'''해석함수 analytic function'''

국소적으로 거듭제곱급수전개([[멱급수전개,power_series_expansion]]? [[전개,expansion]])를 가지는 함수. (김홍종 미적분학 1+ p64)

원점 근방에서 정의된 무한급함수의 [[테일러_급수,Taylor_series]]가 원래 함수와 원점 근방에서 일치하면, 이 함수를 원점 근방에서 '''해석함수'''라고 부른다. (김홍종 미적분학 1+ p144)

"해석함수란 간단히 말해 국소적으로 거듭제곱급수([[멱급수,power_series]])로 표현되는 함수를 말한다. 따라서 [[다항함수,polynomial_function]]를 비롯하여 우리가 접하는 삼각함수나 지수함수, 로그함수등의 [[초월함수,transcendental_function]]들은 모두 해석함수이다."(수학백과)

A function $f$ is called '''analytic''' at $x_0$ if $f(x)$ has a [[멱급수,power_series|power series]] representation in some interval $(x_0-h,x_0+h)$ about $x_0.$
In this interval,
 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
where the $a_n$ 's are the Taylor coefficients of $f(x)$ at $x_0:$
 $a_n=\frac1{n!}f^{(n)}(x_0)$

예를 들어 sin(x)는 about 0에서 $\forall x,$
 $\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(2n+1)!}x^{2n+1}$
and the geometric series is 
 $\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$
for $-1<x<1.$
(O'Neil AEM 7e 4.1 Power Series Solutions)

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그리하여 테일러*와 밀접. see:
[[테일러_급수,Taylor_series]]
[[테일러_정리,Taylor_theorem]]
[[테일러_다항식,Taylor_polynomial]]

두 종류 sub?: 둘은 성질이 다르다고.
실해석함수,real_analytic_function
복소 해석함수,complex_analytic_function
 [[복소해석,complex_analysis]]

Twins:
[[WpKo:해석_함수]]
 '''해석 함수'''란 국소적으로(locally) 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수를 말한다.
 (...)안의 모든 점에서 해석적이면 해석함수임.
 한 점 $x_0\in D$ 에서 해석적(analytic)이라는 것은, $x_0$ [[근방,neighborhood]]에서 수렴하는 급수가 존재하여... (식) 으로 나타낼 수 있다는 것
[[WpEn:Analytic_function]]
 '''an analytic function''' is a function that is locally given by a [[수렴,convergence|convergent]] [[멱급수,power_series|power series]].
 (실해석함수 정의 ...article의 Definition 참조.)
[[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405412&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 해석함수]]
https://mathworld.wolfram.com/AnalyticFunction.html ([[복소함수,complex_function]]인 경우의 얘기만 함, 왜 그런지 봤더니 다른 페이지도 있음. 바로 아래.)
https://mathworld.wolfram.com/RealAnalyticFunction.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Analytic_function
https://ncatlab.org/nlab/show/analytic+function

see also [[공학수학2_복소해석#s-4]] 밑부분 Analytic Function (저기서는 neighborhood로 설명)

비교: 
[[매끄러운함수,smooth_function]]
[[매끄러움,smoothness]]

QQQ 단어 앞뒤가 바뀐, 함수해석학과의 관계는? [[함수해석,functional_analysis]]

AKA holomorphic_function, regular_function, differentiable_function, complex_differentiable_function, and holomorphic_map
즉 [[미분가능성,differentiability]]있는 함수, 와 동의어?
(via https://mathworld.wolfram.com/HolomorphicFunction.html)

정칙함수,regular_function,holomorphic_function
{

WtEn:regular_function
WtEn:holomorphic_function

// 이 내용 [[복소해석,complex_analysis#s-2]]에도 있음. TOMERGE
https://mathworld.wolfram.com/RegularFunction.html
 해석적이며([[해석함수,analytic_function]]이며), [[영역,region]] $R$ 을 통틀어 single-valued인 함수.
} Ndict:정칙함수 Ggl:정칙함수
kms에 의하면 ... KmsK:정칙함수 KmsE:"holomorphic function" KmsE:"regular function" KmsE:"differentiable function" ...
 regular function = 정칙함수 = holomorphic function
 differentiable function = 미분가능(한) 함수
 holomorphic mapping = 해석(적) 사상

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[[복소함수,complex_function]]가 '''해석함수'''이려면? See https://everything2.com/title/Analytic
이거 [[전해석함수,entire_function]]와 연결지어 정확히 서술. tbw

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chkout 
https://calculus.subwiki.org/wiki/Locally_analytic_function
"A function $f$ of one variable is said to be '''locally analytic''' (or sometimes simply '''analytic''') at a point $x_0$ in the interior of its domain if it satisfies the following equivalent conditions:" (이하 두 동등한 조건)

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Up: [[해석학,analysis]] [[함수,function#s-40]]