MIT_Single_Variable_Calculus



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1. Lec 1

Lec 1 | MIT 18.01 Single Variable Calculus, Fall 2007
https://www.youtube.com/watch?v=jbIQW0gkgxo

우선 이항정리,binomial_theorem에서
$(x+\Delta x)^n=x^n+nx^{n-1}\Delta x+\fbox{\mathrm{junk}}$
Junk는 $O\left((\Delta x)^2\right)$ , 작으므로 무시한다는 idea.

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\left((x+\Delta x)^n-x^n\right)$
$=\frac1{\Delta x}\left(\cancel{x^n}+nx^{n-1}\Delta x+O((\Delta x)^2)-\cancel{x^n}\right)$
$\longrightarrow^{\small\Delta x\to0}nx^{n-1}$
따라서
$\fbox{\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}}$

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2. Lec 2

average change = $\frac{\Delta f}{\Delta x}$
instantaneous rate = $\frac{df}{dx}$
Examples
  1. q = charge, dq/dt = current
  2. s = distance, ds/dt = speed
  3. T = temperature, dT/dx = temperature gradient
  4. sensitivity of measurements

f(x)가 x0에서 연속(continuous)이라 함은
$\lim{}_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

Jump discontinuity
: 좌극한과 우극한이 존재하나 다름.
Removable discontinuity
: 좌극한과 우극한이 같고 함수값만 동떨어져 있음.
Infinite discontinuity
Ex. 1/x 쌍곡선,hyperbola : ±∞
// (이상 몇가지 불연속성,discontinuity)

Proof of $\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0$
$=\lim\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)=f'(x_0)\cdot0=0 \rule{10}{10}$

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3. Lec 3

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4. Lec 4


Product rule 증명은 생략
$\frac{\text{d}}{\text{d}x}uv=\frac{du}{dx}{v}+u\frac{dv}{dx}$

Quotient rule 증명생략
$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Composition rule


Higher derivative의 notation (u(n), dn/dxn u, Dnu...)

Ex. Dnxn = ?
Dxn = nxn-1
D2xn = n (n-1) xn-2
D3xn = n (n-1) (n-2) xn-3
...
Dn-1xn = n (n-1) … x1
So
Dnxn = n! (constant) ∽ 계승,factorial

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5. Lec 5


Implicit differentiation

$\frac{d}{dx}x^a=ax^{a-1}$
지금까지 $a\in\mathbb{Z}$ 인 경우만 다루었으나 오늘은 $a\in\mathbb{Q}$ 인 경우를 다룰 예정.

$\frac{d}{dx}y^n=\frac{d}{dx}x^m$ , ( $\frac{m}{n}=a$ 라고 가정 )
양변을 미분하면 (좌변에 chain rule 적용된 것임)
$\left(\frac{d}{dy}y^n\right)\frac{dy}{dx}=mx^{m-1}$
$ny^{n-1}\frac{dy}{dx}=mx^{m-1}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{mx^{m-1}}{ny^{n-1}}$
$=\frac{m}{n}\frac{x^{m-1}}{(x^{m/n})^{n-1}}$
$=ax^{m-1-(n-1)\frac{m}{n}$
$=ax^{a-1}\quad\rule{10}{10}$

Example 2:
$x^2+y^2=1$
$2x+2yy'=0$
$y'=-\frac{x}{y}$

Example 3:
$y^4+xy^2-2=0$
explicit하게 하면
quadratic_formula를 쓰면
$y^2=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-4(-2)}}{2}$
$y=\pm\sqrt{\frac{-x\pm\sqrt{x^2+8}}{2}}$

implicit하게 하면
$4y^3y'+y^2+x(2yy')-0=0$
$(4y^3+2xy)y'=-y^2$
$y'=\frac{-y^2}{4y^3+2xy}$

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6. Lec 6


$\frac{d}{dx}a^x= \frac{d}{dx}e^{x\ln a}=(\ln a)e^{x\ln a}=(\ln a)a^x$

$(\ln u)'=u'/u$

양변에 로그를 취한 뒤 미분하는 것을 설명


$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
$=e^{\left[\lim_{n\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)\right]}$
$=e^1=e$

근거는 다음과 같다.
$\ln\left(\left(1+\frac1{n}\right)^n\right)=n\ln\left(1+\frac1{n}\right)$
여기서 $\Delta x=\frac1n\to0$ 이라고 하면
$=\frac{1}{\Delta x}\ln(1+\Delta x)$
$=\frac{1}{\Delta x}\left(\ln(1+\Delta x)-\ln 1\right)$
$\Delta x\to 0$ 으로 가면
$=\left[\frac{d}{dx}\ln x\right]_{x=1}$
$=\left[1/x\right]_{x=1}$
$=1$

