#noindex
정의:
[[집합,set]] A와 B 사이의 '''관계,relation''' := A×B(A와 B의 [[곱집합,product_set]])의 [[부분집합,subset]].

i.e.

두 집합 A, B 사이의 '''관계''' R은 (the '''relation''' R between A and B), A × B의 부분집합이다.
 R ⊂ A × B

''TBD 이거 [[이항관계,binary_relation]]로 나중에 옮길지 아니면 놔두고 이어서 일반화를 서술할지... - 후자가 나으려나?''
----
CHK AND DEL
{
[[집합,set]] 사이의 '''관계'''를 나타낸 것이 [[함수,function]] 맞음?
 아니, 관계가 함수보다 더 일반적인 (ex. $y=\pm x$ 등을 포함한) 것 맞는지?
  Cmp: [[대응,correspondence]] [[함수,function]] '''[[관계,relation]]'''

[[연산,operation]] [[연산자,operator]]와 매우 밀접한 듯 한데...

관계를 알아보기 위해 하는 행동이 [[비교,comparison]]??
 관계중에서 [[대소관계]]{ =대소관계, Ggl:대소관계 Bing:대소관계 Ndict:대소관계 Ddg:대소관계 Daum:대소관계 }만?
  No, 같다 다르다 관계도 있으니.
}

Sub:
 // (무엇의? term? object? operand? argument?) 개수에 따라,
 nullary_relation (0) WtEn:nullary_relation WpEn:Nullary_relation ?
 unary_relation (1) WtEn:unary_relation WpEn:Unary_relation ?
 [[이항관계,binary_relation]] (2) - 아래 section
  [[동치관계,equivalence_relation]] - 아래 section
 [[ternary_relation]] (3) WtEn:ternary_relation
  syn. [[triadic_relation]] WtEn:triadic_relation
  Sub: [[sign_relation]] - writing(local, rr 관계,relation )
   sign relation
  [[WpEn:Ternary_relation]]
  https://planetmath.org/triadicrelation
  http://oeis.org/wiki/Triadic_relation
  https://en.wikiversity.org/wiki/Triadic_relation
 [[n-ary_relation]] =,n-ary_relation . n-ary_relation (n)
  n-ary relation
  번역은? n항관계? Ggl:"n항관계" Bing:"n항관계"
  Ggl:"n-ary relation"
  Bing:"n-ary relation"
 (이상 https://planetmath.org/relation 의 Arbitrary Relations 참조)
 ([[Date(2022-09-03T19:32:00)]]) 혹시 page 분리한다면 general_relation 이라 해도 될 듯. https://proofwiki.org/wiki/Definition:Relation/General_Definition "(Redirected from Definition: General Relation ,,→[[https://proofwiki.org/wiki/Definition:General_Relation]],,)"
 암튼 이것들은 명백히 이항관계에서 $n\ne 2$ 인 경우로 확장한 [[일반화,generalization]]
 그리고 [[WpKo:관계_(수학)]] 에서 번역어 참조하면 됨

 [[항등관계,identity_relation]] -아래맨밑

 대소관계? - 이 분류/sub가 필요? chk
  이건 [[이항관계,binary_relation]]의 일종인지?
  [[순서,order]] [[순서관계,order_relation]] { Namu:순서%20관계 } 의 일종인지? chk
  혹시 순서관계 중에서 [[측도,measure]]를 줄 수 있을때 가능한 관계인지? chk
  크다 / 작다 / 같다 ... 이런 3분류 혹은
  크다 / 작다 / 크거나같다 / 작거나같다 / 같다([[equality]]) ... 이런 5분류... 다른 경우가 없는데 이유나 증명은 how?
  (tip) A와 B의 '''대소관계'''를 파악하는 방법 중 하나: A−B의 [[부호,sign]]를 알아보면 됨. ex. [[부등식,inequality]] A−B≥0이 항상 성립하면 A≥B, etc.
  Google:대소관계

 [[정수관계,integer_relation]]
{
[[정수,integer]]

https://mathworld.wolfram.com/IntegerRelation.html

integer_relation_algorithm
WpEn:Integer_relation_algorithm
 = https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_relation_algorithm
 [[subset_sum_problem]]을 푸는 데 쓰일 수 있다.

