관계,relation

정의:
집합,set A와 B 사이의 관계,relation := A×B(A와 B의 곱집합,product_set)의 부분집합,subset.

i.e.

두 집합 A, B 사이의 관계 R은 (the relation R between A and B), A × B의 부분집합이다.
R ⊂ A × B

TBD 이거 이항관계,binary_relation로 나중에 옮길지 아니면 놔두고 이어서 일반화를 서술할지... - 후자가 나으려나?
CHK AND DEL
{
집합,set 사이의 관계를 나타낸 것이 함수,function 맞음?
아니, 관계가 함수보다 더 일반적인 (ex. $y=\pm x$ 등을 포함한) 것 맞는지?
Cmp: 대응,correspondence 함수,function 관계,relation

연산,operation 연산자,operator와 매우 밀접한 듯 한데...

관계를 알아보기 위해 하는 행동이 비교,comparison??
관계중에서 대소관계{ =대소관계, Ggl:대소관계 Bing:대소관계 Ndict:대소관계 Ddg:대소관계 Daum:대소관계 }만?
No, 같다 다르다 관계도 있으니.
}

Sub:
// (무엇의? term? object? operand? argument?) 개수에 따라,
nullary_relation (0) WtEn:nullary_relation WpEn:Nullary_relation ?
unary_relation (1) WtEn:unary_relation WpEn:Unary_relation ?
이항관계,binary_relation (2) - 아래 section
동치관계,equivalence_relation - 아래 section
ternary_relation (3) WtEn:ternary_relation
syn. triadic_relation WtEn:triadic_relation
Sub: sign_relation - writing(local, rr 관계,relation )
sign relation
WpEn:Ternary_relation
https://planetmath.org/triadicrelation
http://oeis.org/wiki/Triadic_relation
https://en.wikiversity.org/wiki/Triadic_relation
n-ary_relation =,n-ary_relation . n-ary_relation (n)
n-ary relation
번역은? n항관계? Ggl:n항관계 Bing:n항관계
Ggl:n-ary relation
Bing:n-ary relation
(이상 https://planetmath.org/relation 의 Arbitrary Relations 참조)
(2022-09-04) 혹시 page 분리한다면 general_relation 이라 해도 될 듯. https://proofwiki.org/wiki/Definition:Relation/General_Definition "(Redirected from Definition: General Relation →[https]https://proofwiki.org/wiki/Definition:General_Relation)"
암튼 이것들은 명백히 이항관계에서 $n\ne 2$ 인 경우로 확장한 일반화,generalization
그리고 WpKo:관계_(수학) 에서 번역어 참조하면 됨

항등관계,identity_relation -아래맨밑

대소관계? - 이 분류/sub가 필요? chk
이건 이항관계,binary_relation의 일종인지?
순서,order 순서관계,order_relation { Namu:순서 관계 } 의 일종인지? chk
혹시 순서관계 중에서 측도,measure를 줄 수 있을때 가능한 관계인지? chk
크다 / 작다 / 같다 ... 이런 3분류 혹은
크다 / 작다 / 크거나같다 / 작거나같다 / 같다(equality) ... 이런 5분류... 다른 경우가 없는데 이유나 증명은 how?
(tip) A와 B의 대소관계를 파악하는 방법 중 하나: A−B의 부호,sign를 알아보면 됨. ex. 부등식,inequality A−B≥0이 항상 성립하면 A≥B, etc.
Google:대소관계

정수관계,integer_relation
{
정수,integer



incidence_relation - 작성중, 결합,incidence
cover_relation or covering_relation
{
//wpen
순서론order_theory(curr. 순서,order)에서,
부분순서집합,partially_ordered_set,poset의 covering relation이란, (중략) 이항관계,binary_relation이다. 보통 Hasse_diagram을 표현하기 위해 쓰인다.





[edit]

1. 정의 1[1]

두 집합 A, B가 있을 때, A에서 B로의 관계 R은,
a∈A, b∈B일 때 순서쌍 (a,b)의 모임.
i.e.
R은 A×B의 부분집합.
i.e.
A와 B의 cartesian product(곱집합,product_set) A×B의 부분집합,subset.
i.e.
A와 B의 관계란,(아닌가? A에서 B로의 관계라고 해야 옳은건지? 혹시 두 표현의 차이가 있다면 명확히 무엇인지? qqq) A와 B의 곱집합,product_set의 부분집합,subset.

A는 R의 정의역,domain.
B는 R의 공역,codomain.
aRb인 a가 존재하는 집합 B의 원소 b를 모두 모은 집합은 R의 상,image.

$(a,b)\in R$ 을 $aRb$ 로,
$(a,b)\not\in R$ 을 $a\cancel{R}b$ 로 나타냄.

