확률,probability

확률은 보통 probability지만..... stochastic, random으로 번역되는 경우가 상당수 있음.
i.e.
확률에 가장 잘 대응하는 단어는 보통 probability지만..... stochastic, random 역시 한국어로 번역할 때 확률로 번역되는 경우가 상당수 있음. (특히 -변수, -과정. 그렇지 않은 다른 번역: stochastic은 추계학적인, random은 무작위의, ...)

확률론 probability_theory :
  • mathematical study of Srch:uncertainty
  • probability theory provides the framework for quantifying and manipulating uncertainty

사건,event에 대응하는/할당된 수,number.
QQQ
정의역을 사건의 집합, 공역을 $[0,1]$ 의 집합으로 하는 함수,function라고 볼 수 있는가?? 아님 결과값만 확률이라고 부르는 것인가?
'확률함수'가 정의역을 RV로 하고 치역이 확률인건가?
CHK

Sub:
주변확률,marginal_probability
{
확률 변수 중 한 변수만 고려한? CHK
해당하는 확률분포,probability_distribution는 주변확률분포,marginal_probability_distribution

그렇다면 편미분,partial_derivative과 유사성이 있는 / 비교할 가치가 있는 건지?
}
결합확률,joint_probability
조건부확률,conditional_probability
확률변수,random_variable
확률함수,probability_function
전확률정리,total_probability_theorem
전확률(total probability): P(B) = ∑ P(Ai) P(B|Ai)
확률분포,probability_distribution
확률공간,probability_space

확률적자료구조,probabilistic_data_structure - curr. 자료구조,data_structure

기하학적 확률 / 기하적 확률
뷔퐁의 바늘 문제(Buffon's needle problem) - 원주율,pi 추정,estimation/근사,approximation
Namu:뷔퐁의 바늘
Google:뷔퐁의.바늘
베르트랑의 역설(Bertrand paradox) - 역설,paradox
WpKo:베르트랑의_역설_(확률) WpEn:Bertrand_paradox_(probability) https://mathworld.wolfram.com/BertrandsProblem.html

관련 페이지:
분할,partition
빈도,frequency



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1. 표기

이산확률변수 X가 어떤 값 x를 취할 확률:
$P(X=x)$

연속확률변수 X에 대해 a≤X≤b가 될 확률:
$P(a\le X\le b)$

사건(event) E에 대해 E의 확률 표기: P(E) 또는 Pr(E)

A, B의 결합확률,joint_probability: P(AB) 또는 P(A∩B)



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2. 용어

사건,event
확률은 사건에 수,number를 대응시킨 것.
사건 A를 측정하는 $[0,1]$ 사이의 수가 확률 P(A).
disjoint 배반?? CHK
확률의 독립: see 독립,independent
확률변수,random_variable
이항확률변수
이산확률변수/연속확률변수
베르누이_시행,Bernoulli_trial


TBW
빈도,frequency와의 관계. 확률의 고전적 정의가 상대빈도의 극한?
확률에 대한 두 관점/학파/approach: 빈도주의(frequentist) vs 베이지안(Bayesian)
http://m.kisdi.re.kr/mobile/colm/pro_view.m?seq=29947&category=W&selectPage=1
via https://junklee.tistory.com/124


표본공간,sample_space
표본공간(sample space, Ω 또는 S): 확률 실험에서 발생 가능한 모든 결과들의 집합
사건(event): 표본공간 내에서 우리가 관심을 가지는 부분집합


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3. 용어+설명

실험(experiment): 생략 - see 확률실험,random_experiment
(ex. 동전 세 개 던지기)
시행,trial: 생략
(ex. 각 시행은 동전 한 개를 던지는 것)
표본공간,sample_space: 실험에서 나올 수 있는 모든 결과들의 모임인 집합,set S
(ex. S={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}, n(S)=8)
수형도(tree diagram): 나올 수 있는 모든 결과를 결정하는 편리한 방법 중 하나
사건,event: 표본공간의 부분집합
(ex. A={(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H)})
확률,probability
(ex. $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac38$ )

