#noindex
## arclength arc_length
'''호의길이 , 호(의) 길이''' (kms)

[[호,arc]]의 [[길이,length]]

[[곡선,curve]] 길이는 통상적으로 arclength라고 불리는 듯 한데, [[호,arc]]만의 길이가 아닌 것 확실한지 CHK

/// merge from 호,arc 의 부분 => [[호,arc]]

= TBW =
특별한 경우인 [[원호,circular_arc]]의 '''arclength'''는 쉬운 $l=r\theta$
 $r:$ [[반지름,radius]]
 $\theta:$ [[각,angle]]

일반적인 경우인 parametric [[곡선,curve]]의 '''arclength'''는 // parametric_curve
$y=f(x)$ 형태일 때
$x=g(y)$ 형태일 때
$\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}$ 형태일 때
...tbw

= ds =
직각삼각형에서 $ds^2=dx^2+dy^2$

$\int ds$ 이게 바로 구하고자 하는 것이고, $L=\int ds=\int\sqrt{dx^2+dy^2}$ 임.

$y=f(x)$ 꼴의 식이 있을 땐
 $ds=\sqrt{ 1+\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } dx$

$x=g(y)$ 꼴의 식이 있을 땐
 $ds=\sqrt{ 1+\left( \frac{dx}{dy} \right)^2 } dy$

$\begin{cases} x=f(t) \\ y=g(t) \end{cases}$ 꼴의 식이 있을 땐
 $ds=\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 }dt$

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[[호길이함수,arclength_function]]

기호 $s, \, s(t)$

곡선 $C$ 가 다음과 같은 [[벡터함수,vector_function]]이고, $\vec{r}'$ 이 연속이며, $t$ 가 $a$ 에서 $b$ 로 증가함에 따라 $C$ 는 꼭 한번만 궤적을 이룬다고 하자.
 $\vec{r}(t)=f(t)\hat{i}+g(t)\hat{j}+h(t)\hat{k},\;\;a\le t \le b$
이 때 '''호의 길이함수'''(arc length function) $s$ 를 다음과 같이 정의한다.
 $s(t)=\int_a^t \left| \vec{r}{}'(u) \right| du = \int_a^t \sqrt{\left(\frac{dx}{du}\right)^2 + \left(\frac{dy}{du}\right)^2 + \left(\frac{dz}{du}\right)^2}du$
따라서 $s(t)$ 는 $C$ 의 $\vec{r}(a)$ 와 $\vec{r}(t)$ 사이의 길이이다.
[[미적분학의기본정리,FTC|FTC 1]]을 이용해서 양변을 미분하면 다음을 얻는다.
 $\frac{ds}{dt}=\left| \vec{r}{}'(t) \right|$

(Stewart ch13.3 arc length and curvature)

= 곡선 길이 L을 r로 나타내면 =
$L=\int_a^b \left| \vec{r}{}'(t) \right| dt$

(Stewart)

= Bazett =
$a\le t\le b$ 에서 곡선 $\vec{r}(t)$ 의 길이는?
(1) $[a,b]$ 를 n개의 segments로 나누면
 $\text{Arclength}\approx\sum_{i=1}^{n}(\text{Length of i-th segment})$
(2) i-th segment의 길이는
 $\Delta L_i=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2+(\Delta z_i)^2}$ 그러므로,
 $\text{Arclength}\approx\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2+(\Delta z_i)^2}$
  $=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2+(\Delta z_i)^2}\frac{\Delta t}{\Delta t}$
  $=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta z_i}{\Delta t}\right)^2}{\Delta t}$
극한을 취하면
 $\text{Arclength}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\left(\frac{\Delta x_i}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta y_i}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta z_i}{\Delta t}\right)^2}{\Delta t}$
For $\vec{r}(t)=f(t)\hat{\rm i}+g(t)\hat{\rm j}+h(t)\hat{\rm k}$ on $[a,b]$
 $\text{Arclength}=\int_a^b\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2+h'(t)^2}dt$
(Bazett, The Arclength Formula in 3D, https://youtu.be/80J5s0pic8M)

See next: [[곡률,curvature]]의 Bazett 부분

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tmp and mklink - [[curve_length]] (writing)

이건 [[경로,path]]의 길이도 ok인데...    ....그런가? rationale/src?

Srch:arclength
Srch:arc_length

[[길이,length]] 맨위에 어디어디서 언급되었는지 있으며 거기서 옮겨올것

https://www.mathsisfun.com/calculus/arc-length.html
https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcii/arclength.aspx

[[정적분,definite_integral]]으로 [[넓이,area]], [[부피,volume]] 뿐만 아니라 '''[[곡선,curve]]의 [[길이,length]]'''도 구할 수 있다.

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// from wpen 대충.
일단, 문제를 간단히 해서 곡선 위 유한 개의 점으로 나눈 [[선분,line_segment]]들로 된 polygonal path([[WpEn:Polygonal_chain]] : connected series of line segments)의 총 길이를 생각.
각 길이는 [[피타고라스_정리,Pythagorean_theorem]]로 구하여 [[합,sum]]하면 전체 길이.
이것은 많은 선분들을 사용한 [[근사,approximation]].
참값을 구하려면 각 선분의 길이가 0으로 가는 [[극한,limit]]을.
(이상 chk)

= See also =
[[호,arc#s-1]]
[[곡선,curve#s-4]]
[[벡터함수,vector_function#s-1]]
[[MIT_Single_Variable_Calculus#s-31]]

= bmks ko =
곡선의 길이(Arc Length) https://suhak.tistory.com/313
곡선의 길이 https://mathphysics.tistory.com/57 (Stewart 7e)

= bmks en =
https://brilliant.org/wiki/differentiable-function/ 에서 Arc Length 문단

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Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338240&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 곡선의 길이]]
[[WpEn:Arc_length]]
[[WpEn:Curve#Length_of_a_curve]]
[[WpEn:Differentiable_curve#Length]]
https://mathworld.wolfram.com/ArcLength.html
https://everything2.com/title/Arc+Length

[[곡선,curve]] [[호,arc]] [[길이,length]]