[[수열,sequence]]을 [[덧셈,addition]]한(sum) 것? - Yes
[[수열,sequence]]의 [[합,sum]]. (수백)

Ggl:"sum of series" ?
수열 - 급수 들로 만든 수열 - (..) - (..) - ... 이렇게 한없이 확장/누적/...될 수 있는건지? 그렇다면 저것의 이름은? QQQ

수열과 '''급수'''에 대한 관심사 (강우석)
 1. 수렴하는가, 발산하는가?
 1. 수렴한다면 값은 얼마인가?
 1. 값을 정확하게 정하지 못한다면, 얼마나 빨리 수렴하는가? - 몇 항 까지 구하면 [[오차,error]]가 얼마 이상으로 작아지는지 등등 - rel. [[수치해석,numerical_analysis]]

Terms
항 term
부분합 partial sum ... [[부분합,partial_sum]]
 ''[[무한급수,infinite_series]]를 나타낼 때는 보통 '''부분합'''을 식으로 나타낸 다음 그것에서 마지막 항 index가 무한으로 가는 [[극한,limit]]을 생각하는 ..? chk ... QQQ 항상 이런 패턴 같은데 이 이외의 다른 방법은?''
  암튼 정의상, 무한급수의 부분합의 극한이 실수로 존재하면 the series is convergent하고 그게 무한급수의 [[합,sum]]이며 존재하지 않으면 the series is divergent하다.
 ex. $\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k a_n$
 기호는 보통 $S_k,S_n$ 등
 
유한급수(finite series), 무한급수(infinite series) 
 $\sum_{i=1}^{n}a_i$ : [[유한급수,finite_series]]
 $\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ : [[무한급수,infinite_series]]
 무한개 덧셈하면 [[무한급수,infinite_series]]?
  무한급수를 줄여 '''급수'''로 부르기도 함.
 무한급수의 경우 (?) 수렴/발산 여부를 알아내는 [[수렴판정법,convergence_test]]이 있음
 무한급수에는 수렴급수와 발산급수가 있음.
수렴 converge, convergent, convergence
발산 diverge, divergent, divergence ([[발산,divergence]]과 관계가?)
절대수렴/조건수렴

급수전개 [[급수전개,series_expansion]]
 멱급수전개 - curr goto [[멱급수,power_series#s-3]]; later [[멱급수전개,power_series_expansion]]
 테일러급수전개 - curr goto [[테일러_급수,Taylor_series]]; later [[테일러_전개,Taylor_expansion]]
 매클로린급수전개 - see [[매클로린_급수,Maclaurin_series]]
 https://mathworld.wolfram.com/SeriesExpansion.html

[[급수해,series_solution]] - see [[해,solution]]

// 무한급수는, 수렴/발산 여부에 따라 (아래) 수렴급수/발산급수 로 나뉜다 (wpko)
수렴급수
 절대수렴급수
 조건수렴급수
발산급수

수렴판정법/발산판정법 [[수렴판정법,convergence_test]]
 [[적분판정법,integral_test]]

[[등차수열의_합]]
[[등비수열의_합]] - 등비급수 = 기하급수.

유한등비급수
무한등비급수

[[망원급수,telescoping_series]]
{
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Telescoping_series
... Google:망원급수 Google:telescoping.series
}

Sub:
 [[무한급수,infinite_series]]
  [[수렴판정법,convergence_test]]
 [[조화급수,harmonic_series]]
 [[기하급수,geometric_series]]
 [[멱급수,power_series]]
 [[테일러_급수,Taylor_series]]
 [[p급수,p-series]]
 [[푸리에_급수,Fourier_series]]
 [[교대급수,alternating_series]]
 [[디리클레_급수,Dirichlet_series]]
 [[로랑_급수,Laurent_series]] - writing
 [[초기하급수,hypergeometric_series]] - writing
 [[이중급수,double_series]] - writing
 [[발산급수,divergent_series]] - writing
 [[convergent_series]] { https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSeries.html [[수렴,convergence]] }
 [[Gregory_series]] and [[Leibniz_series]] - writing
  [[원주율,pi]]관련.
  MW:GregorySeries
  WpEn:Arctangent_series
  ... Ggl:"gregory series"

