R.V. 또는 RV

이하 정의역,domain을, 쉬운 설명에서는 표본공간이라 하고 어려운 설명에서는 확률공간이라 하는데 정확히 어떤 관계인지.....chk

기호: 대개 $X$

일반 정규분포,normal_distribution의 확률변수는 $X,$
표준정규분포,standard_normal_distribution의 확률변수는 $Z$ 를 쓰는 관례가 있는 듯?
그 외의 분포에 대한 확률변수 기호 TBW

정의:

표본공간에서 실수로 가는 함수.

표본공간,sample_space에서 정의된 실수 함수,function. $f:S\mapsto\mathbb{R}$
정의는 이산확률분포,discrete_probability_distribution에도 있음

// 김성범 https://youtu.be/GqDy0sInGJ0
표본공간의 각 원소에 실수,real_number를 대응시키는 함수.

// Schaum Prob RV and RP
random variable $X(\zeta)$ 는, single-valued real function.
sample space $S$ 의 sample point $\zeta$ 에 대해 실수,real_number 하나를 대응시키는 함수,function $X(\zeta)$ 가 바로 확률변수이며
$X(\zeta)$ 를 (줄여서) single letter $X$ 만으로도 자주 표기한다.

확률변수는 변수라기보다는 함수.
정의역이 표본공간 $\Omega$ 이고 치역이 실수집합의 부분집합인 함수.

$\Omega{X\atop \rightarrow}\mathbb{R}$

표본공간의 각 원소에 하나의 실수를 대응시키는 함수.

//mathworld
확률공간,probability_space에서 가측공간,measurable_space(AKA 상태공간,state_space)으로 가는 가측함수,measurable_function.

///wpko
확률변수의 정의역은 확률변수의 확률공간,probability_space.
확률변수의 공역은 확률변수의 상태공간,state_space.
만약 상태공간이 위상공간,topological_space인 경우, 상태공간은 통상적으로 보렐 시그마 대수(curr see 시그마대수,sigma-algebra)를 사용.
(반면, 보렐 시그마 대수 대신 르베그 가측집합의 시그마대수를 사용하면, 연속함수이지만 가측함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.)

정의:
확률변수 X란,
표본공간 S 내의 각 결과,outcome ζ를 실수 X(ζ)로 대응시키는 함수,function.

Key Point. A random variable $X$ is a function that maps each outcome $x$ of an experiment (e.g. a coin flip) to a number $X(x),$ which is the outcome value of $x.$
If the outcome value of $x$ is 1 then this may be written as $X=1,$ or as $x=1.$
(Information Theory, Stone, p. 26)

한국어 ‘확률’은 영어의 여러 단어 {probability(see 확률,probability), random, stochastic(see 확률과정,stochastic_process)}에 대응....

사건(event) =결과

사건,event

표본공간(sample space): 모든 가능한 사건(event)의 집합

확률실험,random_experiment에서 발생 가능한 모든 사건,event의 집합,set

continuous random variable 연속확률변수

RV가 가질 수 있는 값이 무한히 많음

discrete random variable 이산확률변수

RV가 가질 수 있는 값이 가산,countable

mixed random variable

// tmp from [https]

두산백과: pdf
{
ALSOIN 확률밀도함수,probability_density_function,PDF

	이산 RV	연속 RV
	pmf의 자리? (설명에 그냥 확률 P를 씀)	pdf $f(x)$
평균,mean,average $m$	$\sum X \cdot P(X)$	$\int x \cdot f(x)$
분산,variance $\sigma^2$	$\sum X^2 \cdot P(X)-m^2$	$\int x^2 \cdot f(x) - m^2$

// 적분식 뒤에 $dx$ 를 생략했네?
RV / distribution / function / 시각화
이산확률변수 ⇒ 이산확률분포 ⇒ 확률질량함수 ⇒ 이산확률분포표
연속확률변수 ⇒ 연속확률분포 ⇒ 확률밀도함수 ⇒ 확률밀도함수그래프
}

Sub:

이산확률변수,discrete_random_variable

(셀 수 있는(countable) 확률 변수, 확률질량함수,probability_mass_function,PMF와 연관)
베르누이_확률변수,Bernoulli_random_variable
푸아송_확률변수,Poisson_random_variable
이항확률변수,binomial_random_variable
기하확률변수,geometric_random_variable
균등확률변수,uniform_random_variable
음이항확률변수,negative_binomial_random_variable
constant_random_variable

Constant_random_variable redir. to:

Degenerate_distribution (on section 1)
Rel. 퇴화분포,degenerate_distribution
constant random variable
Up: 이산확률변수,discrete_random_variable

연속확률변수,continuous_random_variable

(값을 셀 수 없음(uncountable), 확률밀도함수,probability_density_function,PDF와 연관)

이항확률변수: see 이항분포,binomial_distribution
초기하확률변수: see 초기하분포,hypergeometric_distribution
기하확률변수: see 기하분포,geometric_distribution

벡터확률변수 vector random variable

지시확률변수 indicator random variable
지시확률변수,indicator_random_variable
{
관심있는 어떤 사건,event이 있을 때, 사건이 일어나면 1, 안 일어나면 0인 확률변수.
사건,event A의 지시변수는, 사건 A가 일어나면 1, 일어나지 않으면 0으로 정의되는 확률변수.