... Google:Integer+Relation
}

 incidence_relation - 작성중, [[결합,incidence]]
 cover_relation or covering_relation
{
//wpen
순서론order_theory(curr. [[순서,order]])에서,
[[부분순서집합,partially_ordered_set,poset]]의 '''covering relation'''이란, (중략) [[이항관계,binary_relation]]이다. 보통 [[Hasse_diagram]]을 표현하기 위해 쓰인다.

mklink
[[,directed_graph]]

Twins:
https://mathworld.wolfram.com/CoverRelation.html
[[WpEn:Covering_relation]]
https://ncatlab.org/nlab/show/covering+relation

Up: [[관계,relation]] > [[이항관계,binary_relation]]
}

<<tableofcontents>>

= 정의 1[* 수학백과] =
두 집합 A, B가 있을 때, A에서 B로의 '''관계''' R은,
 a∈A, b∈B일 때 순서쌍 (a,b)의 모임.
i.e.
 R은 A×B의 부분집합.
i.e.
 A와 B의 cartesian product([[곱집합,product_set]]) A×B의 [[부분집합,subset]].
i.e.
 A와 B의 '''관계'''란,(''아닌가? A에서 B로의 관계라고 해야 옳은건지? 혹시 두 표현의 차이가 있다면 명확히 무엇인지? qqq'') A와 B의 [[곱집합,product_set]]의 [[부분집합,subset]].

A는 R의 [[정의역,domain]].
B는 R의 [[공역,codomain]].
aRb인 a가 존재하는 집합 B의 원소 b를 모두 모은 집합은 R의 [[상,image]].

$(a,b)\in R$ 을 $aRb$ 로,
$(a,b)\not\in R$ 을 $a\cancel{R}b$ 로 나타냄.

함수는 관계의 일종. 관계 중 함수가 아닌 것이 있음.

= 정의 2[* 맛있는해석학4e 1.3 p20] =
예를 들어 R={(x,y)∈A×B|x=y^^2^^}이라 하면, x가 y의 제곱일 때만 (x,y)∈R이 성립.
즉 (x,y)∈R이라는 것은 두 원소 x와 y 사이에 'x는 y의 제곱이다'라는 '''관계'''가 있다는 것을 뜻함.
이렇게, 두 원소의 '''관계'''를 [[순서쌍,ordered_pair]]들의 집합으로 정의 가능.

두 [[집합,set]] A, B 에 대해 A×B의 [[부분집합,subset]] R을 A로부터 B로의 '''관계'''(relation)라고 부름.
보통 (a,b)∈R을 ,,a,,R,,b,, 또는 aRb로 나타내며,
'a와 b는 R의 관계가 있다' 혹은 간단히 'a R b'로 읽음.

또는 R : A → B 로 표기..

// 이하 다음 정의됨... tbw
[[정의역,domain]] $\text{dom} R$
[[공역,codomain]] $B$
[[치역,range]] $\text{ran} R=\text{im} R$
[[역관계,inverse_relation]] $R^{-1}$
 R^^-1^^ := {(y,x)∈B×A|(x,y)∈R}
 이 때 R^^-1^^ : B → A (R^^-1^^은 'R inverse'로 읽음.)
R과 S의 [[합성관계]] composition // [[합성,composition]]
 S∘R := {(x,z) | ∃y∈B : (x,y)∈R ∧ (y,z)∈S}
 이 때 S∘R : A → C (S∘R은 A로부터 C로의 관계. S∘R은 'S 합성 R'로 읽음.)

[[Date(2023-01-10T21:59:34)]]

합성관계의 pagename은 [[합성관계,composition_relation]]?

[[관계합성,relation_composition]](composition of relations)

= 이항관계 =
''TODO FORK TO [[이항관계,binary_relation]]''

''바로 위 section 1 사실 관계보다는 이항관계 얘기하는 듯....''
''바로 아래 section n항관계에서 n=2인 특별한 경우임.''

