교류회로,AC_circuit


$\mathcal{E}=\mathcal{E}_0\sin(\omega t)$

$i=I_0\sin(\omega t)$



[edit]

1. Basics

Pavg = 1/2 × (Ppeak)
(Average power = 1/2 × Peak power)
i.e.
Pavg = Ppeak / 2 … ①

Ppeak = Vpeak × Ipeak … ②

Vpeak = Ipeak × R
Ipeak = Vpeak / R … ③

②, ③에서
Ppeak = (Vpeak2) / R … ④
또한
Ppeak = Ipeak2 × R … ⑤

①, ④에서
Pavg = (Vpeak2) / (2R)

①, ⑤에서
Pavg = (Ipeak2 × R) / 2

그래서 회로의 전력,power은
P = V2 / R P = I2 R
DC circuit P = VDC2 / R P = IDC2 R
AC circuit Pavg = (Vpeak2) / (2R) Pavg = (Ipeak2 × R) / 2

AC circuit과 DC circuit을 비교하고 두 회로의 power가 같다고 가정하면
위 표의 왼쪽 column에서 (두 P가 같다고 가정)
(VDC2) / R = (Vpeak2) / (2R) 이므로
VDC = (Vpeak) / √2
오른쪽 column에서 (두 P가 같다고 가정)
IDC2 R = (Ipeak2 × R) / 2 이므로
IDC = Ipeak / √2

이 두 결과는 RMS관련? — (DC회로의 voltage, current의 RMS값 ↔ AC회로의 peak값)은 이런 관계. chk
VRMS = (Vpeak) / √2
IRMS = Ipeak / √2

[edit]

2. R이 있는 교류회로

전압과 전류의 위상,phase이 같음.
$I=\frac{V}{R}=\frac{V_m}{R}\sin\omega t=I_m\sin\omega t$
에서, 전류는 전압보다
$\frac1{R}$
만큼 진폭이 줄어든 상태.

전력,power을 소비함.
Vrms = Irms R
(R은 f에 대해 일정, f와 무관)
V(t) = V0 sin(ωt)
I(t) = I0 sin(ωt)


[edit]

3. L이 있는 교류회로

유도계수(인덕턴스,inductance) L인 유도기,inductor(코일)이 있는 회로에 교류가 흐르면 코일을 지나는 자속,magnetic_flux이 주기적으로 변한다. 그러면 자속 변화를 방해하는 방향으로 역기전력,counter_emf이 생겨서 전류의 흐름을 방해함.

최대 전압일 때 전류는 0이 됨.

전압의 위상이 전류의 위상보다 90˚( $\frac{\pi}2$ ) 앞섬.

역기전력의 크기는 코일의 L과 주파수 f에 비례.

코일의 유도리액턴스,inductive_reactance XL은
$X_L=\omega L=2\pi f L$
이며 단위는 저항과 같이 옴을 사용.

유도성리액턴스를 써서 옴_법칙,Ohm_law을 나타내면,
$I=\frac{V}{X_L}=\frac{V}{\omega L}=\frac{V}{2\pi fL}$

L이 교류 흐름을 방해하지만, R 교류회로와 달리 전력,power을 소비하지 않음. 자기장 에너지로 저장되었다가 다시 복귀.
Vrms = Irms XL
XC = ω L

Inductive reactance 리액턴스,reactance (XL)과 frequency(f)는 비례
높은 frequency에서
  • XL은 증가
  • 전류는 감소

V(t) = V0 sin(ωt)
I(t) = I0 sin(ωt - π/2)
$V(t)=L\frac{\Delta I}{\Delta t}$
$\Delta I = \frac1{L}V(t)\Delta t$
$I=\frac1{L}\sum V(t)\Delta t$
$=\frac1{\omega L}\sum V_0\sin(\omega t)\Delta(\omega t)$
$=-\frac{V_0}{\omega L}\cos(\omega t)$
$=\frac{V_0}{\omega L}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$


[edit]

4. C가 있는 교류회로

C가 최대로 충전된 순간 전압은 최대가 되고 전류는 0이 됨.
C가 충전되지 않은, 즉 전압이 0일 때 전류는 최대가 됨.

전압의 위상이 전류보다 $\frac{\pi}2$ 만큼 늦어짐.

교류에 대한 저항을 용량리액턴스,capacitive_reactance(XC)라 하며
$X_C=\frac1{\omega C}=\frac1{2\pi fC}$ (단위 Ω)
XC를 써서 옴의 법칙을 나타내면
$I=\frac{V}{X_C}=\frac{V}{\frac1{\omega C}}=\frac{V}{\frac1{2\pi fC}}$

R 교류회로와 달리 전력,power을 소비하지 않음. 에너지가 전기장,electric_field에 저장되었다가 다시 복귀하기 때문.

Capacitive reactance 리액턴스,reactance (XC, 단위 ohms)는 frequency(f, 단위 Hz)와 반비례
Vrms = Irms XC
XC = 1/(ωC)

주파수가 커지면:
  • XC는 감소
  • 전류는 증가

V(t) = V0 sin(ωt)
I(t) = I0 sin(ωt + π/2)
Q(t) = C V0 sin(ωt)
$I(t)=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\omega CV_0 \cos (\omega t)$
$=\frac{V_0}{1/(\omega C)}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)$


[edit]

5. RLC 교류회로

$V_{\rm rms}^2=V_{R}^2+(V_L-V_C)^2$
$=(I_{\rm rms}R)^2+(I_{\text{rms}}X_L-I_{\rm rms}X_C)^2$
$=I_{\text{rms}}\left(R^2+(X_L-X_C)^2\right)$
$V_{\rm rms}=I_{\rm rms}\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$
$V_{\text{rms}}=I_{\rm rms}Z$

$V(t)=V_0\sin(\omega t)$
$I(t)=\frac{V_0}{Z}\sin(\omega t-\phi)$
$\tan\phi=\frac{V_L-V_C}{V_R}=\frac{X_L-X_C}{R}$
$R=Z\cos\phi$

$\bar{P}=I_{\rm rms}^2R$
$=I_{\rm rms}\cdot I_{\rm rms}Z\cos\phi$
$=I_{\rm rms}V_{\rm rms}\cos\phi$

[edit]

6. See also