Sub: (이것들은 대체적으로 [[유클리드_공간,Euclidean_space]]의 의미를 확장한 추상적 공간. 대략, '모든 가능성의 [[집합,set]]' 정도의 뜻 같은데.... CHK 다만 공간은 집합보다 더 엄격한 뜻, 집합이 몇 가지 성질을 만족해야 공간이라 부를 수 있음)
 [[벡터공간,vector_space]] (=선형공간)
 [[행공간,row_space]], [[열공간,column_space]] : 각각 행벡터, 열벡터들로 [[생성,span]]한 벡터공간 ....CHK
 [[노름공간,normed_space]] - [[노름,norm]]이 정의된 벡터공간
  실노름공간 real normed space
  복소노름공간 complex normed space
  완비노름공간 complete normed space - [[완비성,completeness]]
 [[부분공간,subspace]]
  [[영공간,null_space]] (AKA nullspace, kernel)
 [[내적공간,inner_product_space]] [[WpKo:내적_공간]] [[WpEn:Inner_product_space]] curr page is [[내적,inner_product]]. 관련: Google:euclidean.inner.product 
  대충, Dot Product = (Euclidean Inner Product)이고, 내적 중 euclidean space의 내적인 특별한 경우가 [[스칼라곱,scalar_product,dot_product]]인 것 같은데 CHK
   맞는 것 같다 [[WpEn:Dot_product]] 처음 부분: "It is often called ''the'' inner product of Euclidean space, even though it is not the only inner product that can be defined on Euclidean space"
   (이것은 공간 개념과 "Euclidean inner product, dot product" 라는 표현을 보고)
  https://sasamath.com/blog/articles/linear-algebra-inner-product-spaces/
  [[Date(2022-12-26T02:35:40)]]
  [[내적,inner_product]]이 주어진 [[벡터공간,vector_space]]을 '''내적공간'''이라 한다. (김홍종)
  유향내적공간: 내적과 향이 같이 주어진 벡터공간. 내적공간이자 유향공간{ oriented_vector_space ? 향(orientation)이 주어진 공간. ... mklink: [[orientation]] tmp see: [[WpEn:Orientation_(vector_space)]] https://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceOrientation.html }. (김홍종)
 [[고유공간,eigenspace]] (이상 선형대수)
 [[표본공간,sample_space]] (확률·통계) : 확률실험(random experiment)의 모든 결과(outcome)를 모은 집합
 [[확률공간,probability_space]] (확률·통계)
 [[거리공간,metric_space]] (해석학·위상수학·측도론) - curr see [[거리,distance]]
 [[완비공간,complete_space]] - [[완비성,completeness]]만 있으면? 작성중
 [[표준공간,standard_space]] https://mathworld.wolfram.com/StandardSpace.html
 표준확률공간,standard_probability_space WpEn:Standard_probability_space https://encyclopediaofmath.org/wiki/Standard_probability_space
 [[폴란드_공간,Polish_space]] or '폴리시 공간' via KmsE:"Polish space"
  .... Google:Polish+space
  effective_Polish_space
   WpEn:Effective_Polish_space
   .... Ggl:"effective Polish space"
 Baire_space - writing; WtEn:Baire_space
  ... Google:Baire+space
 [[상태공간,state_space]]
 [[시공간,spacetime]] spacetime or timespace (물리)
  Sub: [[시공간대수,spacetime_algebra]] { [[WpKo:시공간_대수]] [[WpEn:Spacetime_algebra]] }
 [[텐서공간,tensor_space]] - writing
 [[sequential_space]] - w
 [[해석공간,analytic_space]] - w(rr)
 [[행렬공간,matrix_space]] - w
 [[볼록공간,convex_space]]
  [[국소볼록공간,locally_convex_space]]
 ADDHERE

----
||n차원              ||n차원 공간 n-dimensional space   ||n차원 기하학 n-dimensional geometry ||
||3D [[WpSp:3D]] [[WpKo:3차원]]    ||[[WpEn:Three-dimensional_space]] || ||
||4D [[WpSp:4D]] [[WpKo:4차원]]    ||[[WpEn:Four-dimensional_space]] ||[[MathWorld:Four-DimensionalGeometry]] ||

