기하학,geometry

용어
focus 초점
directrix 준선
eccentricity 이심률
equilateral adj. 등변의
similarity 닮음 - 닮음,similarity
congruence 합동, 일치 - 합동,congruence
congruent adj. 합동(인) (Congruent shapes are similar and the same size. 즉 (합동)이란 (닮음) and (크기가 같음).)
incongruent adj. 합동이 아닌
polygon 다각형 - 다각형,polygon //이페이지밑부분 80%쯤
polyhedron 다면체 - 다면체,polyhedron //이페이지윗부분 20%쯤
regular polygon 정다각형 - 정다각형,regular_polygon //local에작성중
regular polyhedron 정다면체
convex polygon 볼록다각형 - 볼록다각형,convex_polygon writing
convex polyhedron 볼록다면체

특히 '상태'를 설명하는
{
도형/...에 따라 적으면 이런식
평면,plane
coplanar 동일평면상의
직선,line
skew lines 꼬인 위치의 직선들

상태/성질에 따라 적으면 이런식
평행,parallel
직선이나 평면이, 만나지 않음
수직인 perpendicular - 수직성,perpendicularity
orthogonal 직교하는 - 직교성,orthogonality
coplanar - 동일평면상(의), 공면 - WtEn:coplanar WtEn:coplanarity MW:Coplanar
collinear 동일직선상(의), 공선 - WtEn:collinear WtEn:collinearity MW:Collinear
}

Sub/subtopics:
도형,figure - shape 과 차이?
점,point
각,angle
패턴,pattern
길이,length
넓이,area
부피,volume
방향,orientation - 방향,direction과 차이가 무엇인가? Ggl:방향 orientation direction 차이 Ggl:differences between orientation and direction
반사,reflection
대칭성,symmetry
다면체,polyhedron
{
정다면체 (regular_polyhedron(두산백과) - 틀림.) 영어로는 Platonic_solid.
합동,congruence인 정다각형으로 이루어진 입체도형.
only 5가지. 이유는 굳이 정리하면
정삼각형 - 한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 ~2개일 수 없고 6~ 개일 수 없음
3개이면 정사면체 4
4개이면 정팔면체 8
5개이면 정이십면체 20
정사각형 - 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가
3개이면 정육면체 6
정오각형
3개이면 정십이면체 12
Twins:
WpEn:Platonic_solid
WpKo:정다면체
https://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html
http://hi.gher.space/wiki/Platonic_solids
regular_polyhedron - 이것은 정다면체를 포함함. 정다면체보다 넓은 개념.
WpEn:Regular_polyhedron
WpKo:넓은_뜻의_정다면체
mklink: {도형,figure? 입체,solid? } 기하학,geometry
}

이하 대충 subfields? cleanup. SUBFIELDS BEGIN

해석기하학,analytic_geometry WtEn:analytic_geometry // 해석기하_공식의 페이지명 바꾸고 저기로 옮겨야할듯
{
해석기하, 해석기하학

Cartesian coordinate system(데카르트 좌표계, see 좌표계,coordinate_system)을 도입함으로 인해 발전
Algebraic method(대수적 방법, see 대수학,algebra)을 사용

Fundamental Theorem of Analytic Geometry:
There is a one-to-one corespondence(일대일 대응, 전단사,bijection) between the points in a plane and the elements in the set of all ordered pairs of real numbers.
즉 점,point과 좌표,coordinate의 대응.



