쌍곡선함수,hyperbolic_function의 역함수,inverse_function

쌍곡선함수는 지수함수 형태이므로, 그 역함수는 로그함수 관련 형태가 나타날 것을 예측할 수 있고, 실제로 그렇다.

$\sinh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$

$(x\in\mathbb{R})$

$\cosh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$

$(x\ge 1)$

$\tanh^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

$(-1<x<1)$

$\coth^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

$(x<-1\,\mathrm{ or }\,x>1)$

${\rm sech}^{-1}x= \ln \left( \frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}- 1} \right) = \ln \left( \frac{1 +\sqrt{1- x^2}}{x} \right)$

$(0<x\le 1)$

$\mathrm{csch}^{-1}x= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+ 1} \right)$

$(x\ne 0)$

[edit]

복소수 ¶

복소수 z에 대해서도 마찬가지로 성립.

$\sinh^{-1}z=\ln[z+(z^2+1)^{1/2}]$
$\cosh^{-1}z=\ln[z+(z^2-1)^{1/2}]$
$\tanh^{-1}=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}$

$\frac{d}{dz}\sinh^{-1}z=\frac1{(z^2+1)^{1/2}}$
$\frac{d}{dz}\cosh^{-1}z=\frac1{(z^2-1)^{1/2}}$
$\frac{d}{dz}\tanh^{-1}z=\frac1{1-z^2}$

tmp from Zill AEM p850

[edit]

역쌍곡선함수의 미분, derivative of inverse hyperbolic functions ¶

$(\sinh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(\cosh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$(\tanh^{-1}x)'=\frac{1}{1-x^2},\;\;|x|<1$
$({\rm csch}^{-1}x)'=\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$
$({\rm sech}^{-1}x)'=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$(\coth^{-1}x)'=\frac{1}{1-x^2},\;\;|x|>1$

(atanh x)'와 (acoth x)'가 모양이 같다.
삼각함수_미분표에도 내용 있음.