----
특히 [[측도,measure]]관련하여. // 위의 것들도 이렇게 적당히 나누어야/분류해야 하는데
 [[측도공간,measure_space]] - writing
  https://mathworld.wolfram.com/MeasureSpace.html (짧음)
   가측공간의 일종으로 nonnegative measure성질을 가진?
 [[가측공간,measurable_space]] - writing
  aka [[보렐_공간,Borel_space]] (EoM)
  https://mathworld.wolfram.com/MeasurableSpace.html (짧음)
   A [[집합,set]] considered together with the [[시그마대수,sigma-algebra]] on the set.
  https://ncatlab.org/nlab/show/measurable+space
사실 공간이란 개념 자체가 [[측도론,measure_theory]]에 밀접 (일단 mention만 해놓음, mkl)

= 공간 관련 주요 주제 Topics =
일반적인 의미의 공간과 관련된 페이지들.
[[위치,position]]
[[거리,distance]]
[[점,point]] → [[직선,line]] → [[평면,plane]] → ....
[[좌표계,coordinate_system]]
[[차원,dimension]]
[[장,field]]은 '''공간''' 내 위치를 독립변수로 받는 함수.
[[내적,inner_product]]
[[측도,measure]] / [[노름,norm]] / [[길이,length]] / [[거리,distance]] / ....
'''공간'''에 대하여 연구하는 학문을 [[기하학,geometry]]이라고 한다.[* 수학백과: 기하학]

= 유클리드 공간 Euclidean space =
(이것 중 3차원이 일반적인 의미의 공간, [[시간,time]]을 더하면 4차원 [[시공간,spacetime]]? chk)

[[유클리드_공간,Euclidean_space]]
n차원 유클리드 공간
{
기호: ℝ^^n^^
 (즉 [[실수,real_number]]와 관련)

유클리드 평행선 공리와 피타고라스 정리가 성립하는 n[[차원,dimension]] 공간.

[[자연수,natural_number]] $n$ 에 대하여 순서쌍(maybe [[튜플,tuple]])
 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$
의 집합을 $\mathbb{R}^n$ 으로 나타내고 $n$ '''차원 공간'''(n-dimensional space)이라고 부른다. i.e.
 $\mathbb{R}^n=\lbrace (a_1,a_2,\cdots,a_n) \;:\; a_i\in\mathbb{R},\, i=1,2,\cdots,n \rbrace$
여기서 $a_i$ 를 $i$ -번째 성분이라고 한다.
$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 은 $n$ 차원 공간에서 한 [[점,point]]을 나타내기도 하고 원점을 시점으로 하는 $n$ [[벡터,vector]]를 나타내기도 한다.
$n=1$ 이면 $\mathbb{R}^1$ 은 수직선을,
$n=2$ 이면 $\mathbb{R}^2$ 는 좌표평면을,
$n=3$ 이면 $\mathbb{R}^3$ 는 좌표공간을 나타낸다.
## from 서울대기초수학학습교재 p8

n차원 euclidean space에서 n개의 실수의 쌍 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 을 [[점,point]]이라 함.
두 점 $(x_1,x_2,\cdots,x_n),(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 사이 [[거리,distance]]를
 $\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}$
으로 정의한 공간.

직선은 1차원 유클리드공간
평면은 2차원 유클리드공간
공간은 3차원 유클리드공간

QQQ
 [[좌표,coordinate]], [[벡터,vector]], [[튜플,tuple]] ..과의 관련은?
 거리와 [[길이,length]]의 관계는? 여기선 같은 거?

from [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=1132857&cid=40942&categoryId=32223 두산백과]]
}

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Euclidean_space
https://citizendium.org/wiki/Euclidean_space

이걸 무한차원으로 확장하면 힐버트공간/힐베트르공간/Hilbert_space ?

= tmp; euclidean spac... =
n차원 유클리드 공간 기호: ℝ^^n^^
 즉 [[실수,real_number]]와 밀접.