대수를 통해 기하를, 또는 역으로 기하를 통해 대수를 연구하는 학문.
(대수학,algebra and 기하학,geometry)

Links

The Stacks Project : 온라인 대수기하학 교재 (2012)
https://zariski.wordpress.com/2012/04/11/the-stacks-project-온라인-대수기하학-교재/
Introduction to Algebraic Geometry - Donu Arapura
https://www.math.purdue.edu/~arapura/algeom.html




해밍_코드,Hamming_code와의 관계 TBW

projection의 다른 번역: 투영, 투사




곡선,curve을 표현하기 위해 매개변수,parameter, 매개변수표현법(parametric representation) (see 매개변수방정식,parametric_equation)이 자주 사용됨.
ex.
$\vec{r}(t)=[x(t),y(t),z(t)]=x(t)\hat{\rm i}+y(t)\hat{\rm j}+z(t)\hat{\rm k}$

tmp links ko
https://blog.naver.com/why-math/221016155095 (21개 강좌 첫번째 글)
https://mathphysics.tistory.com/category/기하학/미분기하학 (12개 글)






유클리드기하학 vs 비유클리드기하학(평행선 공준이 성립하지 않음을 가정)
유클리드_기하학,Euclidean_geometry 유클리드 기하 Euclidean geometry WtEn:Euclidean_geometry WpSp:Euclidean_geometry WpEn:Euclidean_geometry
유클리드_공간,Euclidean_space
정의,definition 수십개와 공준(사실상 공리,axiom) 5개에서 모두 연역,deduction??
유클리드 기하학은 클라인(Felix_Klein)의 Erlangen 프로그램(1872)에 의하여 현대적인 방법으로 이해되었다. (김홍종)
비유클리드 기하 non-Euclidean_geometry
쌍곡기하 hyperbolic geometry - 평행선이 둘 이상 존재한다고 가정, 일반적으로 평행선이 무한히 많이 존재한다고 가정, 곡률,curvature 음
타원기하 elliptic geometry - 평행선이 존재하지 않음, i.e. 임의의 두 직선은 항상 cross, 곡률,curvature 양
구면기하 spherical geometry - 구면,spherical_surface
택시기하학,taxicab_geometry
(curr. 거리,distance에서 taxicab, manhattan 검색)
etc.

discrete_geometry WtEn:discrete_geometry x "discrete geometry" Ggl:discrete geometry 이산기하학?
digital_geometry WtEn:digital_geometry x "디지털기하학?
계산기하학,computational_geometry? computational_geometry - curr see WpEn:Computational_geometry ... 계산기하학
이상 셋 작성중



partial_geometry
partial geometry
WpEn:Partial_geometry
부분,part

incidence_geometry
incidence geometry
WpEn:Incidence_geometry

SUBFIELDS END

Lines:
직선,line (straight line)
곡선,curve (curved line)
선분,line_segment
직선,line 위의 두 점으로 정의할 수 있음 (두 점과 그 사이)
현,chord{Up: 선분,line_segment}
대각선,diagonal { AKA diagonal line (segment는 보통 생략하는 듯) ... https://mathworld.wolfram.com/PolygonDiagonal.html ... diagonal은 행렬에서도 많이 쓰이는 표현, tbw. Up: 선분,line_segment}
벡터,vector를 'directed line segment'로 설명하기도 함.
반직선,ray (half-line)

곡면,surface
평면,plane - 이 위계관계 옳음? - 옳은듯
구,sphere
{
중심이 (a, b, c) 이고 반지름의 길이가 r인 구의 방정식은
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2

구의 방정식의 일반형
x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0
(Compare: 원,circle의 방정식의 일반형
x2+y2+Ax+By+C=0)

반지름이 $r$ 인 구의
겉넓이: $4\pi r^2$
부피: $\frac43\pi r^3$

구면,spherical_surface

Compare 원,circle
}

원통/원기둥 cylinder
원뿔,cone



직선,line
곡선,curve
원뿔곡선,원추곡선,2차곡선,이차곡선,conic_section WpEn:Conic_section
$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$ (단, 두 일차식의 곱으로 인수분해,factorization되지 않는 경우)
용어: 초점,focus 꼭짓점,? 이심률,eccentricity
https://i.imgur.com/GHq2jyA.png

원,circle
타원,ellipse
원을 포함하는가?
이심률 뜻?
포물선,parabola
초점 focus
준선 directrix : 점(초점)과 직선(준선) 사이의 거리(최단거리)가 같은 점들의 자취
쌍곡선,hyperbola
점근선 asymptote
사이클로이드,cycloid
심장형곡선,cardioid

이차곡선 방정식,equation 이심률,eccentricity
원 0
타원
포물선 $x^2=4py\;(p\ne0)$ 또는 x-y 바뀐 버전
쌍곡선

[edit]

타원....