[[WpKo:이항관계]]
 [[순서쌍,ordered_pair]]으로 이루어지는 [[집합,set]]으로 정의. 혹은,
 두 [[집합,set]]의 [[곱집합,product_set]](=Cartesian_product)의 [[부분집합,subset]]으로 정의하기도 함.
 일부 공리적 집합론에서 '''관계'''는 [[모임,class]]으로 확장된다고.
[[WpEn:Binary_relation]]

Sub: [[이항관계,binary_relation]]
{
Sub: [[대소관계]]
{
trichotomy
 * 크다
 * 같다
 * 작다
[[수,number]]의 [[값,value]] 관련인데
두 operands 사이 [[차이,difference]]의 [[부호,sign]]에 따라...
[[실수,real_number]]까지는 성립하지만 [[복소수,complex_number]]에선 성립하지 않는

이건 분명 [[부등식,inequality]]에 관련..
}

tbw- [[이항연산,binary_operation]]과의 관련성 서술

집합 A, B 에 대해 A에서 B로 가는 관계를 '''이항관계'''라 함.
이항관계 R은 A×B의 [[부분집합,subset]]들임.
(모든???) x∈A와 y∈B에 대해 순서쌍 (x,y)∈R이면 x는 y에 대해서 R의 관계에 있다고 하며, xRy로 표시.
또 순서쌍 (x,y)∉R이면 $x\cancel{R}y$ (xRy에서 R에 사선 취소선을 그은 것, x~~R~~y 비슷) 로 쓰고 x는 y에 대해 R의 관계가 없다고 함.
(박두순 이산수학 4.2 p152)

twin
https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/binaryRelation.html
https://pub.mearie.org/이항관계
https://mathworld.wolfram.com/BinaryRelation.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Binary_relation

aka '''이진관계'''?
}

= n항관계 =
''바로 위 section 이항관계는, '''n항관계'''에서 n=2인 특별한 경우임.''

[[WpEn:Finitary_relation]]에서: 'n-ary relation, an n-adic relation or a relation of degree n'
see also: [[arity]]

= 동치관계 equivalence relation : 반사관계 and 대칭관계 and 추이관계 =
TODO MOVE TO [[동치관계,equivalence_relation]]

공집합이 아닌 집합 S 위에서 '''관계''' ~가 정의되었고, S의 임의의 원소, a, b, c에 대해 다음 세 조건을 만족하면 '''동치관계'''(equivalence relation)라고 한다.
||a~a            ||~는 반사성 ||
||a~b ⇒ b~a      ||~는 대칭성 ||
||a~b, b~a ⇒ a~c ||~는 추이성 ||

// 10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리 p204
TBW: 동치류(equivalence class)와의 관계 생략했는데 나중에 서술. - [[동치류,equivalence_class]]
[[정수론,number_theory]]의 modulo 연산에서 나왔는데 관련이?

// from WpKo 동치관계
{
[[동치류,equivalence_class]] 언급.
[[몫집합,quotient_set]] 언급. 동치류들의 집합이라 함.
see also에 [[집합의_분할,set_partition]]도 언급됨.
}

아무튼 (relation 말고) equivalence class/set과 [[분할,partition]]은 관련 있음.

----
해석학책 p. 22 에서...
A가 집합이고 R이 A에서의 관계일 때 (i.e. A로부터 A로의 관계일 때) 다음과 같이 정의

R이 [[반사적,reflexive]] : ∀x, xRx 를 만족시키는 것
R이 [[대칭적,symmetric]] : xRy ⇔ yRx 를 만족시키는 것
R이 [[추이적,transitive]] : xRy ∧ yRz ⇒ xRz 를 만족시키는 것

반사적이고 대칭적이며 추이적인 관계를 '''동치관계'''(equivalent relation) 라고 부른다.

----
||∀x∈N     || x=x ||등호는 반사관계(reflexive) ||
||∀x,y∈N   || x=y ⇒ y=x ||등호는 대칭관계(symmetric) ||
||∀x,y,z∈N || x=y, y=z ⇒ x=z ||등호는 추이관계(transitive) ||

'''''현재 내용 있는 곳 - [[행동치,row_equivalence]]'''''

fork to:
[[동치관계,equivalence_relation]]
{
AKA equivalent relation ????? 아닐듯? 

tmp bmks en
https://cs.odu.edu/~toida/nerzic/content/relation/eq_relation/eq_relation.html

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338488&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 동치 관계]]
[[WpKo:동치관계]]
[[WpEn:Equivalence_relation]]
https://ncatlab.org/nlab/show/equivalence+relation
https://mathworld.wolfram.com/EquivalenceRelation.html
https://planetmath.org/equivalencerelation

Up:
 [[동치,equivalence]]
 [[관계,relation]]? or [[이항관계,binary_relation]] (curr goto [[관계,relation#s-2]]) ?