일반적으로 유클리드기하학([[유클리드_기하학,Euclidean_geometry]] { [[해석기하학,analytic_geometry]]과 비교됨, curr goto [[기하학,geometry]] } )의 공리가 성립하는 유한 차원 공간. [[https://www.scienceall.com/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C%EA%B3%B5%EA%B0%84euclidean-space/ src]] 위상공간. [[https://namu.wiki/w/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C%20%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99 src]] 보통위상공간. T2공간.

n[[차원,dimension]] 유클리드 공간의 점은 n개의 실수의 순서쌍으로 표현. n-[[튜플,tuple]]?
이 때 두 점 $A(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 과 $B(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 사이 거리는
$\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\cdots+(a_n-b_n)^2}$
from [[https://ko.dict.naver.com/#/entry/koko/0ed9d39cd8664b6a900d868e4a5ed01a 국어사전]] CHK
See [[거리,distance]]

관련
유클리드_노름,Euclidean_norm
유클리드_거리,Euclidean_distance

= 기타 공간(TODO 이거 맨 위에 Sub랑 왜 분리됐는지 모르겠는데 merge) =
[[아핀공간,affine_space]] - w
[[거리공간,metric_space]]
[[Frechet_space]]
 프레셰_공간 Frechet_space Fréchet space
 https://mathworld.wolfram.com/FrechetSpace.html
 https://everything2.com/title/Fréchet+space or https://everything2.com/title/Fr%25C3%25A9chet+space
 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fréchet_space
 [[WpEn:Fréchet_space]]
[[바나흐_공간,Banach_space]] 완비성을 가진 노름공간? 작성중
 [[위너_공간,Wiener_space]]
[[르베그_공간,Lebesgue_space]] - [[푸리에_변환,Fourier_transform|FT]]이해에 필요, aka $L^p\;\textrm{space}$ ... ''L''^^''p''^^-space 등등. 이거 pagename 정하기가 까다로운데 ^을 넣어야 하나 말아야 하나, hyphen을 넣어야 하나 말아야 하나 tbd. Lp_space? Lp-space? 아무튼 그래서 르베그_공간 작성중. closely rel.: [[p-norm]](curr see [[노름,norm]])
[[슈바르츠_공간,Schwartz_space]] {
 '''Schwartz space 슈바르츠 공간''' - [[슈바르츠_함수,Schwartz_function]]{ '''Schwartz fuction 슈바르츠 함수''' [[MathWorld:SchwartzFunction]] }의 집합.

 See also
 [[WpEn:Vanish_at_infinity#Rapidly_decreasing]]

 [[MathWorld:SchwartzSpace]]
 [[WpKo:슈바르츠_공간]]
 [[WpEn:Schwartz_space]]
 Laurent_Schwartz
 }// Schwartz Space ... Ggl:"Schwartz space" Bing:"Schwartz space"
[[힐베르트_공간,Hilbert_space]] - 무한차원. [[유클리드_공간,Euclidean_space]]의 일반화. 작성중
[[민코프스키_공간,Minkowski_space]] - 물리 쪽.
 [[WtEn:Minkowski_space]]
 [[WpKo:민코프스키_공간]]
 [[WpEn:Minkowski_space]]
 MKL [[민코프스키_시공간,Minkowski_spacetime]]
  {
  '''Minkowski spacetime'''
  WpSp:Minkowski_spacetime
  Up: [[시공간,spacetime]]
  }// Minkowski spacetime .... Ggl:"Minkowski spacetime"
[[사영공간,projective_space]] - writing
[[함수공간,function_space]] - [[Srch:functional_space]]는 뭐지? 다른거? Google:functional.space+function.space Ggl:"function space functional space 차이" Ggl:"function space functional space difference"
 Ggl:"define: functional space"
[[위상공간,topological_space]] (위상수학, [[위상,topology]]에 대한)
 [[몫공간,quotient_space]]
[[위상공간,phase_space]] (물리/수리물리/역학, [[위상,phase]]에 대한)
{
//RR로 복사함, see RR.

