정수,integer

$\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$
i.e.
$0,\pm1,\pm2,\pm3,\ldots$

정수의 집합 표기:
$\mathbb{Z}$, ℤ (U+2124)
그래서
$\mathbb{Z}=\lbrace \cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \rbrace$
양의 정수는
$\mathbb{Z}^+=\lbrace 1,2,3,\cdots\rbrace$

Positive integer: ℤ+ = {1, 2, 3, …}
Negative integer: ℤ- = {…, -3, -2, -1}
Nonnegative integer: ℤ* = {0, 1, 2, 3, …} = {0} ∪ ℤ+
또는 ISO에 의하면[1]
$\mathbb{Z}^*=\lbrace n\in\mathbb{Z} | n \ne 0 \rbrace$
i.e. (2023-09-22)[2]
$\mathbb{Z}^*,\,\mathbb{Q}^*,\,\mathbb{R}^*,\,\mathbb{C}^*$ 이것은 각각 $\mathbb{Z},\,\mathbb{Q},\,\mathbb{R},\,\mathbb{C}$ 에 포함된 0이 아닌 수(mk page nonzero or non-zero number? WtEn:nonzero Ggl:nonzero number rel. 영,zero)들의 집합.



2. 아이젠슈타인 정수 Eisenstein integer


AKA 오일러 정수 Eulerian integer

//tmp from wpen TOC 전까지
$z=a+b\omega$
꼴의 복소수,complex_number. 여기서
$a,b$정수이고
$\omega=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{2\pi}{3}}$ 즉 primitive(hence non-real) cube root of unity (1의 세제곱근, see: 세제곱근,cube_root, 일의거듭제곱근,unity_root)

복소평면,complex_plane세모 정삼각 격자,lattice (triangular lattice; wpen redir. to WpEn:Hexagonal_lattice)를 이루는(?)... 그림참조.

비교: 가우스_정수,Gaussian_integer는 정사각 격자 square lattice 를 이루는...

countably infinite set이다. 가산집합,countable_set


(Misc, del ok, QQQ) 가우스정수 아이젠슈타인정수 이 둘은 정수의 일반화인지? 실직선real_line에서 복소평면,complex_plane위로 확장한?

2.1. 아이젠슈타인 소수

3. 이차 정수

4. 대수적 정수? algebraic integer

algebraic integer
대수정수 ?
대수적정수


"algebraic integer"
Ggl:algebraic integer

위에 가우스 등등 이것들이 여기 속하는데 언제 tree형태로 제대로 분류 필요.


6. 정수화 함수

7. 자연수,natural_number와 공통

성질
이산성(discreteness)
$\forall a,b\in\mathbb{Z}(a\neq b)\Longrightarrow |a-b|\ge1$

8. 디지털 컴퓨터의 정수 표현


  • signed-magnitude (representation/form/system)
  • signed-complement (보수,complement)
    • signed-2's complement
  • bigint
{
arbitrary precision integer
Wiki:BigInt

compare bignum.
}

정수의 부호,sign 표현
부호있는 1-보수(signed 1's complement) 표현
부호있는 2-보수(signed 2's complement) 표현
부호있는 절대치(signed magnitude) 표현
부호있는 보수,complement 표현에서는 정수 $I$$-I$ 를 서로 보수 관계가 되도록 나타낸다.

1-보수는 비트를 반전하면 된다.
2-보수는 1-보수보다 1만큼 크다.

ex. 8비트 정수로 −7은?
+7=(00000111)2
−7=(11111000)2 ← 1-보수 표현 (부호를 반전해서)
−7=(11111001)2 ← 2-보수 표현 (1을 더해서)



See illustration:
http://csillustrated.berkeley.edu/illustrations.php
(Number Representations)

// 이하: 특히 PL의 integer에서

Integer Overflow (Checking) - integer_overflow_checking - ALSOIN 컴파일러,compiler...보다는 PL design
{
Efficient Integer Overflow Checking in LLVM (2016)
https://blog.regehr.org/archives/1384
https://news.ycombinator.com/item?id=24575997



}

표현할 수 없는 / 표현불가능한 / Unrepresentable Integer의 behavior에 대해... 정리 tbw
tmp links:
Improving Software ‘Numbers’
https://noncombatant.org/2021/09/26/improving-software-numbers/
https://news.ycombinator.com/item?id=28660778

9. CS에서 integer ??

9.1. Church integer

Church_integer
Alonzo_Church
http://foldoc.org/Church integer

9.2. von Neumann integer