}
----
from https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/binaryRelation.html ..... 짧은 정의들. 나중에 적절한 위치로.

https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/reflexive.html
https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/symmetric.html
https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/transitive.html
https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/antisymmetric.html
https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/irreflexive.html

= 반사 / 대칭 / 추이 / 반대칭 / 비대칭 / ... =
[[반사관계,reflexive_relation]]
[[대칭관계,symmetric_relation]]
[[추이관계,transitive_relation]]
[[반대칭관계,antisymmetric_relation]]
[[비대칭관계,asymmetric_relation]] - 이상 5개 writing

irreflexive_relation
{
비반사적 관계 irreflexive relation
 via kms: ( https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=irreflexive )
https://ncatlab.org/nlab/show/irreflexive+relation

Google:irreflexivity ?
}

inequality_relation
{
같지않음관계, 비 동등 관계?

그러고보니 [[Date(2021-12-21T00:39:20)]] 현재 Google:equality.relation 하면 자동으로 equivalence relation 결과를 제시한다. [[동치관계,equivalence_relation]]. 저 둘 완전히 같은거? chk

kms에 없음

네이버 웹수집 정의 보면 '부등식관계' 제시되는데... [[부등식,inequality]]과? - 아닌것같고
 밑에 nLab에서도 언급. 저런 ambiguity가 있음. 아님.

같지않음? ≠ $\ne \neq$ `!=`(C/C++) 관계를 말하는 것?
 yes.

https://ncatlab.org/nlab/show/inequality+relation "irreflexive and symmetric"
}
= 동치류 equivalence_class =
$[x]_R$
p23 참조.

[[동치류,equivalence_class]]
txt작성중

= 상집합 quotient set =
$A/R$
p23 참조.

[[상집합,quotient_set]]

txt작성중

= 대각관계 diagonal relation =
[[대각관계,diagonal_relation]]
p22 1.3.7 참조


= 반대칭적 antisymmetric =
p23 위 참조
R이 반대칭적이라는 것은 xRy ∧ yRx ⇒ x=y 를 만족한다는 것.

명사형 [[antisymmetry]]? - writing

= 순서관계 order relation =
반사적이며 추이적이며 반대칭적인 관계.

[[순서관계,order_relation]] - writing

rel. [[순서,order]]

tmp bmks en
https://cs.odu.edu/~toida/nerzic/content/relation/order/order.html


----
----
//// 이하 예전내용 ////
----
부등호와 '''관계'''가 같이 나오면 [[순서,order]]가 언급될 차례?
 그럼 순서는 관계의 일종?
----
이것과 비슷한 내용이 [[순서,order]]의 성질
trichotomy: 수 x와 y 사이에 다음 중 하나만 성립
 x<y or x=y or x>y
transitivity
 x<y and y<z ⇒ x<z
addition
 x<y ⇔ x+z<y+z
multiplication
 z>0: x<y ⇔ xz<yz
 z<0: x<y ⇔ xz>yz
from Varberg Calc. p5 사이드에 The Order Properties

----
ordered_pairs에서 '''relation'''의 아이디어가 나오며,
relation between x and y:
 $xRy$
[[정의역,domain]]:
 $\operatorname{dom}R=\lbrace x: \textrm{for some }y(xRy)\rbrace$
[[치역,range]]:
 $\operatorname{ran}R=\lbrace y: \textrm{for some }x(xRy)\rbrace$

from https://pabloinsente.github.io/intro-linear-algebra Relations

= 항등관계 identity relation =
[[항등관계,identity_relation]]
{
A를 임의의 집합이라 하자. 이 때 A에 관한 관계 R={(a,a)|∀a∈A}를 A에 관한 '''항등관계'''라고 한다.
(박두순 이산수학 4.2 p153)

QQQ 항등관계는 이진관계의 일종??

QQQ 별도의 페이지가 필요한지?