// tmp from wpen
{
위상공간에서, [[계,system]]의 every [[자유도,degree_of_freedom]] (or [[파라미터,parameter]])는 다차원공간^^multidimensional space^^의 [[축,axis]]을 표현^^represent^^.
1-d system은 [[위상선,phase_line]], (위상직선?) - [[WpEn:Phase_line_(mathematics)]] 
2-d system은 [[위상평면,phase_plane]]. { https://mathworld.wolfram.com/PhasePlane.html [[WpEn:Phase_plane]] [[평면,plane]] }
위상공간궤도? phase_space_trajectory
}

mklink:
[[상태공간,state_space]]과의 관계는 저기 앞부분 참조.
[[Pfaffian_form]] { https://mathworld.wolfram.com/PfaffianForm.html }
[[phase_curve]] { https://mathworld.wolfram.com/PhaseCurve.html [[곡선,curve]] }
[[phase_flow]] { https://mathworld.wolfram.com/PhaseFlow.html [[흐름,flow]] }
[[phase_portrait]] { https://mathworld.wolfram.com/PhasePortrait.html }
[[phase_line]] { 위상선? 위상직선? .... w rr 위상평면,phase_plane } // curr see [[WpEn:Phase_line_(mathematics)]]

Twins:
[[WtEn:phase_space]] = https://en.wiktionary.org/wiki/phase_space
https://foldoc.org/phase+space - mathworld와 내용 같음
https://mathworld.wolfram.com/PhaseSpace.html
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=2304830&cid=60227&categoryId=60227 화학대사전: 위상 공간]] - [[통계역학,statistical_mechanics]], [[위상점,phase_point]] 언급
[[WpEn:Phase_space]]
[[WpKo:위상_공간_(물리학)]]
https://everything2.com/title/phase+space

Up: [[위상,phase]] [[공간,space]]
}
[[쌍대공간,dual_space]] WtEn:dual_space
{
쌍대공간 dual space (kms)

tmp link ko:
AKA 이중공간. [[함수,function]]([[변환,transformation]]) - [[벡터,vector]]가 대등한 자격으로 존재하는 공간. from https://m.blog.naver.com/spin898/221141425499

Up: [[쌍대성,duality]]?
}

= string metric 쪽에 대한 분류를 새로 만들까... =
[[해밍_공간,Hamming_space]] 등등. - rel [[해밍_거리,Hamming_distance]]

= 수학/물리 외 =
[[주소공간,address_space]] - 컴퓨터 쪽, 네트워크(rel. [[RR:네트워크주소,network_address]])/저장장치(disk/[[메모리,memory]]/...)/...
 Google:address.space
[[key_space]] - 컴퓨터 쪽 - 암호학, 자료구조(esp [[해시,hash]]/[[hashing]] - rel. [[hash_table]], [[해시함수,hash_function]]{ key_space(= universe of keys) $U$ 에서 $0\ldots m$ 으로 가는 함수 $h:\,U\to 0\ldots m$ } ), [[데이터베이스,database]], ...
 Google:key.space
[[tuple_space]] - curr at [[튜플,tuple]]
[[색공간,color_space]] or [[색공간,colorspace]] - [[색,color]] ... curr [[색,color#s-3]]
[[이름공간,namespace]]
[[semantic_space]] WpEn:Semantic_space
[[phonetic_space]] WpEn:Phonetic_space
[[conceptual_space]] WpEn:Conceptual_space

= 관련 표현: 공간-, 공간의, 공간적인 (spatial) =
ex. 공간 예측(spatial prediction) - [[예측,prediction]] Ggl:"spatial prediction"

= TODO =
merge from [[RR:공간,space]]

MKLINK
[[다양체,manifold]]
[[코호몰로지,cohomology]]

(수학 말고) 실생활의 단어 '''공간'''에서의 뉘앙스는
 * 비어있음, [[emptiness]], [[진공,vacuum]], [[void]], (물체/물질의 부재)....
과 조금 유사할 수 있다 (물리적인 '공간'은 대략 그 중간정도의 뉘앙스?)
rel. space는 우주라는 뜻도 있음 - 우주 [[universe]] [[cosmos]] ...?

----
Twins:
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Space (여러 뜻, disambiguation)
[[WpEn:Space_(mathematics)]]
 대략 [[집합,set]]에 [[구조,structure]]가 함께하는?

Up:
 [[수학,math]]
 어떤건 [[기하학,geometry]]?