(2차원 그래프에서) '''기울기'''는 세로 이동거리를 가로 이동거리로 나눈 것이다.
좌표상에서 증분은 수평이동(run) Δx 수직이동(rise) Δy 둘로 구별되며, 두 증분의 [[비,ratio]] Δy/Δx를 '''기울기'''라고 한다.
즉 '''기울기'''는 change 나누기 change, [[차이,difference]] 나누기 차이.

기울기 > 0 : 증가
기울기 = 0 : 일정? chk
기울기 < 0 : 감소

두 [[점,point]] $P_1(x_1,y_1),\,P_2(x_2,y_2)$ 을 지나는 [[직선,line]]의 '''기울기''':

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
 $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
 $=\frac{\textrm{rise}}{\textrm{run}}$
 $=\frac{\textrm{vertical change}}{\textrm{horizontal change}}$

단, 수직선분에선 기울기가 정의되지 않음. nonvertical line에서만 정의.
$\pm\infty$ (하나도 아니고 두 [[무한대,infinity]])가 나오므로?
''이건 undefined? indeterminate(Sub: [[부정형,indeterminate_form]])?''

vertical_tangent 뿐만 아니라 cusp에서도 '''slope'''는 정의되지 않음 - TBW why

기울기와 탄젠트/아크탄젠트(tan or arctan, see [[삼각함수,trigonometric_function]] 관계:
[[경사각,angle_of_inclination]]
{
very easy:
수평선(horizontal line)의 '''경사각'''은 0°
수직선(vertical line)의 '''경사각'''은 90°
'''경사각'''의 기호가 $\phi$ 라면
 $0\le \phi < 180^{\circ}$
[[기울기,slope]] $m$ 과의 관계는
 $m=\tan\phi$
## from Thomas Calc.
즉 기울기와 경사각 사이에는 [[탄젠트,tangent]]/arctangent 함수 관계가 있다.
 기울기 = tan(경사각)
i.e. (chk)
 경사각 = tan^^-1^^(기울기)

[[각,angle]]
[[경사,경사도,inclination]]
}

관련: [[증분,increment]]
{
AKA '''증가량, 증가분'''
기호: Δ 바로 뒤에 문자를 붙임

[[덧셈,addition]] [[기울기,slope]]

q: 증가율 = 기울기?
 기울기 = 증가율+감소율, 기울기>0 : 증가, 기울기<0: 감소.. ?

(이변수함수의 증분)
일변수함수 $y=f(x)$ 에 대해 $x$ 가 $a$ 에서 $a+\Delta x$ 로 변하면, $y$ 의 '''증분'''을 다음과 같이 정의한 것을 상기:
 $\Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)$
이변수함수 $z=f(x,y)$ 를 생각. $x$ 가 $a$ 에서 $a+\Delta x$ 로 변하고 $y$ 가 $b$ 에서 $b+\Delta y$ 로 변한다고 가정하자. 그려면 이에 대응하는 $z$ 의 '''증분'''은
 $\Delta z=f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)$
따라서 증분 $\Delta z$ 는 $(x,y)$ 가 $(a,b)$ 에서 $(a+\Delta x,b+\Delta y)$ 로 변할 때 $f$ 의 값의 변화를 나타낸다.
(Stewart 8e ko p771)

삼변수함수에서 $w=f(x,y,z)$ 이면, $w$ 의 '''증분'''은
 $\Delta w=f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$
(Stewart 8e ko p775)

}

다음 개념에서 기울기가 중요한 주제임:
 [[평균값정리,mean_value_theorem,MVT]]
 [[접선,tangent_line]]
 [[미적분,calculus]]: (기울기와 증가율은 같은 개념일 듯.) “미적분학의 전부는 증가율에 관한 것이라고 해도 과언이 아니다. 미적분학의 전체 요점은 함수의 증가율을 발견하고 그 정보를 사용하는 것이다.” (Strang)
  특히 [[미분,derivative]].

'''기울기,slope'''와 [[기울기,gradient]] 사이 관계 tbw

[[미분계수,differential_coefficient]]와 밀접
[[탄젠트,tangent]]와 매우 밀접
 tan(각)=기울기. CHK

관련 표현: steep 가파른 steepness 가파름 gradual 완만한
 경사 경사도 inclination slant
 [[RR:inclination]]
-----
[[기울기마당,slope_field]]
{
## =,slope_field . slope_field

[[기울기,slope]]...
----
AKA '''기울기장'''

방향장(?)이라고 많이 하는데 대한수학회 수학용어사전에 의하면 (방향장 = direction field, 기울기마당 = slope field)

Kreyszig 10e 번역판에는 별 차이 없는 것으로 나옴: xy평면에 짧은 직선 선분(선요소(lineal element))을 그림으로서 ODE의 해곡선의 방향을 보일 수 있다. 이것으로부터 방향장(direction field)(또는 기울기장(slope field))을 얻음.

https://mathworld.wolfram.com/SlopeField.html
{ [[Date(2023-12-05T22:34:00)]] 대충 번역, rechk
[[상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE]] $y'=f(x,y)$ 가 주어졌을 때, 이 미분방정식의 '''slope field'''는, 각 점 $(x,y)$ 위치마다 [[기울기,slope]]가 $f(x,y)$ 인 [[단위벡터,unit_vector]] 들로 이루어진 [[벡터장,vector_field]]이다. 보통 벡터들을 화살촉(arrowhead) 없이 그리는데''(i.e. 짧은 선으로만)'', 둘 중의 어떤 방향을 따라가도 상관 없다는 것이다. '''Slope field'''로 [[시각화,visualization]]하면 [[초기값문제,initial_value_problem,IVP]]의 [[해곡선,solution_curve]]s들을 그림으로 쉽게 찾아낼(trace out) 수 있다.
(원문 참조) 예를 들어 위 그림은 $f(x,y)=x+y$ 의 '''slope field'''를 여러 $(x,y)$ 의 [[초기값,initial_value]]s들에 대한 해곡선들을 보여준다.
}

WtEn:slope_field ?

Up: [[장,field]] > [[벡터장,vector_field]]
}

----
https://mathworld.wolfram.com/Slope.html