$\lim_{x\to c}f(x)=L$
 의 뜻:
$\forall\epsilon>0,\; \exists\delta>0$ such that
if $|x-c|<\delta$ and $x\neq c$ then $|f(x)-L|<\epsilon$

'''극한값'''은 함수값이나 함수값의 존재 여부와는 무관.
극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 함.

즉 극한값의 존재 여부([[존재성,existence]])를 따질 때, 극한값이 없다는 것을 보이려면 좌극한과 우극한이 다름을 보이면 됨. ''- 또는 물론 좌극한이 없다거나, ...etc. - 모두 찾아서 정리.''
 ''극한값이 없는 다른 경우들 TBW''
 ''cmp 함수값 / tbw 함수값과 극한값이 다른, ...etc. 극한값 문단 mk?'' Ndict:극한값  Bing:극한값 Ggl:극한값    Srch:극한값
 ''TBD [[함수값,function_value]]과 비교 용도로 극한값 page분리할필요 있는지? page [[극한값,limit_value]]? 영어로 맞는 표현? 글쎄?? 필요없을듯하긴 한데.. [[극한,limit]] [[값,value]]''

관련: [[점근선,asymptote]](curr go [[직선,line]])

[[TableOfContents]]

= One-sided limits =
극한이 성립하려면 좌극한과 우극한이 같아야 한다.
 $\lim_{x\to a}f(x)=L$
if and only if
 $\lim_{x\to a^-}f(x)=L\textrm{ and }\lim_{x\to a^+}f(x)=L$

== 좌극한 left-hand limit ==
$\lim_{x\to a^{-}}f(x)=L$
iff
$\forall\epsilon>0,\;\exists\delta>0$
such that
$0<a-x<\delta \;\Rightarrow\; |f(x)-L|<\epsilon$
$a-\delta<x<a \;\Rightarrow\; |f(x)-L|<\epsilon$
== 우극한 right-hand limit ==
$\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L$
iff
$\forall\epsilon>0,\;\exists\delta>0$
such that
$0<x-a<\delta \;\Rightarrow\; |f(x)-L|<\epsilon$
$a<x<a+\delta \;\Rightarrow\; |f(x)-L|<\epsilon$
----
To say
 $\lim_{x\to c^+}f(x)=L$
means that $\forall\epsilon>0,\;\exists\delta>0$ such that
 $0<x-c<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-L|<\epsilon$


= Limit laws =
$c$ 가 상수이고, 극한
 $\lim_{x\to a}f(x)\textrm{ and }\lim_{x\to a}g(x)$
이 존재하면,
 1. $\lim_{x\to a}(f(x) + g(x)) = \lim_{x\to a}f(x) + \lim_{x\to a}g(x)$
 2. $\lim_{x\to a}(f(x) - g(x)) = \lim_{x\to a}f(x) - \lim_{x\to a}g(x)$
 3. $\lim_{x\to a}c f(x) = c \lim_{x\to a}f(x)$
 4. $\lim_{x\to a}(f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x\to a}f(x) \cdot \lim_{x\to a}g(x)$
 5. $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}\textrm{ if }\lim_{x\to a}g(x)\ne 0$
4번 (product law)를 반복해서 사용하면 다음 power law를 이끌어 낼 수 있다. (g(x)=f(x)로 가정)
 6. $\lim_{x\to a}\left(f(x)\right)^n=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^n$
  단 n은 양의 정수.

= [[무한대,infinity]]관련 극한 =
이건 어떻게 보면 매우 오래된(고대 그리스) 개념인데, 미적분학의 역사의 극 초반에 언급되는 내용. method of exhaustion.
어떤 [[원,circle]] 안에 들어가는 n각형([[다각형,polygon]])의 [[넓이,area]]가 $A(n)$ 이면
 $\lim_{n\to\infty}A(n)=$ 원의 면적
또는
 $A=\lim_{n\to\infty}A_n$

극한에 도달하지 못했다면 [[근사,approximation]]와 관련.
----
$f$ is defined on open interval.

$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$
iff
$\forall M>0,\;\exists\delta>0$
such that
$0<|x-a|<\delta \;\Rightarrow\; f(x)>M$

$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$
iff
$\forall N<0,\;\exists\delta>0$
such that
$0<|x-a|<\delta \;\Rightarrow\; f(x)<N$
----
from Stewart

Let $f$ be a function defined on some open [[구간,interval]] that contains the number $a$ , except possibly at $a$ itself. Then
 $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$
means that for every positive number $M$ there is a positive number $\delta$ such that
 if $0<|x-a|<\delta$ then $f(x)>M$

마찬가지로
 $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$
의 뜻은, $\forall N<0,\; \exists \delta>0$ such that
 $0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<N$

Let $f$ be a function defined on some interval $(a,\infty).$ Then
 $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$
means that for every positive number $M$ there is a corresponding positive number $N$ such that
 if $x>N$ then $f(x)>M$


----

Def.

