확률은 보통 probability지만..... stochastic, random으로 번역되는 경우가 상당수 있음. i.e. '''확률'''에 가장 잘 대응하는 단어는 보통 probability지만..... stochastic, random 역시 한국어로 번역할 때 '''확률'''로 번역되는 경우가 상당수 있음. (특히 -변수, -과정. 그렇지 않은 다른 번역: stochastic은 추계학적인, random은 무작위의, ...) 확률론 probability_theory : * mathematical study of Srch:uncertainty * probability theory provides the framework for quantifying and manipulating uncertainty [[사건,event]]에 대응하는/할당된 [[수,number]]. QQQ 정의역을 사건의 집합, 공역을 $[0,1]$ 의 집합으로 하는 [[함수,function]]라고 볼 수 있는가?? 아님 결과값만 확률이라고 부르는 것인가? '확률함수'가 정의역을 RV로 하고 치역이 확률인건가? CHK Sub: [[주변확률,marginal_probability]] { 확률 변수 중 한 변수만 고려한? CHK 해당하는 [[확률분포,probability_distribution]]는 [[주변확률분포,marginal_probability_distribution]] 그렇다면 [[편미분,partial_derivative]]과 유사성이 있는 / 비교할 가치가 있는 건지? } [[결합확률,joint_probability]] [[조건부확률,conditional_probability]] [[확률변수,random_variable]] [[확률함수,probability_function]] [[전확률정리,total_probability_theorem]] 전확률(total probability): P(B) = ∑ P(A,,i,,) P(B|A,,i,,) [[확률분포,probability_distribution]] [[확률공간,probability_space]] [[확률적자료구조,probabilistic_data_structure]] - curr. [[자료구조,data_structure]] 기하학적 확률 / 기하적 확률 뷔퐁의 바늘 문제(Buffon's needle problem) - [[원주율,pi]] [[추정,estimation]]/[[근사,approximation]] [[Namu:뷔퐁의%20바늘]] Google:뷔퐁의.바늘 베르트랑의 역설(Bertrand paradox) - [[역설,paradox]] [[WpKo:베르트랑의_역설_(확률)]] [[WpEn:Bertrand_paradox_(probability)]] https://mathworld.wolfram.com/BertrandsProblem.html 관련 페이지: [[분할,partition]] [[빈도,frequency]] [[TableOfContents]] = 표기 = 이산확률변수 X가 어떤 값 x를 취할 확률: $P(X=x)$ 연속확률변수 X에 대해 a≤X≤b가 될 확률: $P(a\le X\le b)$ 사건(event) E에 대해 E의 확률 표기: P(E) 또는 Pr(E) A, B의 [[결합확률,joint_probability]]: P(AB) 또는 P(A∩B) A일 때 B의 [[조건부확률,conditional_probability]]: P(B|A) = 용어 = [[사건,event]] '''확률'''은 사건에 [[수,number]]를 대응시킨 것. 사건 A를 측정하는 $[0,1]$ 사이의 수가 '''확률''' P(A). disjoint 배반?? CHK 확률의 독립: see [[독립,independent]] [[확률변수,random_variable]] 이항확률변수 이산확률변수/연속확률변수 [[베르누이_시행,Bernoulli_trial]] TBW [[빈도,frequency]]와의 관계. '''확률'''의 고전적 정의가 상대빈도의 극한? 확률에 대한 두 관점/학파/approach: 빈도주의(frequentist) vs 베이지안(Bayesian) http://m.kisdi.re.kr/mobile/colm/pro_view.m?seq=29947&category=W&selectPage=1 via https://junklee.tistory.com/124 [[표본공간,sample_space]] 표본공간(sample space, Ω 또는 S): 확률 실험에서 발생 가능한 모든 결과들의 집합 사건(event): 표본공간 내에서 우리가 관심을 가지는 부분집합 = 용어+설명 = 실험(experiment): 생략 - see [[확률실험,random_experiment]] (ex. 동전 세 개 던지기) [[시행,trial]]: 생략 (ex. 각 시행은 동전 한 개를 던지는 것) [[표본공간,sample_space]]: 실험에서 나올 수 있는 모든 결과들의 모임인 [[집합,set]] S (ex. S={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}, n(S)=8) 수형도(tree diagram): 나올 수 있는 모든 결과를 결정하는 편리한 방법 중 하나 [[사건,event]]: 표본공간의 부분집합 (ex. A={(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H)}) [[확률,probability]] (ex. $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac38$ ) Ref. 10개의 특강... (7강: 확률) 앞부분 = 사전확률 vs 사후확률 = 사전확률 사후확률 prior posterior a priori a posteriori [[WpEn:Posterior_probability]] Bayesian_statistics 관련. (curr see [[베이즈_정리,Bayes_theorem]] later see also [[베이즈_확률론,Bayesian_probability]], [[베이즈_추론,Bayesian_inference]] etc.) = 확률론의 용어 tmp TOCLEANUP = from