// 삭제 or 정리해서 mv to 타원,ellipse
http://i.imgur.com/lJQv1yH.png

두 초점 F(c, 0), F'(-c, 0)으로부터의 거리의 합이 2a(a>c>0)로 일정한 타원의 방정식은, 타원 위의 한 점을 P(x, y)라고 하면, PF+PF'=2a이므로
$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$
$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$
양변을 제곱하고 정리하면
$cx+a^2=a\sqrt{(x+c)^2+y^2}$
양변을 제곱하고 정리하면
$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$
이 때 a>c>0 ⇒ a²-c²>0이므로 a²-c²=b²(b>0)으로 놓고 양변을 a²b²으로 나누면
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;(b^2=a^2-c^2)$

........ 꼭짓점은 x,y축과만나는점임...A,A',B,B'.....
AA'=장축, BB'=단축 ......... 아래위로볼록한타원의경우는 또 별도(a²=b²-c²)............. 타원 끗.


"부분?": (이걸 도형/모양의 분류(classification/category)로 따로 떼어내어 서술하기엔 너무 모호하고 광범위해서 그렇게 안할 듯..)
호,arc - 곡선,curve중의 일부
부채꼴,sector - ??
{
circular_sector - 원,curve의 일부를 잘라낸 것인데, 반지름 선분 두개와, 원호 하나로.... tbw

암튼 (부채꼴 - sector) 간에 일대일 대응 단어가 아닌건 확실히 알겠는데, 그럼
QQQ circular sector라는 단어가 부채꼴이라면... 원이 아닌 다른 것에 대해 sector가 있을 수 있지 않나? 타원부채꼴 같은?
- 당연. 다만 굳이 여기 적을필요는 없을것같음
- 근데 이건 적절한 표현이 무엇인지.. { elliptic_sector ellipse_sector elliptical_sector } 중에. cf. Google:ellipse sector
}
원환, 고리 annulus - 원과 원 사이의 영역 WpEn:Annulus_(mathematics)
즉 가운데 구멍이 뚫림(punctured).
형태로 인해 ring, washer 에 비유됨.
그러고보니 이건 (원환면, 원환체, 토러스, torus, ...) 이것들과 유사성 있는데... (tbw or delme)
현,chord



..


..

벡터,vector를 이용한 정의
중심이 $\vec{a}$ 이고 반지름이 $r$ 인
구,sphere은
$\{\vec{x}: ||\vec{x}-\vec{a}||=r\}$
공,ball은
$\{\vec{x}: ||\vec{x}-\vec{a}||\le r\}$

2-D geometric shapes:
다각형,polygon
(Wikipedia 정의:) 평면도형(plane figure - see 평면,plane 도형,figure)인데, 유한개의 선분,line_segment이 연결,connection되어 closed polygonal chain(or polygonal circuit - see 사슬,chain/연쇄,chain/체인,chain 회로,circuit)을 이룬 것으로 설명되는. The bounded plane region(영역,region or 구역,region), the bounding circuit, or the two together, may be called a polygon.
// 위에 bounded/bounding이 나왔는데, 단순히 내부? =interior? =inside? 아님 해석학의 유계,bounded? 아님 그냥 '묶인'?
Polygonal circuit을 이루는
그 선분들은 edge 혹은 side.
그 점들은 vertex 혹은 corner.
삼각형,triangle - 작성중
직각삼각형,right_triangle
WpKo:사각형 WpEn:quadrilateral quadrangle tetragon - 단어 차이?
직사각형,rectangle
정사각형,square
평행사변형,parallelogram
자주 언급됨. 외적,outer_product 등. [http]검색.
관련 항등식이 있음. 노름,norm에도 언급. Libre:평행사변형_항등식참조.
사다리꼴,trapezoid
WpKo:다각형
WpEn:Polygon
https://en.citizendium.org/wiki/Polygon
https://mathworld.wolfram.com/Polygon.html
3-D geometric shapes:
다면체,polyhedron
사면체,tetrahedron
모서리로 하는 세 벡터로 결정 가능
네 개의 삼각평면으로 둘러싸인 입체도형.
네 개의 삼각형,triangle으로 만들어지는 다면체,polyhedron.
Ndict:tetrahedron
평행육면체,parallelepiped
WpEn:Parallelepiped
https://mathworld.wolfram.com/Parallelepiped.html
스칼라 삼중곱,triple_product에서 언급.
Ndict:parallelepiped
Ggl:parallelepiped