----
[[TableOfContents]]

= 양항급수 series of positive terms =
양항수열: 모든 항이 0 이상인 수열
양항급수: 양항수열의 무한급수

$\forall n\in\mathbb{N},\,a_n\ge0$ 일 때 무한급수
 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$
을 양항급수라 한다.
## from 이춘호 공업수학 p91

양항급수의 비교
{a,,n,,}, {b,,n,,}이 양항수열일 때 다음이 성립.
 * $\forall n\in\mathbb{N},$ $a_n\le b_n$ 이고 $\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 이 수렴하면 $\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 도 수렴.
 * $\left{\frac{a_n}{b_n}\right}$ 이 수렴하고 $\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ 이 수렴하면 $\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 도 수렴.
TBW
## from 고등학교고급미적분학 p29

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405212&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 양항급수]]

= 이항급수,binomial_series =
k가 양의 정수일 때,
$(a+b)^k=\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}a^{k-n}b^n$

Pages: [[이항계수,binomial_coefficient]] [[이항정리,binomial_theorem]]

= 삼각급수 trigonometric series =
[[삼각급수,trigonometric_series]]

// ency. of math
 ${\frac{a_{0}}{2}}+\sum_{k=1}^\infty(a_{k}\cos kx + b_{k} \sin kx)$
complex form으로는
 $\sum_{k=-\infty}^\infty c_{k} e^{ikx}$

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Trigonometric_series

Up: [[급수,series]]는 확실, [[삼각법,trigonometry]] or [[삼각함수,trigonometric_function]]?

= easy; TOMERGE =

급수가 유한한 값으로 수렴하면 수렴(convergent),
그렇지 않으면 발산(divergent).

더할 때는 순서가 중요. 앞에서 하나씩 더해준 것이 부분합.

정의:

수열 {a,,n,,}에 대하여
 $S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i$ 
이라 하고(부분합), 수열 {S,,n,,}이 S로 수렴하면
 “급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 이 수렴한다”
고 하고, 
 $a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots=S$
또는
 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S$
로 나타내고, S를 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 의 합이라 한다.

----
대충 '''급수'''/수열/수렴vs발산/극한의 관계?

급수가 수렴하면 [[수열,sequence]]의 [[극한,limit]]은 0이다.
(그 [[대우,contraposition]]:)
수열의 극한이 0이 아니면 급수는 발산한다.

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ : 수렴 $\to\; \lim_{n\to\infty}a_n=0$
$\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0 \;\to\; \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ : 발산

...

Thm. $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ is convergent $\Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_n=0$

Pf. $a_n=S_n-S_{n-1}\Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_n=S-S=0$


The test for divergence
$\lim_{n\to\infty}a_n\ne0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ is divergent.

= 옛날 사람들의 생각 =
 $1-1+1-1+\cdots$
의 값에 대한 논란이 있었음.

그랜디는
 $(1-1)+(1-1)+\cdots=0$
라고 생각했으며, 라이프니츠는
 짝수항까지의 부분합 $1-1+\cdots=0$
 홀수항까지의 부분합 $1-1+1-\cdots=1$
이므로 두 값의 평균 ½이 답이라고 생각.

