두 $n$ 차원 [[벡터,vector]] $\vec{a} = (a_1, a_2, \cdots , a_n),\,\vec{b} = (b_1, b_2, \cdots , b_n)$ 의 '''내적'''은
 $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i$

'''''[[스칼라곱,scalar_product,dot_product]]'''''보다 더 일반적인 개념

대략,
두 벡터의 '연관성',,correlation?,,이나 '유사성',,similarity,,과 관련지어 설명된다. // [[유사도,similarity]]. 두 벡터가 얼마나 '닮았나'에 대한?
연산 시 두 벡터의 순서는 상관없다. (내적 연산은 [[교환법칙,commutativity]] 성립)
직교할 경우 관련이 없는 것으로, 숫자(내적 결과값)는 0으로, ([[직교성,orthogonality]])
반대 방향이면 음의 관련이 있는 것으로, 숫자는 음수로, ....
CLEANUP

----
 $\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}|\cos\theta$
이므로
 $\hat{\rm i}\cdot\hat{\rm i}=1\cdot1\cdot1=1\quad\quad(=\hat{\rm j}\cdot\hat{\rm j}=\hat{\rm k}\cdot\hat{\rm k})$
 $\hat{\rm i}\cdot\hat{\rm j}=1\cdot1\cdot0=0\quad\quad(=\hat{\rm j}\cdot\hat{\rm k}=\hat{\rm i}\cdot\hat{\rm k})$

----
책에 따라 표기법이 다양. 또 다른 표기는 (3D)
 $\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos\theta=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$
이걸 [[크로네커_델타,Kronecker_delta]] symbol을 쓰고 $x,y,z$ 를 각각 $1,2,3$ 에 대응시키면
 $\vec{A}\cdot\vec{B}=\sum_{i,j=1}^3 \delta_{ij} A_i B_j$
## from https://chocobear.tistory.com/14

----
Sub:
 [[내적공간,inner_product_space]] (선형대수)

[[TableOfContents]]

## from http://matrix.skku.ac.kr/sglee/linear/ocu/20403.html {
= 정의 =
$\vec{x}=(x_1, x_2,\cdots,x_n),\;\vec{y}=(y_1, y_2,\cdots,y_n)$ 에 대하여 실수
 $x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$
을 x와 y의 '''내적'''이라 하고
 $\vec{x}\cdot\vec{y}$
로 나타낸다.
----
[[벡터공간,vector_space]] V의 '''내적'''이란 이중선형함수 (bilinear_map ? rel. bilinearity)
 〈 , 〉 V × V → ℝ
로서 다음 성질을 가지는 것을 뜻한다.
 * v, w ∈ V ⇒ 〈v, w〉 = 〈w, v〉
 * v ∈ V, v ≠ 0 ⇒ 〈v, v〉 > 0

(김홍종 미적1+ p385)
----
$\mathbb{R}^n$ 의 '''내적'''이란 두 벡터변수 함수 $\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 로서 다음 조건을 만족시키는 것.
1. (양정치) $\langle\vec{v},\vec{v}\rangle\ge 0$ 이고, $\langle\vec{v},\vec{v}\rangle=0$ 일 필요충분조건은 $\vec{v}=\vec{0}$
2. (대칭성) 모든 벡터 $\vec{v},\vec{w}$ 에 대해 $\langle\vec{v},\vec{w}\rangle=\langle\vec{w},\vec{v}\rangle$
3. (쌍선형 1) 모든 벡터 $\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{w}$ 에 대해 다음이 성립
 $\langle\vec{v_1}+\vec{v_2},\vec{w}\rangle=\langle\vec{v_1},\vec{w}\rangle+\langle\vec{v_2},\vec{w}\rangle$
 $\langle\vec{v},\vec{w_1}+\vec{w_2}\rangle=\langle\vec{v},\vec{w_1}\rangle+\langle\vec{v},\vec{w_2}\rangle$
4. (쌍선형 2) 모든 실수 $\alpha$ 에 대해 다음이 성립
 $\langle\alpha\vec{v},\vec{w}\rangle=\alpha\langle\vec{v},\vec{w}\rangle=\langle\vec{v},\alpha\vec{w}\rangle$
즉, '''내적'''은 양정치(positive definite)(kms: 양의 정부호)이고 쌍선형(bilinear)(kms: 이중선형의, 쌍선형의)인 대칭(symmetric) 함수.
[[대칭성,symmetry]]
(AnamLectureNotesVol1_20200210.pdf)

= 크기(norm)와의 관련 =
$\vec{x}\cdot\vec{x}=||\vec{x}||^2$

rel. [[노름,norm]]

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Inner_Product_Norm

= 코시-슈바르츠 부등식과의 관련 =
$\forall\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.
 $|\vec{x}\cdot\vec{y}|\le ||\vec{x}|| \, ||\vec{y}||$
단, 등호는 $\vec{x},\vec{y}$ 중 하나가 다른 것의 실수배이거나, 둘 중의 하나가 $\vec{0}$ 일때 성립한다.