함수는 관계의 일종. 관계 중 함수가 아닌 것이 있음.

[edit]

2. 정의 2[2]

예를 들어 R={(x,y)∈A×B|x=y2}이라 하면, x가 y의 제곱일 때만 (x,y)∈R이 성립.
즉 (x,y)∈R이라는 것은 두 원소 x와 y 사이에 'x는 y의 제곱이다'라는 관계가 있다는 것을 뜻함.
이렇게, 두 원소의 관계를 순서쌍,ordered_pair들의 집합으로 정의 가능.

두 집합,set A, B 에 대해 A×B의 부분집합,subset R을 A로부터 B로의 관계(relation)라고 부름.
보통 (a,b)∈R을 aRb 또는 aRb로 나타내며,
'a와 b는 R의 관계가 있다' 혹은 간단히 'a R b'로 읽음.

또는 R : A → B 로 표기..

// 이하 다음 정의됨... tbw
정의역,domain $\text{dom} R$
공역,codomain $B$
치역,range $\text{ran} R=\text{im} R$
역관계,inverse_relation $R^{-1}$
R-1 := {(y,x)∈B×A|(x,y)∈R}
이 때 R-1 : B → A (R-1은 'R inverse'로 읽음.)
R과 S의 합성관계 composition // 합성,composition
S∘R := {(x,z) | ∃y∈B : (x,y)∈R ∧ (y,z)∈S}
이 때 S∘R : A → C (S∘R은 A로부터 C로의 관계. S∘R은 'S 합성 R'로 읽음.)

2023-01-11

합성관계의 pagename은 합성관계,composition_relation?

관계합성,relation_composition(composition of relations)

[edit]

3. 이항관계


바로 위 section 1 사실 관계보다는 이항관계 얘기하는 듯....
바로 아래 section n항관계에서 n=2인 특별한 경우임.

WpKo:이항관계
순서쌍,ordered_pair으로 이루어지는 집합,set으로 정의. 혹은,
두 집합,set의 곱집합,product_set(=Cartesian_product)의 부분집합,subset으로 정의하기도 함.
일부 공리적 집합론에서 관계는 모임,class으로 확장된다고.
WpEn:Binary_relation

Sub: 이항관계,binary_relation
{
Sub: 대소관계
{
trichotomy
  • 크다
  • 같다
  • 작다
수,number의 값,value 관련인데
두 operands 사이 차이,difference의 부호,sign에 따라...
실수,real_number까지는 성립하지만 복소수,complex_number에선 성립하지 않는

이건 분명 부등식,inequality에 관련..
}

tbw- 이항연산,binary_operation과의 관련성 서술

집합 A, B 에 대해 A에서 B로 가는 관계를 이항관계라 함.
이항관계 R은 A×B의 부분집합,subset들임.
(모든???) x∈A와 y∈B에 대해 순서쌍 (x,y)∈R이면 x는 y에 대해서 R의 관계에 있다고 하며, xRy로 표시.
또 순서쌍 (x,y)∉R이면 $x\cancel{R}y$ (xRy에서 R에 사선 취소선을 그은 것, xRy 비슷) 로 쓰고 x는 y에 대해 R의 관계가 없다고 함.
(박두순 이산수학 4.2 p152)


aka 이진관계?
}

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4. n항관계

바로 위 section 이항관계는, n항관계에서 n=2인 특별한 경우임.

WpEn:Finitary_relation에서: 'n-ary relation, an n-adic relation or a relation of degree n'
see also: arity

[edit]

5. 동치관계 equivalence relation : 반사관계 and 대칭관계 and 추이관계


공집합이 아닌 집합 S 위에서 관계 ~가 정의되었고, S의 임의의 원소, a, b, c에 대해 다음 세 조건을 만족하면 동치관계(equivalence relation)라고 한다.
a~a ~는 반사성
a~b ⇒ b~a ~는 대칭성
a~b, b~a ⇒ a~c ~는 추이성

// 10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리 p204
TBW: 동치류(equivalence class)와의 관계 생략했는데 나중에 서술. - 동치류,equivalence_class
정수론,number_theory의 modulo 연산에서 나왔는데 관련이?

// from WpKo 동치관계
{
동치류,equivalence_class 언급.
몫집합,quotient_set 언급. 동치류들의 집합이라 함.
see also에 집합의_분할,set_partition도 언급됨.
}

아무튼 (relation 말고) equivalence class/set과 분할,partition은 관련 있음.

해석학책 p. 22 에서...
A가 집합이고 R이 A에서의 관계일 때 (i.e. A로부터 A로의 관계일 때) 다음과 같이 정의

R이 반사적,reflexive : ∀x, xRx 를 만족시키는 것
R이 대칭적,symmetric : xRy ⇔ yRx 를 만족시키는 것
R이 추이적,transitive : xRy ∧ yRz ⇒ xRz 를 만족시키는 것

반사적이고 대칭적이며 추이적인 관계를 동치관계(equivalent relation) 라고 부른다.

