'''그린 정리'''는 [[스토크스_정리,Stokes_theorem]]의 특수한 경우임.

= Stewart =
그린 정리는 단순닫힌곡선 $C$ 를 따른 [[선적분,line_integral]]과 // 단순닫힌곡선 = simply_closed_curve ? ... [[단순곡선,simple_curve]] [[닫힌곡선,closed_curve]]
$C$ 로 둘러싸인 평면영역 $D$ 에서의 [[이중적분,double_integral]] 사이의 관계를 알려준다.

(정리)
$C$ 는 평면에 놓은 양의 방향을 갖는 조각마다 매끄러운 단순닫힌곡선이라 하고,
$D$ 는 $C$ 로 둘러싸인 영역이라 하자.
$P$ 와 $Q$ 가 $D$ 를 포함하는 [[열린영역,open_region]]에서 연속인 편도함수를 가지면, 다음이 성립한다.
 $\int_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

$D$ 의 양의 방향인 경계곡선에 대한 또 다른 기호는 $\partial D$ 이다. 따라서 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
 $\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA = \int_{\partial D}P\,dx + Q\,dy$

(Stewart 8e ko p914)

= Zill =
$C$ 가 영역 $R$ 을 둘러싸는 구간별 매끄러운 단순 폐곡선(simple closed curve)이고
$P,\,Q,\,\frac{\partial P}{\partial y},\,\frac{\partial Q}{\partial x}$ 가 $R$ 에서 연속이면
 $\oint_C P dx + Q dy = \iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$
이다.

(Zill 6e ko chap9.12 p681)
위의 것은 평면 형태, 이후 Stokes 정리 앞부분(p697)에서 3차원 공간의 Green 정리 언급.

= Bazett =
Green's Theorem (Circulation-Curl Form)
 $\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_R\left( \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} \right) dxdy$
For $C$ smooth, simple, closed curve enclosing $R,$
$\vec{F}=M\hat{\mathrm\imath}+N\hat{\mathrm\jmath}$ having $M,N$ having continuous first partials in an open region containing $R.$

좌변은 ccw circulation.
우변의 괄호 안은 circulation_density.

(https://www.youtube.com/watch?v=JB99RbQAilI 5m)

관련: [[순환,circulation]]
{
관련: [[회전,rotation]] [[회전,curl]] [[순환,cycle]] 순환순열/순환순서/etc. (related: [[순열,permutation]] mentioned in: [[레비치비타_기호,Levi-Civita_symbol]])
}

= O'Neil =
Let $C$ be a simple closed positively oriented path in the plane.
Let $D$ consist of all points on $C$ and in its interior. Let
 $f,\,g,\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial g}{\partial x}$
be continuous on $D.$ Then:
 $\oint_C f(x,y)dx+g(x,y)dy=\iint_D \left(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\right) dA$

(O'Neil AEM 7e, Thm 12.1)

= tmp links ko =
그린 정리의 직관적인 이해와 증명 (2019, 깔끔)
https://dimenchoi.tistory.com/42
tbw: normal_form and tangential_form

----
mklink
[[이중적분,double_integral]]
[[면적분,surface_integral]]
[[선적분,line_integral]]

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669219&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 그린 정리]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5826943&cid=64656&categoryId=64656 기상학백과: 그린의 정리]]
https://angeloyeo.github.io/2020/01/18/Green_theorem.html
[[WpKo:그린_정리]]
[[WpEn:Green's_theorem]]
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Green%27s_Theorem

Up: [[벡터미적분,vector_calculus]]