http://www.kocw.or.kr/home/search/kemView.do?kemId=1265854 1강 '''확률'''론 기호 : 용어 Ω : the [[집합,set|set]] of all [[결과,outcome|outcome]]s (=[[표본공간,sample_space|sample space]]) ζ : individual outcome certain subset of Ω : [[사건,event|event]] the empty set ∅ : null event $\mathcal{F}$ : field : a set of subsets of Ω : Ω의 부분집합들의 집합 ℱ is assumed to be a σ-algebra, meaning it satisfies the following axioms * Ω ∈ ℱ * If A∈ℱ then A^^C^^∈ℱ * If A, B ∈ ℱ then A∪B∈ℱ. Also if A,,1,,, A,,2,,, … is a sequence of elements in ℱ then $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}\textrm{ and }\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}$ ex (coin flip) Ω={H,T} ℱ={{H},{T},{H,T},∅} ---- 확률은 [[사건,event]] $E$ 에서 숫자 $P[E]\in[0,1]$ 로 가는 [[함수,function]] $P[\cdot]$ 이다. 조건부확률 conditional probability [[조건부확률,conditional_probability]] 조건(condition)이 A일 때. A가 일어났을 때 B의 확률은 $P[B|A]=\frac{P[AB]}{P[A]}\textrm{, if}P[A]>0$ 결합확률 joint probability $P[AB]=P[B|A]P[A]=P[A|B]P[B]$ 독립 independence Two events A, B are said to be independent iff $P[AB]=P[A]P[B]$ $P[B|A]=P[B]$ $P[A|B]=P[A]$ ---- = 확률의 공리적 정의 = [[공리,axiom]] 1. P(A)≥0 2. Sequence of disjoint events $A_1,A_2,\cdots$ $P(\bigcup_i A_i)=\sum_i P(A_i)$ 3. P(Ω)=1 (Ω: sample space) 표본공간의 확률은 항상 1. ---- $A\subset S$ 1. ${}^{\forall} A,\;P(A)\ge 0$ 2. $P(S)=1$ 3. ${}^{\forall}A_1,A_2,\cdots$ $P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$ S: 표본공간 ---- 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. 2. P(S) = 1. 3. If A and B are events that cannot occur simultaneously, then P(A ∪ B) = P(A) + P(B). ---- $E$ : [[확률실험,random_experiment]] $S$ : [[표본공간,sample_space]] $P[A]$ : '''probability''' of $A$ ||Axiom I || $0\le P[A]$ || ||Axiom II || $P[S]=1$ || ||Axiom III || If $A\cap B=\emptyset$ , then $P[A\cup B]=P[A]+P[B]$ . || ||Axiom III' || If $A_1,A_2,\cdots$ is a sequence of events such that $A_i \cap A_j=\emptyset$ for all $i\ne j$ , then $P[\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k]=\sum_{k=1}^{\infty}P[A_k]$ . || ---- Axioms of Probability Probability is a number that is assigned to each member of a collection of [[사건,event|events]] from a [[확률실험,random_experiment|random experiment]] that satisfies the following properties: If ''S'' is the [[표본공간,sample_space|sample space]] and ''E'' is any event in a random experiment, (1) P(S) = 1 (2) 0 ≤ P(E) ≤ 1 (3) For two events E,,1,, and E,,2,, with E,,1,, ∩ E,,2,, = ∅ P(E,,1,, ∪ E,,2,,) = P(E,,1,,) + P(E,,2,,) (Applied Statistics and Probability for Engineers, 6E, p55) = 공리에서 나오는 성질 = 성질 (고딩 교과서) 1. 0 <= P(A) <= 1 2. P(반드시 일어나는 사건)=1 3. P(절대 일어날 수 없는 사건)=0 ---- 공리적 확률의 성질 * $P(\emptyset)=0$ * $P(A^C)=1-P(A)$ * $A\subset B \Rightarrow P(A)\le P(B)$ ---- nonnegative. = 확률의 고전적 정의 = $P(A)=\frac{N_A}{N}$ 여기서 $N$ : 실험의 가능한 전체 결과 수 $N_A$ : [[사건,event]] $A$ 에 해당하는 실험의 결과의 수 = 확률의 덧셈정리 addition rule for probability = 2개의 사건에 대해 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 3개의 사건에 대해 n개의 사건에 대해 TBW MKLINK [[포함배제원리,inclusion-exclusion_principle]] = 독립시행의 확률 = 1회 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p일 때, n회 독립시행에서 