곡률,curvature

곡선,curve이 휘어진 정도를 실수로 나타낸 것?
곡선의 점에 원,circle을 근사시키는 방법으로 측정. // 근사,approximation라기보다는 접촉,osculation에 가깝지 않나?
그 근사된 원은 곡률원, 그 반지름의 길이는 ​곡률반지름,radius_of_curvature곡률반지름,curvature_radius(w). 곡률은 곡률반지름의 역수,reciprocal.

"how fast the function is changing at a given point"[1]

기호: κ, $\kappa$ (카파 소문자)

Sub: // 밑에 있는거 여기로 서서히 MV



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1. main

직선,line은 곡률이 0인 곡선,curve이다.
반지름이 r인 원,circle의 곡률은 1/r로 일정하다. (이 때 r=곡률반지름,curvature_radius)

i.e.
직선,line의 곡률은 0이다.
원,circle의 곡률은 상수이다.
곡률을 구하기 전 먼저 접촉원(osculating circle)을 정의, 이것은 기울기,slope를 구할 때의 접선,tangent_line과 비슷한 개념.
(i.e. 곡선의 접점,tangent_point에서의 기울기를 구하려면 먼저 그 접점에서의 접선을 구하는 것과 비슷?)
접촉원의 반지름 $r$ (곡률 반지름, 곡률 반지름,radius)일 때 그 역수가 곡률.
$\kappa=\frac{1}{r}$
osculate : 접촉하다 (접촉,osculation)
$\kappa=\frac{f''(x)}{\left(1+(f'(x))^2\right)^{3/2}}$
먼저 arclength에 대해 알아야 한다. (See 호길이,arclength - Bazett part)

다음...
곡선 C위의 점 P에서 단위접벡터,unit_tangent_vector T를 정의해야 한다.
$\vec{T}(s)=\vec{r}{}'(s)=\frac{d\vec{r}}{ds}=\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\vec{r}{}'\cdot\frac1{\;\frac{ds}{dt}\;}=\frac{\vec{r}{}'}{|\vec{r}{}'|}$

물론 $|\vec{T}(s)|=1$ 이다.

$\vec{r}(s)$ 는 두번미분가능하다고 할 때 단위접벡터의 변화율의 크기가 바로 점P에서 곡선C의 곡률인 것이다.......

$\kappa=\left|\frac{d\vec{T}}{ds}\right|=\left|\frac{\;\frac{d\vec{T}}{dt}\;}{\frac{ds}{dt}}\right|=\frac{|\vec{T}{}'(t)|}{|\vec{r}{}'(t)|}$

곡선 $\vec{r}=\vec{r}(t)$ 의 곡률 $\kappa$ 는 r(t)가 이계도함수를 가질 때 다음과 같단다.
$\kappa(t)=\frac{|\vec{r}{}'{}'(t)\times\vec{r}{}'{}'(t)|}{|\vec{r}{}'(t)|^3}$

이상 p388~

// via (Bazett: How curvy is a curve? Intro to Curvature & Circles of Curvature https://youtu.be/si6ka6HeUdY)
{
매끄러운곡선,smooth_curve에 대한 단위접벡터,unit_tangent_vector $\vec{T}$ 에 대해,
the curvature function κ is given by
$\kappa=\left| \frac{d\vec{T}}{ds} \right|$

호길이,arclength $s$ 가 아니라 어떤 $t$ 에 대해 매개화된 경우라면 (여기선 $\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)$ 표기를 쓰는 듯)
$\kappa=\left| \frac{d\vec{T}}{ds} \right|=\left|\frac{d\vec{T}}{dt}\frac{dt}{ds}\right|$
For $|\vec{v}|=\frac{ds}{dt}$
$=\frac1{|\vec{v}|}\left|\frac{d\vec{T}}{dt}\right|$

Def. $\kappa\ne 0$ 일 때, principal_unit_normal_vector(see 단위법선벡터,unit_normal_vector) for a smooth curve in the plane is
(principal unit normal vector - 주 단위 법선벡터)
$\vec{N}=\frac1{\kappa}\frac{d\vec{T}}{ds}$

Def. circle of curvature (곡률원,curvature_circle)
  1. Tangent to the curve at the point
  2. Same curvature as the curve (i.e. radius = 1/κ)
  3. Center on the concave (or inner) side
}
$\kappa=\frac{|y^{\prime\prime}|}{\left(1+(y^{\prime})^2\right)^{3/2}}$


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2. 매개변수방정식,parametric_equation의 곡률

$\frac{f^{\prime\prime}g^{\prime}-f^{\prime}g^{\prime\prime}}{\left((f^{\prime})^2+(g^{\prime})^2\right)^{3/2}}$ 어쩌구


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3. 극좌표에서의 곡률


$x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta$
이면,
$dx=\cos\theta dr-r\sin\theta d\theta$
$dy=\sin\theta dr+r\cos\theta d\theta$
그런데 ds는 다음과 같으므로
$ds=\sqrt{(\frac{dx}{du})^2+(\frac{dy}{du})^2}\cdot du$
$=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$
여기에 위의 dx, dy를 대입하여 정리하면
$=\sqrt{(dr)^2+r^2(d\theta)^2}$
$=\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}\cdot d\theta$
$=\sqrt{r^2+r^{\prime}^2}d\theta$

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4. Sub: ~곡률 ~curvature


측지적 곡률 - KmsE:geodesic curvature
측지곡률 - 수백


[https]수학백과: 측지곡률
...
"geodesic curvature"
Ggl:geodesic curvature
}
total_geodesic_curvature
{
total geodesic curvature
전측지곡률 - via KmsE:total geodesic curvature
"total geodesic curvature"
Ggl:total geodesic curvature

Up: 전곡률,total_curvature AND 측지곡률,geodesic_curvature ? CHK
}
전곡률,total_curvature
{
total curvature


곡선 $X(t)$ 의 곡률 $\kappa(t)$ 의 적분 $\int_X \kappa {\rm ds}$ 를 $X$ 의 전곡률(total curvature)이라고 한다.
(김홍종 미적1+ p360)




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5. Sub: 곡률~

곡률중심 곡률반지름 - see 물리학백과
중심,center 반지름,radius

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6. etc

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