∀x∈N x=x 등호는 반사관계(reflexive)
∀x,y∈N x=y ⇒ y=x 등호는 대칭관계(symmetric)
∀x,y,z∈N x=y, y=z ⇒ x=z 등호는 추이관계(transitive)

현재 내용 있는 곳 - 행동치,row_equivalence

fork to:
동치관계,equivalence_relation
{
AKA equivalent relation ????? 아닐듯?



from https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/binaryRelation.html ..... 짧은 정의들. 나중에 적절한 위치로.


[edit]

6. 반사 / 대칭 / 추이 / 반대칭 / 비대칭 / ...




inequality_relation
{
같지않음관계, 비 동등 관계?

그러고보니 2021-12-21 현재 Google:equality.relation하면 자동으로 equivalence relation 결과를 제시한다. 동치관계,equivalence_relation. 저 둘 완전히 같은거? chk

kms에 없음

네이버 웹수집 정의 보면 '부등식관계' 제시되는데... 부등식,inequality과? - 아닌것같고
밑에 nLab에서도 언급. 저런 ambiguity가 있음. 아님.

같지않음? ≠ $\ne \neq$ !=(C/C++) 관계를 말하는 것?
yes.

https://ncatlab.org/nlab/show/inequality relation "irreflexive and symmetric"
}
[edit]

7. 동치류 equivalence_class

$[x]_R$
p23 참조.


[edit]

8. 상집합 quotient set

$A/R$
p23 참조.


txt작성중

[edit]

9. 대각관계 diagonal relation

[edit]

10. 반대칭적 antisymmetric

p23 위 참조
R이 반대칭적이라는 것은 xRy ∧ yRx ⇒ x=y 를 만족한다는 것.

명사형 antisymmetry? - writing

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11. 순서관계 order relation

반사적이며 추이적이며 반대칭적인 관계.





//// 이하 예전내용 ////
부등호와 관계가 같이 나오면 순서,order가 언급될 차례?
그럼 순서는 관계의 일종?
이것과 비슷한 내용이 순서,order의 성질
trichotomy: 수 x와 y 사이에 다음 중 하나만 성립
x<y or x=y or x>y
transitivity
x<y and y<z ⇒ x<z
addition
x<y ⇔ x+z<y+z
multiplication
z>0: x<y ⇔ xz<yz
z<0: x<y ⇔ xz>yz
from Varberg Calc. p5 사이드에 The Order Properties

ordered_pairs에서 relation의 아이디어가 나오며,
relation between x and y:
$xRy$
정의역,domain:
$\operatorname{dom}R=\lbrace x: \textrm{for some }y(xRy)\rbrace$
치역,range:
$\operatorname{ran}R=\lbrace y: \textrm{for some }x(xRy)\rbrace$

from https://pabloinsente.github.io/intro-linear-algebra Relations

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12. 항등관계 identity relation

항등관계,identity_relation
{
A를 임의의 집합이라 하자. 이 때 A에 관한 관계 R={(a,a)|∀a∈A}를 A에 관한 항등관계라고 한다.
(박두순 이산수학 4.2 p153)

QQQ 항등관계는 이진관계의 일종??

QQQ 별도의 페이지가 필요한지?


https://ncatlab.org/nlab/show/identity relation - 2022-02-01 현재 https://ncatlab.org/nlab/show/equality 으로 redirected. Section 4. In set theory 에 언급.
대충 set_theory에선 equality_relation 과 동의어라는데... chk later.

... Google:identity.relation


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13. 관계행렬 relation matrix

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14. bilinear relation


[edit]

15. converse_relation = transpose relation

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16. 관계연산자

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17. relation theory 관계론? 관계이론?

[edit]

18. relation reduction, relation reducibility

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19. triadic relation, ternary relation

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19.1. sign relation

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20. polyadic relation, finitary relation

polyadic_relation, finitary_relation
이글의 주제 그 자체. n항관계? 다중관계?? 위에 Sub: 에 n-ary relation 이게 이거? CHK
English Wikipedia url은 이거.
WpEn:Finitary_relation

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21. semantic relation

semantic relation
Rel
semantics

"semantic relation"
Ggl:semantic relation

[edit]

21.1. is-a relation

[edit]

22. QQQ

'인과관계'라 불리는 causality(다른 번역들: 인과, 인과율, 인과법칙, ...)는 여기서 말하는 관계인가 아닌가?

[edit]

23. Etc: 다른 분야

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  • [1] 수학백과
  • [2] 맛있는해석학4e 1.3 p20