사건 A가 r회 일어날 확률은 (r=0,1,2,…,n) ${}_n{\mathrm C}_r p^r(1-p)^{n-r}$ See also [[이항분포,binomial_distribution]] = (tmp) 확률및랜덤프로세스 과목 = [[마르코프_연쇄,Markov_chain]] [[랜덤프로세스,random_process]] == 다항확률법칙 multinomial probability law == 다항확률법칙 multinomial probability law { 확률실험의 표본공간 $S$ 가 $B_1,B_2,\cdots,B_M$ 으로 [[분할,partition]]되었고, $P[B_j]=p_j$ 이고, $p_1+p_2+\cdots+p_M=1$ (각 사건이 mutually exclusive) 이고, $n$ 회의 독립 실험을 했다고 가정한다. $k_j$ 는 사건 $B_j$ 가 일어나는 횟수이면, 벡터 $(k_1,k_2,\cdots,k_M)$ 은 각 사건 $B_j$ 가 일어나는 횟수를 표시한다. 벡터 $(k_1,\cdots,k_M)$ 은 다음 '''다항확률법칙'''을 만족한다. $P[(k_1,k_2,\cdots,k_M)]=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_M!}p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_M^{k_M}$ $(k_1+k_2+\cdots+k_M=n)$ binomial probability law는 multinomial probability law에서 M=2인 경우. (번역 대충이라 틀릴 수 있음) } (Leon-Garcia: Multinomial Probability Law) == 기하확률법칙 geometric probability law == 처음 성공할 때 까지 계속 반복, 그 횟수가 m. 횟수가 실험의 결과(outcome). 표본공간은 ℕ,,1,,. 확률 p(m)은 m-1번 동안 실패하고 마지막 한번(m번째) 성공한 것이므로 이 사건(event)의 확률은 $p(m)=P[A_1^c A_2^c \cdots A_{m-1}^c A_m]=(1-p)^{m-1}p$ 확률의 합은 1이 된다. q=1-p일 때, $\sum_{m=1}^{\infty}p(m)=p\sum_{m=1}^{\infty}q^{m-1}=p\frac1{1-q}=1$ 성공할 때 까지 K번 초과의 시행(trial)이 필요할 확률은 $P[\left{m>K\right}]=p\sum_{m=K+1}^{\infty}q^{m-1}$ $=pq^K \sum_{j=0}^{\infty} q^j$ $=pq^K\frac{1}{1-q}$ $=q^K$ (Leon-Garcia, 2.6.4) 관련: [[기하분포,geometric_distribution]] = TOCLEANUP (종이에서) = $\begin{array}{rl}P(B)=&P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+\cdots\\ =&P(A_1)\cdot P(B|A_1)+P(A_2)\cdot P(B|A_2)+\cdots\\ =&\sum_{k=1}^{n}P(A_k)\cdot P(B|A_k)\end{array}$ $E(\bar{X})=E(X),\quad V(\bar{X})=\frac{V(X)}{n}$ $\begin{array}{c|cccc}x&x_1&x_2&\cdots&x_n\\ \hline p&p_1&p_2&\cdots&p_n\end{array}$ $1.\; \sum_{k=1}^{n}P_k=1$ $2.\; E(X)=\sum_{k=1}^{n}x_k\cdot p_k$ $3.\; V(X)=\sum_{k=1}^{n}(x_k-m)^2\cdot p_k$ $4.\; V(X)=E\left(X^2\right)-\left(E(X)\right)^2$ $5.\; E(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b$ $6.\; V(aX+b)=a^2V(X)$ = tmp; 부등식 = $P[A\cup B]\le P[A]+P[B]$ If $A\subset B,$ then $P[A]\le P[B].$ (Leon-Garcia 2.12 p34) = Links = http://www.aistudy.com/math/probability.htm [[RR:확률,probability]] https://ghebook.blogspot.com/2010/09/probability.html Harvard STAT-110 (확률론 기초) 강의 한국어 필기 - 첫 글 https://blog.naver.com/skkong89/222229851331 https://everything2.com/title/probability+theory http://biohackers.net/wiki/Probability = Misc = 유사 표현; tbw - '''probability'''와 어떻게 다른지 * chance * odds mklink 확률과 [[비,ratio]] [[비율,rate]]의 관계 Words of estimative probability (WEP) (del ok) 이것은 (단어, 어구, 표현, ...)과 미래 ([[사건,event]], ...)의 '''확률,probability''', [[가능도,likelihood]]를 연결짓는, [[추정,estimation]]에 대한? [[ambiguity]], [[uncertainty]], 등을 피하고 weasel words 등을 배제하고자 하는... WpEn:Words_of_estimative_probability via Google:estimative+probability : https://subsurfwiki.org/wiki/Words_of_estimative_probability ---- See also [[순열,permutation]] [[조합,combination]] [[통계,statistics]] 확률과 상대빈도의 극한의 관계에 대해선 curr. goto [[빈도,frequency]] Up: [[집합과_확률,set_and_probability]] [[확률과_통계,probability_and_statistics]] MKL [[확률론,probability_theory]]