이로부터, $\mathbb{R}^n$ 의 0이 아닌 벡터 $\vec{x},\,\vec{y}$ 에 대하여
 $-1\le \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{||\vec{x}|| \, ||\vec{y}||}\le 1$
이므로,
 $\cos\theta=\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{||\vec{x}|| \, ||\vec{y}||},\; 0\le\theta\le\pi$
를 만족하는 실수 θ가 단 하나 존재한다.

( 증명: [[http://matrix.skku.ac.kr/sglee/linear/ocu/img/pf3-4-3.gif]] )

See [[코시-슈바르츠_부등식,Cauchy-Schwartz_inequality]]

= 벡터가 이루는 각(사이각)과의 관련 =
$\forall\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n$ 에 대해
 $\vec{x}\cdot\vec{y}=||\vec{x}||\,||\vec{y}||\cos\theta,\;0\le\theta\le\pi$
인 θ를 x와 y가 이루는 각(angle)이라 한다. θ에 대해 나타내면,
 $\theta=\cos^{-1}\left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{||\vec{x}||\,||\vec{y}||}\right)$

See [[각,angle]]

= 직교 =
특히, x·y=0일 때 x와 y는 서로 직교한다고 한다.

= 평행 =
적당한 실수 k에 대하여 x=ky인 경우에 x는 y와 평행하다고 한다.
## }

i.e.
= 벡터의 내적과 수직/평행 조건의 관계 =
영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a},\vec{b}$ 에 대해
 * 수직 조건 : $\vec{a}\bot\vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0$
 * 평행 조건 : $\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=\pm|\vec{a}| |\vec{b}|$

일반적으로, 두 벡터가 이루는 각의 크기가 $\theta$ 일 때
 $\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$
## from 고등학생을 위한 고급미적 p98

= 사영, 정사영과의 관계 =
TBW
[[사영,projection]] [[정사영,orthogonal_projection]]
see https://wikidocs.net/74698

(Fleisch p6 The Dot Product에서:)
The projection of $\vec{A}$ onto $\vec{B}$ : $|\vec{A}|\cos\theta$
multiplied by the length of $\vec{B}$ : $\times|\vec{B}|$
gives the dot product $\vec{A}\cdot\vec{B} \, : \, |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta$


= 함수의 내적 =
두 함수 $f_1(t),\,f_2(t)$ 가 있다면
$f_1(t)=(\cdots,\,f_1(t_1),\,f_1(t_2),\,\cdots)$
$f_2(t)=(\cdots,\,f_2(t_1),\,f_2(t_2),\,\cdots)$
로 생각할 수 있고, 그리하여 그 내적은
$\sum_{k=-\infty}^{\infty} f_1(t_k) f_2(t_k)\to \int f_1(t) f_2(t) dt$

sin과 cos의 내적은 0이 된다. $\int\sin t\cos t dt=0$
----
// tmp from http://kocw.xcache.kinxcdn.com/KOCW/document/2019/chungang/baekchanguk1214/12.pdf def 12.1.1
[[구간,interval]] $[a,b]$ 에서 두 함수 $f_1,f_2$ 의 '''내적'''은
 $(f_1,f_2)=\int_a^b f_1(x)f_2(x)dx$
이 식의 값이 0이면, 두 함수는 구간 $[a,b]$ 에서 직교한다(orthogonal). (See [[직교성,orthogonality]])

rel. [[직교집합,orthogonal_set]] [[orthonormal_set]]

= bra-ket notation과의 관계 =
rel. [[브라켓표기법,bra-ket_notation]]

bra벡터와 ket벡터의 곱은 '''내적'''과 같은데... 나중에 정확히. tbw

= PL의 내적 문법/함수/... =
[[넘파이,NumPy]] : {{{np.inner(v, w)}}}

= Ref =
[[http://matrix.skku.ac.kr/sglee/linear/ocu/20403.html]]

----
Twins:
 [[WpEn:Inner_product]]
 [[Namu:내적]]
 https://everything2.com/title/inner+product

https://planetmath.org/innerproduct
https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Inner_product
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Inner_Product

Compare:
 [[외적,outer_product]]

Up:
 [[선형대수,linear_algebra]]
 [[벡터의_내적과_외적]]
{
내적은 두 벡터를 입력하여 하나의 실수를 출력하는 연산
 $\cdot\,:\,\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$
외적은 두 벡터를 입력하여 다른 벡터를 출력하는 연산
 $\times\,:\,\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$
(Ivan Savov p212)
}
 [[이항연산,binary_operation]] > [[곱,product]]
 [[다변수함수,multivariable_function]]