#noindex
대충 [[군,group]]에 추가적으로 두 연산 [[덧셈,addition]]과 [[곱셈,multiplication]]을 ...tbw

----
[[덧셈,addition|더하기]]에 대해 [[가환군,commutative_group]]이 되고,
[[곱셈,multiplication|곱하기]]에 대해 닫혀 있고,
곱하기에 대한 [[결합법칙,associativity]]이 성립하고,
더하기와 곱하기 사이에 [[분배법칙,distributivity]]이 성립
? chk

ex. [[정수,integer]]의 집합, [[실수,real_number]]의 집합

----
가환환(commutative ring) : [[교환법칙,commutativity]]이 성립하는 환
비가환환(non-commutative ring) : 그렇지 않은 환

[[가환환,commutative_ring]]
{
[[곱셈,multiplication]] 연산에 대해 [[교환법칙,commutativity]]이 성립하는 [[환,ring]].

[[환,ring]]에서 곱셈에 관한 교환법칙이 성립되는 것. (동아백과)

Compare: [[가환체,commutative_field]]

[[WpSimple:Commutative_ring]]
https://mathworld.wolfram.com/CommutativeRing.html
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3404935&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 가환환]] - 9개의 성질 목록
[[WpEn:Commutative_ring]]
[[WpKo:가환환]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Commutative_ring

Up: 가환성 commutativity [[환,ring]]
}

[[비가환환,non-commutative_ring]]
{
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669108&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 비가환환]]
 "환 R의 곱셈 연산이 [[교환법칙,commutativity]]을 만족하지 않을 때, 비가환환"
 "비가환 기하학(noncommutative geometry)"
 끝부분에 [[나눗셈환,division_ring]], skew_field (=의체 =비가환체) 언급.
 "나눗셈환이 가환환일 때는 체(field)라고 하며, 나눗셈환이 '''비가환환'''인 경우 의체(skew field) 또는 비가환체라고 한다."
}

[[다항식환,polynomial_ring]]
{
[[다항식,polynomial]] [[환,ring]]

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Polynomial_ring
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125208&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 다항식환]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1079429&cid=40942&categoryId=32206 두산백과: 다항식환]]
[[WpKo:다항식환]]
[[WpEn:Polynomial_ring]]
https://planetmath.org/polynomialring
}

[[축소환,reduced_ring]]
{
[[WpKo:축소환]] "0이 아닌 [[멱영원,nilpotent_element]]을 갖지 않는 환, 즉 0이 아닌 원소의 제곱이 항상 0이 아닌 환"
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Reduced_Ring
}

[[부분환,subring]]은, 어떤 환의 부분집합으로서 그 환의 두 가지 연산에 대하여 이 부분집합 자체가 환이 될 때, 이 부분집합.
{
[[아이디얼,ideal]]은 특별한 성질을 갖는 '''부분환'''.

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125310&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 부분환]]
https://mathworld.wolfram.com/Subring.html (short)
https://everything2.com/title/subring
}

[[아이디얼,ideal]] : 특별한 성질을 갖는 부분환으로, ...tbw - 작성중

정수환(ring of integers) ring_of_integers ? integer_ring ?
 rel. [[정수,integer]]
 https://mathworld.wolfram.com/RingofIntegers.html
 https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_of_integers

[[자명환,trivial_ring]]
{
하나의 원소만을 가지는 [[환,ring]]. 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원이 같다. 즉 1=0이다.
[[WpKo:자명환]]
https://mathworld.wolfram.com/TrivialRing.html
}

[[나눗셈환,division_ring]]
{
skew_field = '''division_ring''' = [[나눗셈대수,division_algebra]]
즉 [[체,field]]와 '''환'''중에 어떤건 수식어에 따라 같아짐
see https://mathworld.wolfram.com/DivisionAlgebra.html

[[WpEn:Division_ring]]
}

[[몫환,quotient_ring]]
{
이름이 [[몫,quotient]] [[환,ring]]인데 ..