Ref. 10개의 특강... (7강: 확률) 앞부분

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4. 사전확률 vs 사후확률


사전확률
사후확률

prior posterior
a priori a posteriori



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5. 확률론의 용어 tmp TOCLEANUP


확률론 기호 : 용어
Ω : the set of all outcomes (=sample space)
ζ : individual outcome
certain subset of Ω : event
the empty set ∅ : null event
$\mathcal{F}$ : field : a set of subsets of Ω : Ω의 부분집합들의 집합

ℱ is assumed to be a σ-algebra, meaning it satisfies the following axioms
  • Ω ∈ ℱ
  • If A∈ℱ then AC∈ℱ
  • If A, B ∈ ℱ then A∪B∈ℱ.
    Also if A1, A2, … is a sequence of elements in ℱ then
    $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}\textrm{ and }\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}$

ex (coin flip)
Ω={H,T}
ℱ={{H},{T},{H,T},∅}

확률은 사건,event $E$ 에서 숫자 $P[E]\in[0,1]$ 로 가는 함수,function $P[\cdot]$ 이다.

조건부확률 conditional probability 조건부확률,conditional_probability
조건(condition)이 A일 때.
A가 일어났을 때 B의 확률은
$P[B|A]=\frac{P[AB]}{P[A]}\textrm{, if}P[A]>0$

결합확률 joint probability
$P[AB]=P[B|A]P[A]=P[A|B]P[B]$

독립 independence
Two events A, B are said to be independent iff
$P[AB]=P[A]P[B]$
$P[B|A]=P[B]$
$P[A|B]=P[A]$
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6. 확률의 공리적 정의


1. P(A)≥0
2. Sequence of disjoint events $A_1,A_2,\cdots$
$P(\bigcup_i A_i)=\sum_i P(A_i)$
3. P(Ω)=1
(Ω: sample space)
표본공간의 확률은 항상 1.
$A\subset S$

1. ${}^{\forall} A,\;P(A)\ge 0$
2. $P(S)=1$
3. ${}^{\forall}A_1,A_2,\cdots$
$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

S: 표본공간
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. P(S) = 1.
3. If A and B are events that cannot occur simultaneously, then P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Axiom I $0\le P[A]$
Axiom II $P[S]=1$
Axiom III If $A\cap B=\emptyset$ , then $P[A\cup B]=P[A]+P[B]$ .
Axiom III' If $A_1,A_2,\cdots$ is a sequence of events such that $A_i \cap A_j=\emptyset$ for all $i\ne j$ , then $P[\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k]=\sum_{k=1}^{\infty}P[A_k]$ .
Axioms of Probability

Probability is a number that is assigned to each member of a collection of events from a random experiment that satisfies the following properties:

If S is the sample space and E is any event in a random experiment,
(1) P(S) = 1
(2) 0 ≤ P(E) ≤ 1
(3) For two events E1 and E2 with E1 ∩ E2 = ∅
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)

(Applied Statistics and Probability for Engineers, 6E, p55)

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7. 공리에서 나오는 성질

성질 (고딩 교과서)

1. 0 <= P(A) <= 1
2. P(반드시 일어나는 사건)=1
3. P(절대 일어날 수 없는 사건)=0
공리적 확률의 성질
  • $P(\emptyset)=0$
  • $P(A^C)=1-P(A)$
  • $A\subset B \Rightarrow P(A)\le P(B)$
nonnegative.

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8. 확률의 고전적 정의

$P(A)=\frac{N_A}{N}$
여기서
$N$ : 실험의 가능한 전체 결과 수
$N_A$ : 사건,event $A$ 에 해당하는 실험의 결과의 수

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9. 확률의 덧셈정리 addition rule for probability

2개의 사건에 대해
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
3개의 사건에 대해
n개의 사건에 대해
TBW


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10. 독립시행의 확률

1회 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p일 때,
n회 독립시행에서 사건 A가 r회 일어날 확률은 (r=0,1,2,…,n)
${}_n{\mathrm C}_r p^r(1-p)^{n-r}$

See also 이항분포,binomial_distribution

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11. (tmp) 확률및랜덤프로세스 과목

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11.1. 다항확률법칙 multinomial probability law