기호:

$I_A,\chi_A,1_A$

사건 $B$ 의 지시변수의 기대값,expected_value은 사건 $B$ 가 일어날 확률과 같음.

$\text{E}(I_B)=\text{P}(B)$

베르누이_확률변수,Bernoulli_random_variable와 same?? 차이가 있다면?

지시함수,indicator_function와 비슷한데?

수학백과: 지시변수

Up: 지시,indication 확률변수,random_variable
}

고른확률변수,uniform_random_variable
{
고른분포,uniform_distribution
}

IID,independent_and_identically_distributed
{
independent and identically distributed, i.i.d., iid
독립항등분포/독립동일분포/

확률변수,random_variable 여러 개의 성질.

서로 독립이며,
동일한 확률분포,probability_distribution를 가질 때 iid라 함.

어떤 논의를 펼치기에 앞서 쓰이는 가정(assumption)인 경우가 많은듯? CHK

Independent_and_identically_distributed_random_variables

mv from

i.i.d.

(정보이론)엔트로피,entropy 관련

$n$ 개의 i.i.d 확률변수로 이뤄진 sequence 하나를 뽑으면, (원문: If we draw a sequence of n IID RVs,) "typical(전형적인/대표적인)" sequence의 확률은 대략 $2^{-nH(X)}$ 이며 그런 sequence는 대략 $2^{nH(X)}$ 개가 있다. 이 성질(asymptotic equipartition property AEP라고 알려진)은 정보이론의 많은 증명의 basis가 된다.
(Cover Thomas p6)

asymptotic_equipartition_property ->

Asymptotic_equipartition_property

Up:

확률변수,random_variable
확률,probability and 통계,statistics

}

고른분포,uniform_distribution와 iid의 관계 정확히? TBW.

1. 확률변수로 정의하는 사건
2. 확률변수의 독립
3. 확률변수의 기대값
4. 확률변수의 표준화
5. 확률변수의 합의 기대값(평균)
6. 확률변수의 곱의 기대값(평균)
7. 확률변수의 합의 분산
8. Links ko
9. etc

[edit]

1. 확률변수로 정의하는 사건 ¶

(Schaum's outline: Events defined by random variables)

$X$ 가 확률변수(r.v.)이고
$x$ 가 실수,real_number라면
사건,event $(X=x)$ 를 다음과 같이 정의.

$(X=x)=\{\zeta:\,X(\zeta)=x\}$

마찬가지로

$(X\le x)=\{\zeta:\,X(\zeta)\le x\}$

등으로 정의할 수 있음.

그러한 사건들의 확률,probability은

$P(X=x)=P\{\zeta:\,X(\zeta)=x\}$

로 표기.

from

this kocw pdf file, chk
{
page 4
$P(X=x)=P_X(x)=P(x)$ 다 같은 표현.

page 10
확률변수 $X$ 의 분포함수가 $P$ 또는 $p$ 이다.
( 확률분포,probability_distribution가
연속분포일 때는 PDF $p(x)$ 이고, 이산분포일 때는 PMF $P(x)$ )
이 때 확률변수 $X$ 의 기대값,expected_value 공식은

$E[X]=\sum_x xp(x)$
$E[aX+b]=\sum_x (ax+b)p(x)$
$E[f(X)]=\sum_x f(x)p(x)$

}

related: 확률,probability, 사건,event

[edit]

2. 확률변수의 독립 ¶

RV X, Y가 독립이기 위한 필요충분조건:

－∞ < x < ∞, －∞ < y < ∞ 에 대하여,
결합확률밀도함수,joint_probability_density_function,joint_PDF f:

$f(x,y)=g_1(x)\cdot g_2(y)$
$g_1$ : x만의 음이 아닌 함수
$g_2$ : y만의 음이 아닌 함수

3. 확률변수의 기대값 ¶

See 기대값,expected_value

// ㄷㄱㄱ
Expectation: a fixed value that represents the value of a random variable.

확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같을 때,

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
확률	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

확률변수 X의 기대값(또는 평균)은 다음과 같이 정의.