MKLINK
[[항등함수,identity_function]]

https://ncatlab.org/nlab/show/identity+relation - ''[[Date(2022-01-31T22:15:15)]] 현재 https://ncatlab.org/nlab/show/equality 으로 redirected. Section 4. In set theory 에 언급.''
 대충 set_theory에선 equality_relation 과 동의어라는데... chk later.

... Google:identity.relation

Up: [[항등성,identity]] [[관계,relation]]
}

= 관계행렬 relation matrix =
[[관계행렬,relation_matrix]]
{
QQQ [[그래프,graph]]의 표현인 [[인접행렬,adjacency_matrix]] 이 이것의 일종? chk

Up: [[관계,relation]] [[행렬,matrix]]
}

= bilinear relation =
[[,bilinear_relation]] 작성중

= converse_relation = transpose relation  =
[[converse_relation]] = [[transpose_relation]]
writing; curr see WpEn:Converse_relation
rel. [[전치,transpose]] [[전치행렬,transpose_matrix]]

= 관계연산자 =
[[관계연산자,relational_opeator]] tbw

= relation theory 관계론? 관계이론? =
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Relation_Theory
https://oeis.org/wiki/Relation_theory
https://en.wikiversity.org/wiki/Relation_theory

... Google:relation+theory

= relation reduction, relation reducibility =
[[relation_reduction]] and [[relational_reducibility]]

https://oeis.org/wiki/Relation_reduction

= triadic relation, ternary relation =
[[triadic_relation]] or [[ternary_relation]]

https://oeis.org/wiki/Triadic_relation

== sign relation ==
[[부호,sign]]?

[[sign_relation]]

https://oeis.org/wiki/Sign_relation

= polyadic relation, finitary relation =
[[polyadic_relation]], [[finitary_relation]]
이글의 주제 그 자체. n항관계? 다중관계?? 위에 Sub: 에 n-ary relation 이게 이거? CHK
English Wikipedia url은 이거.
WpEn:Finitary_relation

= semantic relation =
semantic relation
Rel
[[semantics]]

"semantic relation"
Ggl:"semantic relation"

== is-a relation ==
is-a relation
http://www.gabormelli.com/RKB/Is-A_Relation

Rel
[[semantics]]

"is-a relation"
Ggl:"is-a relation"

Up: [[이항관계,binary_relation]]? 항상?

= QQQ =
'인과관계'라 불리는 causality(다른 번역들: 인과, 인과율, 인과법칙, ...)는 여기서 말하는 '''관계'''인가 아닌가?

= Etc: 다른 분야 =
[[RR:database]]에서의 관계 및 relation에 대해:
See [[RR:관계relationship]] and [[RR:릴레이션relation]]
See also [[RR:관계데이터연산relationship_data_operation]] - [[RR:관계대수relational_algebra]](절차적) [[RR:관계해석relational_calculus]](비절차적)

relationship 과의 의미차가 있는지? 있다면 뭔지?
 Ggl:"relationship relation meaning difference"

[[철학,philosophy]]에서 ontology는 being들간의 relationship에 대한 것. - [[존재론,ontology]] [[온톨로지,ontology]]

----
Twins:
http://foldoc.org/relation
https://mathworld.wolfram.com/Relation.html
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338410&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 관계]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Relation
https://ncatlab.org/nlab/show/relation

[[Libre:관계]]
[[Namu:관계]]
https://math.fandom.com/wiki/Relation
http://oeis.org/wiki/Relations and http://oeis.org/wiki/Relation (둘이 다름...) and http://oeis.org/wiki/Relation_theory
https://planetmath.org/relation
[[WpSimple:Relation_(mathematics)]]
[[WpKo:관계_(수학)]]
위 둘의 interwiki는 아래 Finitary_relation 으로 되어 있음, chk
[[WpEn:Finitary_relation]]
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Relation
https://johngrib.github.io/wiki/relations/ (Rosen 이산수학)
[[https://en.wikiversity.org/wiki/Relation_(mathematics)]]
https://oeis.org/wiki/Relation

Up: [[해석학,analysis]] <- 대소관계부터 쓰기 시작해서 이걸 썼던가?
 물론 [[논리,logic]] [[이산수학,discrete_math]] [[대수학,algebra]] .....etc. 과도 관련