Compare: [[몫군,quotient_group]] [[몫공간,quotient_space]]

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125337&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 몫환]] - 또는 잉여환(factor ring 또는 quotient ring)이나 상환
https://mathworld.wolfram.com/QuotientRing.html
[[WpKo:환_(수학)#몫환]]
[[WpEn:Ring_%28mathematics%29#Quotient_ring]]
[[WpEn:Quotient_ring]]
https://everything2.com/title/quotient+ring
}

[[불_환,Boolean_ring]] - writing
{
is the ring version of a [[불_대수,Boolean_algebra]].... (eom)
A ring whose multiplicative operation is idempotent. (wten)
 ''[[곱셈,multiplication]]연산이 [[멱등성,idempotence]] .. 즉 (대충) 곱해도 항상 자기자신..?''

tmp files:
Boolean Algebras, Boolean Rings and Stone’s Representation Theorem (2017)
https://mathsci.kaist.ac.kr/~htjung/Boolean.pdf

[[WtEn:Boolean_ring]]
https://planetmath.org/booleanring
[[WpEn:Boolean_ring]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Boolean_ring
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Boolean_Ring
https://ncatlab.org/nlab/show/Boolean+ring
} // 이 중괄호 안에 있는거 readonly. 나중에 페이지 만들면 삭제. 업데이트는 local에 할 것.

[[유클리드_환,Euclidean_ring]] - wr

[[principal_ring]] - wr

[[principal_ideal_ring]] - wr

[[군환,group_ring]] - wr

[[unit_ring]] - wr

⇅ 이것들 다른것임 주의. ([[WpEn:Unit_(ring_theory)]] 참조)

환론의 unit. Unit (of ring theory).
{
[[https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Unit_(ring_theory)]]
[[https://arbital.com/p/unit_ring_theory/]]
[[WpEn:Unit_(ring_theory)]] ''- corresp. ko interwiki = [[WpKo:가역원]]''
}

<<tableofcontents>>

= tmp links ko =
https://m.blog.naver.com/ooooooooooo0/220366801179
https://blog.naver.com/ptm0228/221795893430

https://jjycjnmath.tistory.com/228 (2016) - '환에서 체까지'의 첫 글, 이하 Abstract Algebra 카테고리에 계속, 7개 글

= 그냥 환 =
곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있음

= rig, semiring  =
[[반환,semiring]]
덧셈의 역원(additive inverse)이 필수가 아닌 [[환,ring]].

이하 WpEn 옮김
{

두 [[이항연산,binary_operation]] + and ⋅ ([[덧셈,addition]] and [[곱셈,multiplication]]) 및 [[집합,set]] R이 있어서,
 (R, +)은 [[항등원,identity_element]] 0을 가진 가환 모노이드(commutative monoid)
  * (a + b) + c = a + (b + c)
  * 0 + a = a + 0 = a
  * a + b = b + a
 (R, ⋅)은 항등원 1을 가진 [[모노이드,monoid]]
  * (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
  * 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a
 [[곱셈,multiplication]]은 덧셈 좌우로 [[분배법칙,distributivity]] 성립
  * a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
  * (a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c)
 0을 곱하면 R을 annihilate
  * 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0

}

Sub:
 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Idempotent_semi-ring
  aka dioid

AKA '''rig''' (wpko)

Twins:
[[WpKo:반환_(수학)]]
[[WpEn:Semiring]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Semi-ring
https://ncatlab.org/nlab/show/rig

= rng, nonunital ring =
환에서 multiplicative identity를 뺀?
 multiplicative_identity 존재를 가정하지 않은?

Sub:
 [[영환,zero_ring]] 유사환중에 영환이 있다 (wpko참조)

[[WpEn:Rng_(algebra)]] (or non-unital ring or pseudo-ring)
[[WpKo:유사환]] (pseudoring 또는 rng) "환과 유사하나, 곱셈에 대한 항등원을 갖지 않을 수 있는 구조"
https://ncatlab.org/nlab/show/nonunital+ring

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Pseudo-ring

= 환의 단위원 =


= 환의 표수 - characteristic =
[[characteristic]]
기호 char
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125495&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 표수]]
[[Libre:환의_표수]]
[[WpKo:환의_표수]]


= related =
[[정역,integral_domain]]은 [[영인자,zero_divisor]]를 포함하지 않는 '''환'''.

= links tmp =
https://everything2.com/title/ring+theory
https://everything2.com/title/Ring

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Ring - 이거 뜻이 다양

= Sub w =
[[semiprime_ring]]


----
Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405420&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 환]]
[[Libre:환_(수학)]]
https://mathworld.wolfram.com/Ring.html
[[https://en.citizendium.org/wiki/Ring_(mathematics)]]
[[WpKo:환_(수학)]]
[[WpEn:Ring_(mathematics)]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Ring
https://ncatlab.org/nlab/show/ring
[[https://proofwiki.org/wiki/Definition:Ring_(Abstract_Algebra)]]

[[WpSimple:Ring_(mathematics)]]
https://freshrimpsushi.github.io/posts/ring-in-algebra/
[[Namu:환(대수학)]]
... Ggl:"환 대수학" Ggl:"ring algebra"

Up: [[대수구조,algebraic_structure]] or [[대수학,algebra]]