$\text{E}(X)=\sum_{i=1}^n x_i p_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$

데이터	평균
확률변수	평균 = 기대값

데이터,data의 경우 평균이라 하고, (기대값이라고는 하지 않고?)
확률변수의 경우 평균과 기대값이 같은 뜻이다. (둘 다 쓰인다)
확률변수의 평균을 기대값이라고 하는 것은 확률변수의 값을 실제로 (무작위로?) 관측해볼 때 '평균적으로 기대되는 값'이라는 의미이다.[1]

mklink 평균,mean,average

[edit]

4. 확률변수의 표준화 ¶

확률변수 X에서 새로운 확률변수 Z를 만들어 내는 것.
방법은,

$Z=\frac{X-E(X)}{s(X)}$

즉,

$Z=\frac1{s(X)}X-\frac{E(X)}{s(x)}$

여기에 $Y=aX+b$ 일 경우 $E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b$ 라는 사실을 적용하면,

$E(Z)=\frac1{s(X)}E(X)-\frac{E(X)}{s(X)}=\frac{E(X)-E(X)}{s(X)}=0$

또한 $Y=aX+b$ 일 경우 $V(Y)=a^2 V(X)$ 이며 $s(Y)=as(X)$ 라는 사실 중 후자를 적용하면,

$s(Z)=\frac1{s(X)}s(X)=1$

즉 어떤 확률변수 X에 대해서도, 저 변환식으로 만든 새로운 확률변수 Z는, 반드시 평균이 0이고 표준편차가 1이 된다.
이것은 평균이 0이고 표준편차가 1인 확률변수에 대해서만 다양한 성질을 조사해두면 다른 모든 확률변수에 그 결과를 응용할 수 있다는 뜻이다.

(나가노 히로유키)

관련 내용 표준정규분포,standard_normal_distribution에서도 언급.

[edit]

5. 확률변수의 합의 기대값(평균) ¶

확률변수 $X$ 는 $x_1,x_2,x_3$ 에서 어떤 값을 갖고
확률변수 $Y$ 는 $y_1,y_2$ 에서 어떤 값을 갖는다고 하자.
이 $X,Y$ 에 대해

$Z=X+Y$

로 정의되는 새로운 확률변수 $Z$ 를 생각하기로 하자.
예를 들어 $X=x_1 \;\text{and}\; Y=y_2$ 가 되는 확률을 $p_{12}$ 로 나타내기로 하면, $X,Y$ 의 분포는 다음과 같이 2차원 표로 나타난다.

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	계
$y_1$	$p_{11}$	$p_{21}$	$p_{31}$	$v_{1}$
$y_2$	$p_{12}$	$p_{22}$	$p_{32}$	$v_{2}$
계	$u_1$	$u_2$	$u_3$	$1$

이와 같이 X와 Y의 확률분포를 한 표로 정리한 것을 확률변수 X와 Y의 동시분포(=결합확률분포,joint_probability_distribution?)라고 한다.

$X=x_1$ 이 되는 확률을 $u_1$ 이라 하면, $u_1=p_{11}+p_{12}$ 이다. (둘은 상호배반(동시에 일어나지 않음, P(A∪B)=P(A)+P(B))이므로 단순히 더할 수 있다.)
// 영어? mutually_disjoint? mutual_disjointness? mutually_exclusive? mutual_exclusion?(이건 mutex쪽이 생각나는데 아무튼) ....

mutually
같은 방식으로 $Y=y_1$ 이 되는 경우의 확률인 $v_1$ 은 $p_{11}+p_{21}+p_{31}$ 이다.

X와 Y의 확률분포를 각각 따로 표로 만들면 다음과 같다.

X	x₁	x₂	x₃	계
확률	u₁	u₂	u₃	1

E(X)=x₁u₁+x₂u₂+x₃u₃

Y	y₁	y₂	계
확률	v₁	v₂	1

E(Y)=y₁v₁+y₂v₂
이렇게 준비하고 E(Z)=E(X+Y)를 계산해보면
E(Z)=E(X+Y)

=(x₁+y₁)p₁₁+(x₂+y₁)p₂₁+(x₃+y₁)p₃₁+(x₁+y₂)p₁₂+(x₂+y₂)p₂₂+(x₃+y₂)p₃₂
=x₁(p₁₁+p₁₂)+x₂(p₂₁+p₂₂)+x₃(p₃₁+p₃₂)+y₁(p₁₁+p₂₁+p₃₁)+y₂(p₁₂+p₂₂+p₃₂)
=x₁u₁+x₂u₂+x₃u₃ + y₁v₁+y₂v₂
=E(X)+E(Y)

따라서 E(X+Y)=E(X)+E(Y)인 것을 확인할 수 있다. //// del ok

확률변수 $X,Y$ 에 대해