$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$
 ⇔
$\forall M>0,\; \exists N>0$ such that $n>N\Rightarrow a_n>M$

----
https://everything2.com/title/Infinite+limit

= Limits At Infinity =
Fact:
1. $r$ 이 양의 [[유리수,rational_number]]이고 c가 임의의 실수이면,
 $\lim_{x\to\infty}\frac{c}{x^r}=0$
2. $r$ 이 양의 [[유리수,rational_number]]이고 c가 임의의 실수이고 $x^r$ 이 $x<0$ 에서 정의되었으면,
 $\lim_{x\to-\infty}\frac{c}{x^r}=0$

from https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitsAtInfinityI.aspx

= 수열의 극한 =
(보통 [[함수,function]]의 극한을 얘기하는데 - [[Libre:함수의_극한]]) 여기선 [[수열,sequence]]의 '''극한'''을... (Q1. 함수 수열 말고 다른 극한이 있는지? Q2. 이 둘을 어떻게 체계적으로 re-write할 것인지)
 A1. [[위상수학,topology]](curr [[위상,topology]]), [[범주론,category_theory]](curr [[범주,category]]) 등에서 극한을 더 추상화

The limit of a sequence $\{a_n\}$ is $L,$ written
 $\lim_{n\to\infty}a_n=L$
if, for each $e > 0,$ there is an integer $N$ such that $| L - a_n | < e$ whenever $n\ge N$ .

수열의 극한이 존재하면 convergent; otherwise, divergent.
// from http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/6/sequences.3/index.html
----
정의

수열 $\{a_n\}$ 이 $\alpha$ 에 수렴한다 ⇔
$\forall \epsilon>0,\,\exists N\in\mathbb{N}$  such that $n>N\Rightarrow |a_n-\alpha|<\epsilon$

수열 {a,,n,,}이 α에 수렴한다는 것은 
임의의 양수 ε에 대해 자연수 N이 존재하여
n>N일 때 마다 |a,,n,,-α|<ε이 성립하는 것.

----
[[Libre:수열의_극한]]

= 삼각함수 관련 극한들 =

$y=\sin(1/x)$ 는 $x\to 0$ 일 때 좌극한도 우극한도 없다.

$y=\frac{sin x}{x}:$
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
샌드위치 정리로 증명.

== special cosine limit ==
$\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0$
pf. Thomas 13e 번역판 p32
반각공식 $\cos h=1-2\sin^2(h/2)$ 를 이용.
 $\lim_{h\to 0}\frac{cos h-1}{h}$
 $=\lim_{h\to 0}\frac{-2\sin^2(h/2)}{h}$
$\theta=h/2$ 라고 하면
 $=-\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}\sin\theta$
 $=-(1)(0)=0$

= 벡터함수의 극한 =
쉬움. 각 성분들의 극한으로 정의됨.
See [[벡터함수,vector_function#s-3]]

= 관련 개념 =
[[무한대,infinity]]
[[연속성,continuity]]
[[부정형,indeterminate_form]]
[[접선,tangent_line]]

Sub: (이름에서)
[[극한점,limit_point]]

= tmp bmks ko =
https://mathlyblog.wordpress.com/2015/12/29/극한limit/

= 기타, esp. in category_theory - 범주론의 limit =
''local txt의 ,limit 로 moved.''

= limit의 성질: 선형. =
[[선형성,linearity]] 있음, 이런 식:
https://calculus.subwiki.org/wiki/Limit_is_linear

= 영단어 limit의 다른 뜻 =
한계 한도 ...
[[한계,limit]] maybe

----
[[RR:극한(limit)]]
[[극한_EpsilonDeltaLimitDefinition]]
[[미적분,calculus]]
[[수열,sequence]]이 극한값을 가진다면 수렴한다(converge)고 하고 수렴하는(convergent) 수열이라고 한다.
 수렴하지 않을 때는 발산하는(divergent) 수열이라고 말한다.
https://calculus.subwiki.org/wiki/Limit
https://everything2.com/title/limit
https://mathworld.wolfram.com/Limit.html

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338249&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 극한]]

Up: [[해석학,analysis]]