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7. Lec 7


$\frac{d}{dx}x^r=rx^{r-1}$ 증명

Method 1
$\frac{d}{dx}x^r$
$=\left(e^{r\ln x}\right)'$
$=e^{r\ln x}(r\ln x)'$
$=x^{r}\cdot\left(0\cdot\ln x+r\cdot\frac{1}{x}\right)$
$=x^{r}\cdot\left(\frac{r}{x}\right)$
$=rx^{r-1}$

Method 2 (log diff)
$u=x^r$
$\ln u=r\ln x$
$\frac{u'}{u}=(\ln u)'=\frac{r}{x}$
$u'=u\cdot\frac{r}{x}=x^r\cdot\frac{r}{x}=rx^{r-1}$

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8. Lec 8

(Lec 8 is exam 1)

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9. Lec 9


Applications of differentiation

Linear approximation
(선형근사,linear_approximation)

$\fbox{f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}$

i.e.
Curve $y=f(x)$
$\approx y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ tangent line.

Ex.
f(x)=ln x, f'(x)=1/x
$x_0=1,\;f(1)=\ln1=0,\;f'(1)=1$
$\ln x\approx 0+1\cdot(x-1)$
So, $\ln x\approx x-1$ (x가 1 근방일때)

x0=0이면
$\fbox{f(x)\approx f(0)+f'(0)x$
따라서 (x0 ≈ 0)일 때는
sin x ≈ x
cos x ≈ 1
exp x ≈ 1 + x
ln(1 + x) ≈ x
(1 + x)r ≈ 1 + rx
이상 ≈의 좌변은 hard function, 우변은 easy function임을 볼 수 있음

Ex 2.
ln(1.1) ≈ 1/10
∵ ln(1+x) ≈ x, x=1/10

Ex 3.
Find linear approx near x=0 (x≈0) of $\frac{e^{-3x}}{\sqrt{1+x}}$
$e^{-3x}(1+x)^{-1/2}$
$\approx(1-3x)\left(1-\frac12x\right)$
$=1-3x-\frac12x+\frac32x^2$
drop x2 terms (negligible)
$\approx1-\frac72x$

Ex 4. (real life)
생략

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10. Lec 10

Quadratic approximation
(use these when linear is not enough)

$f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2$ (when x≈0)

x가 0에 가까울 때 다음 관계도 성립
$\sin x\approx x$
$\cos x\approx 1-\frac12x^2$
$\exp x\approx 1+x+\frac12 x^2$
$\ln(1+x)\approx x-\frac12 x^2$
$(1+x)^r\approx 1+rx+\frac{r(r-1)}{2}x^2$

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11. Lec 11

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12. Lec 12

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13. Lec 13


tangent line:
$y-y_0=m(x-x_0)$
x1 is the x-intercept
$0-y_0=m(x_1-x_0)$
$-\frac{y_0}{m}=x_1-x_0$
$x_1=x_0-\frac{y_0}{m}$
$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$
이것을 repeat(iterate)


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14. Lec 14

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15. Lec 15

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16. Lec 16

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17. Lec 17

is test?

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18. Lec 18

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19. Lec 19

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20. Lec 20

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21. Lec 21


로그,log의 적분을 쓴 정의

...

다음 함수를 오래 설명
$F(x)=\int_0^x e^{-t^2}dt$
그래프: arctan 유사한 모양, horizontal asymptote는 $\lim_{x\to\infty}F(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2},\; \lim_{x\to-\infty}F(x)=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
$F'(x)=e^{-x^2}$
그래프 : 정규분포 모양
$F''(x)=-2xe^{-x^2}$
$\begin{cases}<0,x>0\\>0,x<0\end{cases}$ 이며 기함수 즉 F(-x)=-F(x)

여기서 오차함수,error_function (curr. goto 함수,function#s-17) 이 나옴
$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt=\frac{2}{\sqrt{\pi}}F(x)$

그리고 다음을 Fresnel integral 이라 함
$C(x)=\int_0^x\cos(t^2)dt$
$S(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt$

$Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{\ln t}$
Li(x)는 (x보다 작은 소수,prime_number)에 비례

...

곡선 사이의 면적을 구하는 것 설명

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22. Lec 22


얇게 잘라 부피를 구하는 것을 설명 (volumes by slicing)
$\Delta V\approx A\Delta x$ (one slice)
$dV=A(x)dx$
$V=\int A(x)dx$

회전해서 생긴 부피 설명 (solids of revolution)

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23. Lec 23

is test?

