#noindex
[[곡선,curve]]이 휘어진 정도를 실수로 나타낸 것?
곡선의 점에 [[원,circle]]을 근사시키는 방법으로 측정. // [[근사,approximation]]라기보다는 [[접촉,osculation]]에 가깝지 않나?
그 근사된 원은 곡률원, 그 반지름의 길이는 ~~​[[곡률반지름,radius_of_curvature]]~~[[곡률반지름,curvature_radius]](w). '''곡률'''은 곡률반지름의 [[역수,reciprocal]].

"how fast the function is changing at a given point"[* https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/CalcII.aspx]

기호: κ, $\kappa$ (카파 소문자)

Sub: // 밑에 있는거 여기로 서서히 MV

<<tableofcontents>>

= main =
[[직선,line]]은 '''곡률'''이 0인 [[곡선,curve]]이다.
반지름이 r인 [[원,circle]]의 '''곡률'''은 1/r로 일정하다. (이 때 r=[[곡률반지름,curvature_radius]])

i.e.
[[직선,line]]의 '''곡률'''은 0이다.
[[원,circle]]의 '''곡률'''은 상수이다.
----
'''곡률'''을 구하기 전 먼저 접촉원(osculating circle)을 정의, 이것은 [[기울기,slope]]를 구할 때의 [[접선,tangent_line]]과 비슷한 개념.
''(i.e. 곡선의 [[접점,tangent_point]]에서의 기울기를 구하려면 먼저 그 접점에서의 접선을 구하는 것과 비슷?)''
접촉원의 반지름 $r$ (곡률 반지름, 곡률 [[반지름,radius]])일 때 그 역수가 곡률.
 $\kappa=\frac{1}{r}$
osculate : 접촉하다 ([[접촉,osculation]])
----
$\kappa=\frac{f''(x)}{\left(1+(f'(x))^2\right)^{3/2}}$
----
먼저 arclength에 대해 알아야 한다. (See [[호길이,arclength]] - Bazett part)

다음...
곡선 C위의 점 P에서 [[단위접벡터,unit_tangent_vector]] T를 정의해야 한다.
$\vec{T}(s)=\vec{r}{}'(s)=\frac{d\vec{r}}{ds}=\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\vec{r}{}'\cdot\frac1{\;\frac{ds}{dt}\;}=\frac{\vec{r}{}'}{|\vec{r}{}'|}$

물론 $|\vec{T}(s)|=1$ 이다.

$\vec{r}(s)$ 는 두번미분가능하다고 할 때 단위접벡터의 변화율의 크기가 바로 점P에서 곡선C의 '''곡률'''인 것이다.......

$\kappa=\left|\frac{d\vec{T}}{ds}\right|=\left|\frac{\;\frac{d\vec{T}}{dt}\;}{\frac{ds}{dt}}\right|=\frac{|\vec{T}{}'(t)|}{|\vec{r}{}'(t)|}$

곡선 $\vec{r}=\vec{r}(t)$ 의 곡률 $\kappa$ 는 r(t)가 이계도함수를 가질 때 다음과 같단다.
 $\kappa(t)=\frac{|\vec{r}{}'{}'(t)\times\vec{r}{}'{}'(t)|}{|\vec{r}{}'(t)|^3}$

이상 p388~

// via (Bazett: How curvy is a curve? Intro to Curvature & Circles of Curvature https://youtu.be/si6ka6HeUdY)
{
[[매끄러운곡선,smooth_curve]]에 대한 [[단위접벡터,unit_tangent_vector]] $\vec{T}$ 에 대해,
the '''curvature''' function κ is given by
 $\kappa=\left| \frac{d\vec{T}}{ds} \right|$

[[호길이,arclength]] $s$ 가 아니라 어떤 $t$ 에 대해 매개화된 경우라면 (여기선 $\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)$ 표기를 쓰는 듯)
 $\kappa=\left| \frac{d\vec{T}}{ds} \right|=\left|\frac{d\vec{T}}{dt}\frac{dt}{ds}\right|$
For $|\vec{v}|=\frac{ds}{dt}$
 $=\frac1{|\vec{v}|}\left|\frac{d\vec{T}}{dt}\right|$

Def. $\kappa\ne 0$ 일 때, principal_unit_normal_vector(see [[단위법선벡터,unit_normal_vector]]) for a smooth curve in the plane is
(principal unit normal vector - 주 단위 법선벡터)
 $\vec{N}=\frac1{\kappa}\frac{d\vec{T}}{ds}$

