$n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$

$0!=1$

$f(n)=\begin{cases}1&\textrm{ if }n=0,\,n=1\\nf(n-1)&\textrm{ if }n>1\end{cases}$

[[TableOfContents]]

= 0! = 1인 이유 =
(x+1)! = (x+1)x!
x=0을 대입하면,
(0+1)! = (0+1)0!
1! = (1)0!
1 = 0!

= (-1)! = ∞ 인 이유? chk =
$n!=n\times(n-1)!$ 이므로
$1!=1\times 0! \;\to\; 0!=\frac{1!}{1}=1$
이것을 확장하여 $(-1)!$ 을 구해보면
$0!=0\times(-1)! \;\to\; (-1)!=\frac{0!}{0}=\frac10=\infty$

via https://youtu.be/OUy4l7VO1OQ?t=407

= 단항식 x^n의 n계 미분과의 관계 =
[[단항식,monomial]] [[미분,derivative]] [[미분,differentiation]]

See [[MIT_Single_Variable_Calculus#s-4]]

= 상승계승 / 하강계승 =

rel. [[포흐하머_기호,Pochhammer_symbol]]
{
상승 포흐하머_기호
하강 포흐하머_기호

rel.
상승계승 / 하강계승 - curr at [[계승,factorial#s-4]]
[[상승계승,rising_factorial]]
[[하강계승,falling_factorial]]

WpKo:포흐하머_기호
https://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
}

WpEn:Falling_and_rising_factorials

... Google:상승계승+하강계승  Google:rising.factorial+falling.factorial

== 상승계승 rising factorial ==
[[상승계승,rising_factorial]] - writing

== 하강계승 falling factorial ==
[[하강계승,falling_factorial]] - writing

= Prg Lang Impl =

여러 언어 구현 참조: http://rosettacode.org/wiki/Factorial
다음과 같은 여러 방법이 있음
== using recursion ==
[[재귀,recursion]]
== using loop ==
== using memoization ==
== using gamma function ==
$x!=\mathrm{\Gamma}(x+1)$ 을 이용. 여기서 $\mathrm{\Gamma}$ 는 [[감마함수,gamma_function]].


----------
[[순열,permutation]], [[조합,combination]], [[이항계수,binomial_coefficient]] 계산에 쓰임.

순열의 경우,
 $_n\mathrm{P}_{n}=n!$

sub?
상승계승 rising_factorial
하강계승 falling_factorial 
/// Ndict:상승계승 Google:rising.factorial Google:falling.factorial

rel.
[[순열,permutation]] = 하강계승?  chk
[[완전순열,complete_permutation]] = 교란순열 = 교란 = Srch:derangement

소수계승 or 소계승?? primorial ... rel [[소수,prime_number]]
 curr see [[Namu:소수%20계승]]
 Google:primorial (prime + factorial)

----
계승은 [[자연수,natural_number]] ℕ,,0,,에서 정의.
계승을 더 ''([[정의역,domain]]을 자연수→실수 [[확장,extension]]?? [[일반화,generalization]]? chk)'' 일반적으로 확장시킨 개념은 [[감마함수,gamma_function]]를 참조.
참고로,
 $n!=\mathrm{\Gamma}(n+1)$

계승의 다양한 확장
https://jjycjnmath.tistory.com/515
 * 감마함수
 * 준계승(subfactorial) - 완전순열 complete_permutation or 교란 derangement 관련, (curr see [[순열,permutation]]) (derangement : see [[WpEn:Derangement]])
 * 이중계승(double factorial) 및 다중계승(multiple factorial, multifactorial)
 * 소수계승(primorial)
 * 초계승(superfactorial)

계승의 또 다른 일반화:
Bhargava_factorial
{
Bhargava factorial
WpEn:Bhargava_factorial
"Bhargava factorial"
Ggl:"Bhargava factorial"
}

[[근사,approximation]]를 위한 [[스털링_공식,Stirling_formula]]이 있음.

----
AKA '''팩토리얼, 차례곱'''(북한말)

CHK 한자 이름 階乘에서 계는 단계/계단 할 때 그거?[* "계승이란 단계를 내려가듯이 숫자를 하나씩 줄여가면서 곱해가는 연산을 말한다." (통계가 빨라지는 수학력)]

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338402&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 계승]]
https://planetmath.org/factorial
https://mathworld.wolfram.com/Factorial.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Factorial
[[Namu:계승(수학)]]
http://oeis.org/wiki/Factorial