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24. Lec 24

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25. Lec 25

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26. Lec 26

is an exam session

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27. Lec 27

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28. Lec 28

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29. Lec 29


rational function = 다항식,polynomial / 다항식

부분분수,partial_fraction
부분분수분해,partial fraction decomposition
부분분수전개,partial fraction expansion

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30. Lec 30

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31. Lec 31


arc_length

피타고라스 정리에서
$ds^2=dx^2+dy^2$
$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$
dx를 밖으로 끄집어내면
$ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$

그래서 곡선,curve 길이 공식이 이 모양인 것이다.

arclength는 (호길이,arclength)
$\int ds$
$=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$
$=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx$

표면적,surface_area AKA 겉넓이

회전체의 겉넓이
구의 겉넓이
radius=a일 때
$y=\sqrt{a^2-x^2}$
$y'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$
$1+\frac{x^2}{a^2-x^2}=1+(y')^2$
$=\frac{a^2-x^2+x^2}{a^2-x^2}=\frac{a^2}{a^2-x^2}$
따라서 area =
$\int_{x_1}^{x_2}2\pi y ds$
$=\int_{x_1}^{x_2}2\pi\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2}}dx$
$=\int_{x_1}^{x_2}2\pi a dx$
$=2\pi a(x_2-x_1)$
따라서 $4\pi a^2$ 유추 가능

parametric_curve
$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}$

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32. Lec 32

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33. Lec 33

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34. Lec 34

exam?

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35. Lec 35


극한이 부정형,indeterminate_form일 때 활용하는
로피탈_정리,L_Hopital_s_rule
Version 1
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
provided $f(a)=g(a)=0$
and the right-hand limit exists.

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36. Lec 36



Def:
$\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{N\to\infty}\int_a^Nf(x)dx$
The integral converges if limit exists; diverges if not.

Example:
$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$

$\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}$ diverges if $p\le 1$

$\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}$ converges if $p>1\quad \left(=\frac1{p-1}\right)$

이건 판정법 내용인가?

Limit comparison
If $f(x)\sim g(x)$ (similar) as $x\to\infty$
(f~g as x→∞ means f(x)/g(x)→1)
then $\int_a^{\infty}f(x)dx\;\textrm{and}\;\int_a^{\infty}g(x)dx$ either both converge or both diverge.

Ex.
$\int_0^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^2+10}}$
$\sqrt{x^2+10}\sim\sqrt{x^2}=x$ 이므로
$\sim\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$
- diverges.

Ex.
$\int_{10}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+3}}$
$\frac1{\sqrt{x^3+3}}\sim\frac1{\sqrt{x^3}}=\frac1{x^{3/2}}$
$\int_{10}^{\infty}\frac{dx}{x^{3/2}}$
- convergent.

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37. Lec 37


Improper integrals (2nd kind)

Ex 1
$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int_0^1x^{-\frac12}dx=\left[2x^{\frac12}\right]_0^1=2-0$ convergent

Ex 2
$\int_0^1\frac{dx}{x}=\left[\ln x\right]_0^1=\ln1-\ln0^+=0-(-\infty)=+\infty$ divergent

In general,
$\int_0^1\frac{dx}{x^p}=\frac1{1-p}$ if $p<1$
diverges if $p\ge 1$

Contrast
$\frac1{x^{1/2}}\ll \frac1x \ll \frac1{x^2} \quad \textrm{as}\; x\to\0^{+}$
$\frac1{x^{1/2}}\gg \frac1x \gg \frac1{x^2} \quad \textrm{as}\; x\to\infty$

급수,series 무한급수,infinite_series

기하급수,geometric_series
$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2$
$1+a+a^2+a^3+\cdots=\frac1{1-a}\;(-1<a<1)$
이 식은
$a=1:\;\;1+1+1+\cdots=\frac1{1-1}=\frac10$ diverges
$a=-1:\;\;1-1+1-1+\cdots=\frac1{1-(-1)}=\frac12$ - 좌변 diverges (틀림)
$a=2:\;\;1+2+2^2+2^3+\cdots=\frac1{1-2}=-1$ - 좌변 diverges (clearly wrong)

Notation
$S_N=\sum_{n=0}^N a_n : $ 부분합,partial_sum
$S=\sum_{n=0}^{\infty}a_n = \lim_{N\to\infty} S_N$
→ limit exists (the series converges) or
→ limit does not exist (series diverges)

Ex 1.
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\sim\int_1^{\infty}\frac1{x^2}dx$ convergent
LHS: $\frac{\pi^2}{6},$ RHS: 1

Ex 2.
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^3}\sim\int_1^{\infty}\frac1{x^3}dx$ convergent
LHS: 간단하게 값을 나타낼 수 없음, 최근에서야(2007년 강의) 유리수,rational_number임이 증명됨. RHS: 1/2

