$n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$

$0!=1$

$f(n)=\begin{cases}1&\textrm{ if }n=0,\,n=1\\nf(n-1)&\textrm{ if }n>1\end{cases}$

1. 0! = 1인 이유

2. (-1)! = ∞ 인 이유? chk

3. 단항식 x^n의 n계 미분과의 관계

4. 상승계승 / 하강계승

4.1. 상승계승 rising factorial
4.2. 하강계승 falling factorial

5. Prg Lang Impl

5.1. using recursion
5.2. using loop
5.3. using memoization
5.4. using gamma function

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1. 0! = 1인 이유 ¶

(x+1)! = (x+1)x!
x=0을 대입하면,
(0+1)! = (0+1)0!
1! = (1)0!
1 = 0!

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2. (-1)! = ∞ 인 이유? chk ¶

$n!=n\times(n-1)!$ 이므로
$1!=1\times 0! \;\to\; 0!=\frac{1!}{1}=1$
이것을 확장하여 $(-1)!$ 을 구해보면
$0!=0\times(-1)! \;\to\; (-1)!=\frac{0!}{0}=\frac10=\infty$

via https://youtu.be/OUy4l7VO1OQ?t=407

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3. 단항식 x^n의 n계 미분과의 관계 ¶

단항식,monomial 미분,derivative 미분,differentiation

See MIT_Single_Variable_Calculus#s-4

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4. 상승계승 / 하강계승 ¶

rel. 포흐하머_기호,Pochhammer_symbol
{
상승 포흐하머_기호
하강 포흐하머_기호

rel.
상승계승 / 하강계승 - curr at 계승,factorial#s-4
상승계승,rising_factorial
하강계승,falling_factorial

포흐하머_기호
https://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
}

Falling_and_rising_factorials

...

상승계승 하강계승

rising.factorial falling.factorial

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4.1. 상승계승 rising factorial ¶

상승계승,rising_factorial - writing

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4.2. 하강계승 falling factorial ¶

하강계승,falling_factorial - writing

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5. Prg Lang Impl ¶

여러 언어 구현 참조: http://rosettacode.org/wiki/Factorial
다음과 같은 여러 방법이 있음

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5.1. using recursion ¶

재귀,recursion

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5.2. using loop ¶

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5.3. using memoization ¶

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5.4. using gamma function ¶

$x!=\mathrm{\Gamma}(x+1)$ 을 이용. 여기서 $\mathrm{\Gamma}$ 는 감마함수,gamma_function.

순열,permutation, 조합,combination, 이항계수,binomial_coefficient 계산에 쓰임.

순열의 경우,

$_n\mathrm{P}_{n}=n!$

sub?
상승계승 rising_factorial
하강계승 falling_factorial
///

상승계승

rising.factorial

falling.factorial

rel.
순열,permutation = 하강계승? chk
완전순열,complete_permutation = 교란순열 = 교란 =

derangement

소수계승 or 소계승?? primorial ... rel 소수,prime_number

curr see

소수 계승

primorial (prime + factorial)

계승은 자연수,natural_number ℕ₀에서 정의.
계승을 더 (정의역,domain을 자연수→실수 확장,extension?? 일반화,generalization? chk) 일반적으로 확장시킨 개념은 감마함수,gamma_function를 참조.
참고로,

$n!=\mathrm{\Gamma}(n+1)$

계승의 다양한 확장
https://jjycjnmath.tistory.com/515

감마함수
준계승(subfactorial) - 완전순열 complete_permutation or 교란 derangement 관련, (curr see 순열,permutation) (derangement : see Derangement)
이중계승(double factorial) 및 다중계승(multiple factorial, multifactorial)
소수계승(primorial)
초계승(superfactorial)