확률,probability

확률은 보통 probability지만..... stochastic, random으로 번역되는 경우도 있군

Sub:


1. 표기

이산확률변수 X가 어떤 값 x를 취할 확률:
$P(X=x)$

연속확률변수 X에 대해 a≤X≤b가 될 확률:
$P(a\le X\le b)$

사건(event) E에 대해 E의 확률 표기: P(E) 또는 Pr(E)


2. 용어

사건,event
disjoint 배반?? CHK
independent 독립
확률변수,random_variable
이항확률변수
이산확률변수/연속확률변수
베르누이_시행,Bernoulli_trial


표본공간,sample_space
표본공간(sample space, Ω 또는 S): 확률 실험에서 발생 가능한 모든 결과들의 집합
사건(event): 표본공간 내에서 우리가 관심을 가지는 부분집합


3. 확률의 공리,axiom


1. P(A)≥0
2. Sequence of disjoint events $A_1,A_2,\cdots$
$P(\bigcup_i A_i)=\sum_i P(A_i)$
3. P(Ω)=1
(Ω: sample space)

$A\subset S$

1. ${}^{\forall} A,\;P(A)\ge 0$
2. $P(S)=1$
3. ${}^{\forall}A_1,A_2,\cdots$
$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

S: 표본공간

4. 공리에서 나오는 성질

성질 (고딩 교과서)

1. 0 <= P(A) <= 1
2. P(반드시 일어나는 사건)=1
3. P(절대 일어날 수 없는 사건)=0

공리적 확률의 성질
  • $P(\emptyset)=0$
  • $P(A^C)=1-P(A)$
  • $A\subset B \Rightarrow P(A)\le P(B)$


5. 독립시행의 확률

1회 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p일 때,
n회 독립시행에서 사건 A가 r회 일어날 확률은 (r=0,1,2,…,n)
${}_n{\rm C}_r p^r(1-p)^{n-r}$

See also 이항분포,binomial_distribution


6. (tmp) 확률및랜덤프로세스 과목

7. TOCLEANUP (종이에서)

$\begin{array}{rl}P(B)=&P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+\cdots\\ =&P(A_1)\cdot P(B|A_1)+P(A_2)\cdot P(B|A_2)+\cdots\\ =&\sum_{k=1}^{n}P(A_k)\cdot P(B|A_k)\end{array}$

$E(\bar{X})=E(X),\quad V(\bar{X})=\frac{V(X)}{n}$

$\begin{array}{c|cccc}x&x_1&x_2&\cdots&x_n\\ \hline p&p_1&p_2&\cdots&p_n\end{array}$

$1.\; \sum_{k=1}^{n}P_k=1$
$2.\; E(X)=\sum_{k=1}^{n}x_k\cdot p_k$
$3.\; V(X)=\sum_{k=1}^{n}(x_k-m)^2\cdot p_k$
$4.\; V(X)=E\left(X^2\right)-\left(E(X)\right)^2$
$5.\; E(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b$
$6.\; V(aX+b)=a^2V(X)$