Def. circle of curvature ([[곡률원,curvature_circle]])
 1. Tangent to the curve at the point
 1. Same curvature as the curve (i.e. radius = 1/κ)
 1. Center on the concave (or inner) side
}
----------
$\kappa=\frac{|y^{\prime\prime}|}{\left(1+(y^{\prime})^2\right)^{3/2}}$


= [[매개변수방정식,parametric_equation]]의 곡률 =
$\frac{f^{\prime\prime}g^{\prime}-f^{\prime}g^{\prime\prime}}{\left((f^{\prime})^2+(g^{\prime})^2\right)^{3/2}}$ 어쩌구


= 극좌표에서의 곡률 =
[[극좌표,polar_coordinate]]

 $x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta$
이면,
 $dx=\cos\theta dr-r\sin\theta d\theta$
 $dy=\sin\theta dr+r\cos\theta d\theta$
그런데 ds는 다음과 같으므로
 $ds=\sqrt{(\frac{dx}{du})^2+(\frac{dy}{du})^2}\cdot du$
 $=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$
여기에 위의 dx, dy를 대입하여 정리하면
 $=\sqrt{(dr)^2+r^2(d\theta)^2}$
 $=\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}\cdot d\theta$
 $=\sqrt{r^2+r^{\prime}^2}d\theta$

= Sub: ~곡률 ~curvature =
[[주곡률,principal_curvature]] $\kappa_1,\,\kappa_2$ - writing
 WtEn:principal_curvature
[[법곡률,normal_curvature]] - writing
 WtEn:normal_curvature
[[가우스_곡률,Gaussian_curvature]] $K=\kappa_1\kappa_2$ - writing
 Gaussian curvature
 WtEn:Gaussian_curvature
 https://mathworld.wolfram.com/GaussianCurvature.html
 KmsE:Pseudosphere WpEn:Pseudosphere 는 a surface with constant negative Gaussian curvature.
[[평균곡률,mean_curvature]] $H=\frac12(\kappa_1+\kappa_2)$ - writing
 WtEn:mean_curvature
[[측지곡률,geodesic_curvature]] - w
{
geodesic curvature

측지적 곡률 - KmsE:"geodesic curvature"
측지곡률 - 수백

WtEn:geodesic_curvature

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=6512722&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 측지곡률]]
...
"geodesic curvature"
Ggl:"geodesic curvature"
}
 [[total_geodesic_curvature]]
  {
  total geodesic curvature
  전측지곡률 - via KmsE:"total geodesic curvature"
  "total geodesic curvature"
  Ggl:"total geodesic curvature"

  Up: [[전곡률,total_curvature]] AND [[측지곡률,geodesic_curvature]] ? CHK
  }
[[전곡률,total_curvature]]
{
total curvature

WtEn:total_curvature

곡선 $X(t)$ 의 곡률 $\kappa(t)$ 의 적분 $\int_X \kappa {\rm ds}$ 를 $X$ 의 '''전곡률'''(total curvature)이라고 한다.
(김홍종 미적1+ p360)

https://mathworld.wolfram.com/TotalCurvature.html
 두 가지 뜻이 있다고.
WpEn:Total_curvature

... Google:전곡률

Up: [[곡률,curvature]] [[미분기하,differential_geometry]]
}

= Sub: 곡률~ =
곡률중심 곡률반지름 - see 물리학백과
[[중심,center]] [[반지름,radius]]

= etc =
tmp links en:
https://everything2.com/title/curvature - 사용자 'chomps'가 엄청난 길이의 writeup을 써놓음

mklink [[Frenet-Serret,TNB]]

----
Compare: [[이심률,eccentricity]], [[비틀림,torsion]]

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4390083&cid=60217&categoryId=60217 물리학백과: 곡률]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3404958&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 곡률]]
[[WpEn:Curvature]]
[[WpKo:곡률]]
https://mathworld.wolfram.com/Curvature.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Curvature
{
목차:
 1. [[곡선,curve]]의 곡률
 1. [[곡면,surface]]의 곡률
 1. [[리만_공간,Riemannian_space]]{ https://encyclopediaofmath.org/wiki/Riemannian_space }의 곡률
 1. [[부분다양체,submanifold]]의 곡률
}
[[Namu:곡률]]
[[Libre:곡률]]

(wikiadm. tmp) KmsK:곡률 KpsK:곡률