현대에는 그냥 발산으로 분류??
----
1703년 Grandi는 급수
 $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$
에 x=1을 대입하여
 $\frac{1}{2}=1-1+1-1+\cdots$
 $\frac{1}{2}=(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+\cdots$
이므로 세계는 무에서 형성될 수 있음을 증명했다고 주장했다.
이에 대해 Leibniz는 짝수항까지의 합과 홀수항까지의 합의 평균 1/2이 결과라고 주장했다.
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임의의 x에 대해 급수
 $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+x^3+\cdots$ 
의 값을 구하는 과정(?):
 $S=1+x+x^2+x^3+\cdots$
 $xS=x+x^2+x^3+x^4+\cdots$
 $S-xS=1$
이므로 $x\not=1$ 이면
 $S=\frac1{1-x}$
$x=2$ 를 대입하면
 $-1=1+2+2^2+2^3+\cdots$
$x=-1$ 을 대입하면
 $\frac12=1-1+1-1+\cdots$ , (그런데 우변을 묶는 법에 따라 다음 두 식도 가능)
 $0=(1-1)+(1-1)+\cdots$ ,
 $1=1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$
같은 역설이 나온다.
무한합에서는 유한개의 합을 구할 때 적용되는 [[결합법칙,associativity]]이 성립하지 않기 때문.
(관련: 그란디 급수, 리만 재배열 정리)
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See also: https://parisinus04.tistory.com/10 (책 '틀리지 않는 법' 발췌)
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Misc bmks:
https://everything2.com/title/Guido+Ubaldus%2527+proof+of+the+existence+of+God
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18, 19세기 수학과 물리학의 빠른 발전은 모호한 개념이나 증명을 바탕으로 이루어진 경우가 많았다. 몇 가지 쉬운 예를 들면
 $1+x+x^2+x^3+\ldots=\frac1{1-x}$
라는 [[기하급수,geometric_series]]의 식이 $-1<x<1$ 인 수 $x$ 에 대해 성립함은 쉽게 알 수 있다. 그런데 $x$ 에 $-1$ 을 대입하여, $1-1+1-1+1\ldots$ 이라는 1과 0을 반복하는 급수가 $\frac12$ 로 수렴한다는(잘못된) 결과를 사용하기도 했다. 또한 연속 곡선에 관한 정확한 개념이 정립되지 않아 연속인 곡선은 모든 점에서 미분 가능하다는 그른 증명이 당시 교과서에 주어지곤 했다.[* '올바른 수학을 찾아서', 김병한.]
## '올바른 수학을 찾아서', 김병한. "집합과 수리논리 관련 논문.hwp"

= 프랙탈,fractal =
프랙탈 도형의 넓이를 구할 때 무한급수가 쓰임.


시에르핀스키 or 시어핀스키_삼각형 or gasket
Sierpiński triangle


코흐_곡선 코크 곡선
Koch curve

관련: [[극한,limit]]

자연에서 나타나는 프랙탈
http://www.aistudy.com/physics/chaos/nature_kim.htm

qqq 프랙탈은 [[패턴,pattern]]인가?

= 거듭제곱의 합 =

1², 2², 3², 4², ..., n², ... 의 합
$\sum_{k=1}^{n}k^2 = 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$ 의 값은?

항등식 $(x+1)^3 - x^3 = 3x^2+3x+1$ 의 x에 1, 2, 3, ..., n을 차례로 대입하면 다음과 같다.

$\begin{array}{lccc}x=1:& 2^3-1^3&=&3\cdot 1^2+3\cdot1+1\\x=2:& 3^3-2^3&=&3\cdot 2^2+3\cdot2+1\\x=3:& 4^3-3^3&=&3\cdot3^2+3\cdot3+1\\ &\vdots&&\vdots \\ x=n:& (n+1)^3-n^3&=&3\cdot n^2 + 3\cdot n + 1 \end{array}$

세로로 더하면,
{{{#!mimetex
$\begin{align}
(n+1)^3-1^3 &= 3\sum_{k=1}^{n}k^2 + 3\sum_{k=1}^{n}k + n\\
&= 3\sum_{k=1}^{n}k^2 + 3\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n
\end{align}
$
}}}

이것을 정리하면

$\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

MKLINK: [[Faulhaber_formula]](writing)

= 영단어 series =
의 다른 번역
[[시간,time]]에 따른 자료를 모은 것: [[시계열,time_series]] - series를 '계열'로 번역함.
 하지만 '열'은 [[수열,sequence]]에서도 쓰임...

----
[[Namu:급수(수학)]]
[[WpKo:급수_(수학)]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3404993&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 급수]]

급수의 흥미로운 예제와 훌륭한 요약 [[WpEn:Series_(mathematics)]]
중요한 수학 급수의 목록 [[WpEn:List_of_mathematical_series]] (Ivan Savov)

[[https://en.citizendium.org/wiki/Series_(mathematics)]]
[[Libre:급수]]
[[RR:급수,series]]

Up: [[수학,math]]