안팎이 없는 도형? chk
뫼비우스_띠 - 3차원에서야 제대로 볼 수 있다.
Ndict:뫼비우스 띠
Ggl:뫼비우스 띠
일반화하면
클라인_면 (클라인 병은 잘못된 번역에서 비롯된 표현, 그러나 그렇게 더 잘 알려져 있다) - 4차원에서야 제대로 볼 수 있다.
Ndict:클라인 면
Ndict:클라인 병
Ggl:클라인 병

입체,solid
{
//tmp from kms
{
//'solid' => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=solid
입체도형 solid figure
입체기하학 solid geometry
입체각 solid angle
//'ellip' => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=ellip - rel. 타원,ellipse
타구 solid ellipsoid
타원체 ellipsoidal solid
타원면, 타원체 ellipsoid
타원면의 ellipsoidal
//한글 '입체' => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=kname&keyword=입체
stereographic plane 입체평면
stereographic projection 극사영, 입체사영
stereographic sphere 입체구면
}//kms검색결과

[https]https://en.citizendium.org/wiki/Solid_(geometry) - 무한히 많은 평면,plane으로 만들어졌다? chk
}
회전체,solid_of_revolution

접촉 - contact or osculating
접촉,contact
{
[https]수학백과: 접하다
[https]수학백과: 접촉
중간쯤에 표현들
교차crossing 접tangent 접촉osculating ...
접점 - tangent point, point of tangency ([http]kms)
}

일반화?
다양체,manifold

수학의 밀접한 관련분야: 위상,topology

[edit]

유클리드 기하의 정리

탈레스 정리는 아래 두 뜻이 있다.

Thales_theorem
WpEn:Thales's_theorem
WpKo:탈레스_정리_(지름) "원의 지름의 원주각은 직각이라는 정리. 이것은 원주각이 중심각의 1/2이라는 사실의 특수한 경우."


2023-12-17
WtEn:Thales's_theorem ... <- 여기도 구분 있음
"Thales theorem"
Ggl:Thales theorem
"intercept theorem"
Ggl:intercept theorem

[edit]

기하의 성질들

terms중 성질,property들 따로 모을 것, 필수적인 건 아니지만. (기하의 성질들만이 아니라서 '따로 분류'는 어렵다) TODO

수직성,perpendicularity KmsE:perpendicularity는 그냥 '수직'
cmp 직교성,orthogonality
cmp 독립성,independence
collinearity
coplanarity ...이 둘은 위에 언급, mkl

...


이 셋 묶어서 서술할 필요.
linearity / affinity / convexity
... Ggl:affinity convexity ... https://gem763.github.io/machine learning/Affinity와-Convexity.html etc.

Cmp
볼록성은 오목성,concavity과 비교,
볼록성과 아핀성은 선형성,linearity과 비교.


[edit]

Etc

많은 수학적 개념은 기하학적 의미/해석(geometric interpretation)을 갖는다. geometric_interpretation // 해석,interpretation
예: 함수 $z=f(x,y)$ 가 공간상의 곡면이라면, 방정식 $y=y_1$ 은 이 곡면을 교차하는(교차점들을 모으면 곡선) 수직평면이고, 점에서의 편도함수는 그 곡선의 접선의 기울기이다.

[edit]

Twins