고로 [[아르키메데스_원리,Archimedean_principle]]는 [[물리학,physics]] > 부력 buoyant_force? buoyancy? 관련임.
{
[[WpEn:Archimedes'_principle]]
} // 아르키메데스 원리 Ndict:"아르키메데스 원리" Ggl:"아르키메데스 원리"

[[성질,property]]
} // 아르키메데스 성질 Ndict:"아르키메데스 성질" Ggl:"아르키메데스 성질" 

[[볼차노-바이어슈트라스_정리,Bolzano-Weierstrass_theorem]]
{
'''Bolzano-Weierstrass Theorem'''

[[Libre:볼차노-바이어슈트라스_정리]]
[[WpKo:볼차노-바이어슈트라스_정리]]
[[WpEn:Bolzano–Weierstrass_theorem]]
says: 임의의 유계인 수열([[유계,bounded|bounded]] [[수열,sequence|sequence]])은 반드시 [[수렴,convergence|수렴하는]] [[부분수열,subsequence]]을 가진다.

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Bolzano-Weierstrass_Theorem

// tmp from https://blog.naver.com/minzzang68/221938057018 (실수의 성질)
증가하는 수열 $\lbrace a_k\rbrace$ 와 감소하는 수열 $\lbrace b_k \rbrace$ 가 항상 $a_k\le b_k$ 를 만족할 때,
 $\bigcap_{k=1}^{\infty}[a_k,b_k]\ne\emptyset$

Up:
[[해석학,analysis]] > [[real_analysis]]
[[정리,theorem]]
}

[[하이네-보렐_정리,Heine-Borel_theorem]]
{
유클리드 공간에서, 닫힌 유계 집합만이 컴팩트하다는 것
[[,closed]] [[유계,bounded]] [[,compactness]]
[[Libre:하이네-보렐_정리]]

Up:
[[해석학,analysis]] > [[real_analysis]]
[[위상,topology]]
[[정리,theorem]]
}

그리고 [[미적분,calculus]]의 모든 정리들

= 책 =
== textbook ==
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis
[[ISBN(007054235X)]] [[ISBN(0070856133)]]
tmp { "is one of the classic textbooks of mathematics. He presents the theory of calculus in perfect, crystalline clarity. Not a quick and easy read, more for deep brain rectification. Chapter 2 on metric spaces([[거리공간,metric_space]]) alone will change your whole view of mathematics." via  https://everything2.com/title/Principles+of+mathematical+analysis
... 보통 pma라고 줄여 부름. Google:pma+해석학 Naver:pma+해석학 }

Google:김김계

== free ==
맛있는 해석학 4판
http://iseulbee.com/archives/the-art-of-analysis-4ed/

= 영상 =
== 이상엽Math 해석학 ==
https://www.youtube.com/playlist?list=PL127T2Zu76FsJPSJzoq2MsMqgwDmimDg0

== Real Analysis: Lectures by Professor Francis Su ==
https://www.youtube.com/playlist?list=PL0E754696F72137EC&app=desktop

= 표현/단어/glossary/.. =
almost everywhere
 https://everything2.com/title/almost+everywhere
(해당하는 확률론(see [[확률,probability]])쪽 표현은 almost_always. chk. https://everything2.com/title/almost+always )
(비슷한 걸로 almost_surely https://everything2.com/title/almost+surely 도 있다. chk. 이건 확률론과 [[조합론,combinatorics]]의 표현)

= Bmks ko =
Google:해석학하는+만화
1 https://horizon.kias.re.kr/9959/ 두 번 미분하기
 [[열방정식,heat_equation]]
2 https://horizon.kias.re.kr/10335/ 연속함수의 비애
 [[디리클레_핵,Dirichlet_kernel]]
3 https://horizon.kias.re.kr/10630/ Brave New World
 [[내적,inner_product]] [[코시-슈바르츠_부등식,Cauchy-Schwartz_inequality]] [[삼각부등식,triangle_inequality]] [[직교성,orthogonality]] 직교사영([[정사영,orthogonal_projection]]) 
4 https://horizon.kias.re.kr/11057/ 하나, 둘, 많이
 Jordan_measure [[리만_적분,Riemann_integral]] Heine-Borel [[르베그_적분,Lebesgue_integral]]
5 https://horizon.kias.re.kr/11519/ 르벡 이론의 승리!
6 https://horizon.kias.re.kr/11905/ 디랙 델타…??

----
Twins:
[[WpEn:Mathematical_analysis]]
[[Libre:해석학]]
[[WpKo:해석학_(수학)]]

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405411&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 해석학]]

Etc:
(같은 영단어 'analysis') 수학의 해석학이 아닌 해석/분석에 대해선 goto [[분석,analysis]]
{ 

[[프로그램분석,program_analysis]] - [[프로그램,program]] 분석.

static analysis
정적분석 = 정적프로그램분석
[[WpEn:Static_program_analysis]] = https://en.wikipedia.org/wiki/Static_program_analysis
 "static program analysis (or static analysis)"

abstract_interpretation
static analysis by abstract interpretation:
Abstract Interpretation in a Nutshell
https://www.di.ens.fr/~cousot/AI/IntroAbsInt.html
"This introduction to static analysis by abstract interpretation has the objective of being simple, intuitive and informal."

dynamic_analysis
dynamic analysis
동적분석
 도구: [[밸그린드,Valgrind]] etc

... curr. RR analysis / 분석,analysis / 어낼러시스,analysis

(같은 영단어 'analysis') 수학의 분야인 해석학에 대해선 goto [[해석학,analysis]]
}
'[[해석학,hermeneutics]]'은 철학의 한 분야이기도 함 - [[WpKo:해석학_(철학)]] [[WpEn:Hermeneutics]] [[WtEn:hermeneutics]]
(같은 한국어 '해석') '해석'은 interpretation의 번역어로 자주 쓰임. [[해석,interpretation]] - curr RR 해석,interpretation

Up: [[수학,math]]