다항확률법칙 multinomial probability law
{
확률실험의 표본공간 $S$ 가
$B_1,B_2,\cdots,B_M$ 으로 분할,partition되었고,
$P[B_j]=p_j$ 이고,
$p_1+p_2+\cdots+p_M=1$ (각 사건이 mutually exclusive) 이고,
$n$ 회의 독립 실험을 했다고 가정한다.
$k_j$ 는 사건 $B_j$ 가 일어나는 횟수이면, 벡터 $(k_1,k_2,\cdots,k_M)$ 은 각 사건 $B_j$ 가 일어나는 횟수를 표시한다. 벡터 $(k_1,\cdots,k_M)$ 은 다음 다항확률법칙을 만족한다.
$P[(k_1,k_2,\cdots,k_M)]=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_M!}p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_M^{k_M}$
$(k_1+k_2+\cdots+k_M=n)$

binomial probability law는 multinomial probability law에서 M=2인 경우.
(번역 대충이라 틀릴 수 있음)
}

(Leon-Garcia: Multinomial Probability Law)

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11.2. 기하확률법칙 geometric probability law

처음 성공할 때 까지 계속 반복, 그 횟수가 m. 횟수가 실험의 결과(outcome). 표본공간은 ℕ1. 확률 p(m)은 m-1번 동안 실패하고 마지막 한번(m번째) 성공한 것이므로 이 사건(event)의 확률은
$p(m)=P[A_1^c A_2^c \cdots A_{m-1}^c A_m]=(1-p)^{m-1}p$

확률의 합은 1이 된다. q=1-p일 때,
$\sum_{m=1}^{\infty}p(m)=p\sum_{m=1}^{\infty}q^{m-1}=p\frac1{1-q}=1$

성공할 때 까지 K번 초과의 시행(trial)이 필요할 확률은
$P[\left{m>K\right}]=p\sum_{m=K+1}^{\infty}q^{m-1}$
$=pq^K \sum_{j=0}^{\infty} q^j$
$=pq^K\frac{1}{1-q}$
$=q^K$

(Leon-Garcia, 2.6.4)
관련: 기하분포,geometric_distribution


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12. TOCLEANUP (종이에서)

$\begin{array}{rl}P(B)=&P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+\cdots\\ =&P(A_1)\cdot P(B|A_1)+P(A_2)\cdot P(B|A_2)+\cdots\\ =&\sum_{k=1}^{n}P(A_k)\cdot P(B|A_k)\end{array}$

$E(\bar{X})=E(X),\quad V(\bar{X})=\frac{V(X)}{n}$

$\begin{array}{c|cccc}x&x_1&x_2&\cdots&x_n\\ \hline p&p_1&p_2&\cdots&p_n\end{array}$

$1.\; \sum_{k=1}^{n}P_k=1$
$2.\; E(X)=\sum_{k=1}^{n}x_k\cdot p_k$
$3.\; V(X)=\sum_{k=1}^{n}(x_k-m)^2\cdot p_k$
$4.\; V(X)=E\left(X^2\right)-\left(E(X)\right)^2$
$5.\; E(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b$
$6.\; V(aX+b)=a^2V(X)$

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13. tmp; 부등식

$P[A\cup B]\le P[A]+P[B]$

If $A\subset B,$ then $P[A]\le P[B].$
(Leon-Garcia 2.12 p34)

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14. Links

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15. Misc

유사 표현; tbw - probability와 어떻게 다른지
  • chance
  • odds

mklink
확률과 비,ratio 비율,rate의 관계

Words of estimative probability (WEP) (del ok)
이것은 (단어, 어구, 표현, ...)과 미래 (사건,event, ...)의 확률,probability, 가능도,likelihood를 연결짓는, 추정,estimation에 대한? ambiguity, uncertainty, 등을 피하고 weasel words 등을 배제하고자 하는...
WpEn:Words_of_estimative_probability
via Google:estimative probability :
https://subsurfwiki.org/wiki/Words_of_estimative_probability

See also
순열,permutation
조합,combination
통계,statistics
확률과 상대빈도의 극한의 관계에 대해선 curr. goto 빈도,frequency