MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005 chkout: 2010년강의
Gilbert Strang
선형대수,linear_algebra 강좌
http://web.mit.edu/18.06
Textbook: Introduction to Linear Algebra
Playlist: https://www.youtube.com/watch?v=ZK3O402wf1c&list=PL49CF3715CB9EF31D
Gilbert Strang
선형대수,linear_algebra 강좌
http://web.mit.edu/18.06
Textbook: Introduction to Linear Algebra
Playlist: https://www.youtube.com/watch?v=ZK3O402wf1c&list=PL49CF3715CB9EF31D
1 ¶
Linear algebra의 fundamental problem: Solving a system of linear equations (선형방정식계, 연립일차방정식,system_of_linear_equations)
또는
(이것 등등을 보면 행렬은 대문자로, 벡터는 소문자로 표기하는 게 주류인 듯)
column을 보면, 벡터,vector가 나옴
이것은 linear combination of columns (선형결합,linear_combination)
즉 1·(column 1) + 2·(column 2) = (0, 3)
다시 표현하면
세 평면,plane의 교점이 solution?
- row picture
- column picture
- matrix form
또는
column을 보면, 벡터,vector가 나옴
즉 1·(column 1) + 2·(column 2) = (0, 3)
다시 표현하면
세 평면,plane의 교점이 solution?
Can I solve Ax=b for every b? (algebra question)
Do the linear combinations of the columns fill 3-D(three-dimensional) space? (linear combination question)
For this matrix A, the answer is YES.
Do the linear combinations of the columns fill 3-D(three-dimensional) space? (linear combination question)
For this matrix A, the answer is YES.
2 Elimination with Matrices ¶
예제로 쓸 식:
를 먼저 eliminate한다.
왼쪽 위 1은 pivot이라 한다. (1st pivot)
첫 행에 3을 곱하면 3 6 3 인데 이것을 두번째 행에서 빼주면,
i.e.
첫 행에 -3을 곱하면 -3 -6 -3 인데 이것을 두번째 행에 더해주면, (이게 더 편한 것 같다)
i.e.
첫 행에 -3을 곱하면 -3 -6 -3 인데 이것을 두번째 행에 더해주면, (이게 더 편한 것 같다)
두번째 행에 -2를 곱하면 0 -4 4 인데 세번째 행에 더해주면,
이것을 U라고 하자 (upper triangular에서)
1st pivot이 0이면 행을 바꾸면 된다. (switch rows)
그리고 로 둔다.
행렬곱을 생각한다.
일 때 K는 무엇인가?
일 때 K는 무엇인가?
이라는데 알아낸 방법이 잘 이해가 안 간다.
아무튼 K는 elementary matrix라고 하고 E21 로 나타낸다.
Step 1: 3*(row 1)을 (row 2)에서 뺀다
Step 2: 2*(row 2)를 (row 3)에서 뺀다
왼쪽 행렬은 E32
식으로는
E32(E21A)=U
E32(E21A)=U
(...)A=U
일 때 왼쪽을 어떻게 알아낼 것인가?
일 때 왼쪽을 어떻게 알아낼 것인가?
(E32E21) 인데, associative law(결합법칙,associativity)에 의해 그렇다.
permutation matrix
exchange rows 1 and 2
그리고
E-1 E = I
라고 한다.3 Multiplication and Inverse Matrices ¶
A: m×n행렬, B: n×p행렬이면, C: m×p행렬이고
AB=C에서,
AB=C에서,
C34= (row 3 of A) · (column 4 of B)
C34= (A의 3열) · (B의 4행)
BlockC34= (A의 3열) · (B의 4행)
= a31 b14 + a32 b24 + …
역행렬,inverse_matrix, 가역행렬,invertible_matrix
If ∃(A-1), A-1A=AA-1=I.
If ∃(A-1), A는 invertible, nonsingular.
If ∃(A-1), A-1A=AA-1=I.
If ∃(A-1), A는 invertible, nonsingular.
참고. 용어가 혼란스러운데 invertible과 singular는 정반대라는 것만 알면 될듯.
가역행렬 invertible matrix = 비특이행렬 nonsingular matrix = 정칙행렬
A × (column j of A-1) = (column j of I)
가역행렬 invertible matrix = 비특이행렬 nonsingular matrix = 정칙행렬
: 역행렬이 존재하는 행렬.
특이행렬 singular matrix = 비정칙행렬(非正則行列, 일본어?): 역행렬이 존재하지 않는 행렬. No inverse.
가 이러할 때,A × (column j of A-1) = (column j of I)
7 Solving Ax = 0: Pivot Variables, Special Solutions ¶
MIT Linear Algebra 2010 Class Notes ¶
http://theyearlyprophet.com/linalg.html - PDF 노트정리, 영문, by jongman