Ex 3.
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n}\leftrightarrow\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ diverges

$\Delta x=1$ 인 upper_Riemann_sum
$\int_1^N \frac{dx}{x} < 1+\frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1{N-1} < S_N$
$\int_1^N \frac{dx}{x} < S_N$
$\ln N<S_N$
인데 $N\to\infty$ 일 때 $\ln N=\infty$ 이므로 $S_N=\infty$

$\Delta x=1$ 인 lower_Riemann_sum
$\ln N = \int_1^N \frac{dx}{x} > \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1N = S_N - 1$
$\ln N < S_N < (\ln N)+1$

Integral Comparison

If $f(x)$ is decreasing, $f(x)>0,$ then
$\left| \sum_{n=1}^{\infty} f(n) - \int_1^{\infty} f(x)dx \right| < f(1)$
and
$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ and $\int_1^{\infty}f(x)dx$
converge or diverge together.


Limit Comparison

If
$f(n)\sim g(n) \left(\text{ (i.e. } \frac{f(n)}{g(n)}\to 1\text{ as } n\to\infty \right)$
and $g(n)>0 \; \forall n $ then,
$\sum f(n),\,\sum g(n)$ either both converge or both diverge.

Ex.
$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{\sqrt{n^2+1}} \;\leftrightarrow\; \sum\frac1{\sqrt{n^2}} = \sum\frac1n $ diverges.

Ex.
$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{\sqrt{n^5-n^2}} \;\leftrightarrow\; \sum\frac1{\sqrt{n^5}} = \sum\frac1{n^{5/2}}$ converges.


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38. Lec 38


(김홍종 미적분학 1+에도 언급된 '블럭을 쌓아 한강을 건널 수 있는가?' 그 문제)
도중에 greedy_algorithm 언급
결론은 가능하다는 것. 다만 앞의 테이블을 건너려면 달의 거리의 두 배만큼의 높이를 쌓아야 함.

Power Series (멱급수,power_series)


$1+x+x^2+x^3+\cdots=S$ 라 하자
양변에 $x$ 를 곱하면
$x+x^2+x^3+\cdots=Sx$
위 두 식에 대해, 위 식에서 아래 식을 빼면
$1=S-Sx$
$1=S(1-x)$
$\frac1{1-x}=S$

Reasoning (is) incomplete because it requires $S$ exist.
e.g. $x=1,$
$1+1+1+\cdots=S$
$1+1+1+\cdots=S\cdot 1$
$\infty-\infty=\infty-\infty$

General Power Series (멱급수,power_series)

$a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$

$|x|<R,\;-R<x<R$ (radius of convergence, 수렴반지름,convergence_radius)

$|x|>R,\;\sum a_n x^n$ diverges

$|x|=R:$ very delicate borderline - not used by us

그래서 우린 수렴반지름 안에서만 머무를 것이다.

$|a_n x^n|\to 0$ exponentially fast for $|x|<R$
(R 안에 있을 때는 0으로 매우 빠르게 접근하지만)

$|a_n x^n|\not\to 0$ for $|x|>R$
(R 밖에 있을 때는 0으로 가지도 않는다)

이건 모든 멱급수(power series)에 적용된다.

Rules for convergent power series are just like polynomials.
$f(x)+g(x),\;f(x)g(x),\;f(g(x)),\;\frac{f(x)}{g(x)},\;\frac{d}{dx}f(x),\;\int f(x)dx$

$\frac{d}{dx}\left(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots\right)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots$

$\int\left(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\right)dx=C+a_0x+a_1x^2/2+a_2x^3/3+\cdots$

Taylor's formula
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

$\sum_{n=0}^{\infty}\fbox{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}}x^n$
사각형 부분이 $a_n$
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$
$f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots$
$f^{(2)}(x)=2a_2+3\cdot 2 a_3x+\cdots$
$f^{(3)}(x)=3\cdot2a_3+4\cdot3\cdot2a_4x+\cdots$
여기서 $x=0$ 을 넣으면,
$f^{(3)}(0)=3\cdot 2 a_3$
$\frac{f^{(3)}(0)}{3!}=a_3$
In general,
$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

지수함수,exponential_function를 예로 들면
$f(x)=e^x,\;f'(x)=e^x,\;f''(x)=e^x,\;\ldots$
$f^{(n)}(x)=e^x$
$f^{(n)}(0)=\left.e^x\right|_{x=0}=1$
그래서 분자는 모두 1이다.
$e^x=\sum_{\small n=0}^{\infty}\frac1{n!}x^n$
$e=e^1=1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots$

$\sin x \approx x$
$\cos x \approx 1-\frac{x^2}{2}$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

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39. Lec 39