단위벡터,unit_vector

크기가(노름,norm이) 1인 벡터.

임의의 벡터 x(≠0)에 대하여 u=(1/||x||)x단위벡터.
임의의 벡터 $\vec{x}(\ne\vec{0})$ 에 대하여 $\vec{u}=\frac1{||\vec{x}||}\vec{x}$단위벡터.

영벡터가 아닌 벡터 $\vec{v}$ 에 대해 같은 방향의 단위벡터는 $\vec{v}$ 를 벡터의 크기로 나누어 주면 얻어진다. 다시 말해
$\vec{u}=\frac{\vec{v}}{||\vec{v}||},\quad\quad \vec{v}\ne\vec{0}$
$\vec{v}$ 와 같은 방향의 단위벡터이다.


$\vec{A}$ 의 단위벡터 $\vec{a_A}$ 는, 크기가 1이고 방향이 $\vec{A}$ 와 같은 벡터로 정의.
$\vec{a_A}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}=\frac{\vec{A}}{A}$
여기서
$\vec{A}$ : 벡터 A
$A=|\vec{A}|$ : 벡터 A의 크기

$|\vec{a_A}|=1$
$\vec{A}=A\vec{a_A}$

(Sadiku 5e 1.4 단위벡터)


특히 ....다음은 각 축,axis 방향으로 크기가 1임. q:이름?? 표준기저,standard_basis? (goto 기저,basis) 표준단위벡터,standard_unit_vector AKA 기본단위벡터(현재 아래 섹션에 있음) ?
$\hat{x}=(1,0,0)$
$\hat{y}=(0,1,0)$
$\hat{z}=(0,0,1)$

다른 표현
$\hat{\rm i},\hat{\rm j},\hat{\rm k}$
$\hat{a_x},\hat{a_y},\hat{a_z}$
$\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$

같은 A를 나타내는 두 가지 표기:
$\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)$
$\vec{A}=A_x\hat{x}+A_y\hat{y}+A_z\hat{z}$

단위벡터의 선형결합,linear_combination으로 임의의 벡터를 나타낼 수 있음.
$\vec{A}=A_x\hat{x}+A_y\hat{y}+A_z\hat{z}$




1. 방향과의 관계


단위벡터의 용도가 보통 방향을 나타내는 것?
{
ex. 물리에서, 입자 운동이 매개변수방정식으로 나타난 경우.
위치가 $\vec{r}(t)$ 이고 (위치벡터,position_vector)
속도가 $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}$ 일 때 (속도,velocity)
속도 방향 단위벡터 $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ 는 시간 $t$ 에서 운동방향.

이것은 궤적,trajectory일 때고, 당연히 같은 아이디어를 매개변수방정식,parametric_equation으로 나타난 곡선,curve접선,tangent_line 방향 벡터(접벡터,tangent_vector, 단위접벡터,unit_tangent_vector)일 때도 적용 가능.
}


2. 벡터와 단위벡터의 스칼라곱/내적

단위벡터 방향으로의 component를 구하는 것임.
See MIT_Multivariable_Calculus#s-2의 Component...부분.
정사영 관련. curr see 사영,projection

3. 단위벡터간의 스칼라곱/내적

4. 단위벡터간의 벡터곱/외적

5. 기본단위벡터

$\mathbb{R}^n$단위벡터 중에서 다음 n개의 벡터
$e_1=(1,0,\cdots,0),\;e_2=(0,1,\cdots,0),\;\cdots,\;e_n=(0,0,\cdots,1)$
을 기본단위벡터라 한다. 이것들이 서로 직교함은 쉽게 알 수 있다.

$\mathbb{R}^n$ 의 임의의 벡터 $\vec{x}=(x_1, x_2, \cdots,x_n)$ 를 기본단위벡터를 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$\vec{x}=x_1e_1 + x_2e_2 + \cdots + x_ne_n$

$\mathbb{R}^3$ 인 경우는 $e_1, e_2, e_3$ 대신에 각각 $i, j, k$ 를 쓰기도 한다.

6. Unit-vector notation

$\vec{a}=a_x\hat{\rm i}+a_y\hat{\rm j}+a_z\hat{\rm k}$
vector components:
$a_x\hat{\rm i},\, a_y\hat{\rm j},\, a_z\hat{\rm k}$
scalar components:
$a_x,\, a_y,\, a_z$
(Halliday)

7. 위치벡터 and 단위벡터

8. 단위접벡터 unit tangent vector

9. 단위법선벡터 unit normal vector

10. Misc, etc

표기가 매우 다양 (or 난립)

ux/y/z, ax/y/z, e1/2/3, i/j/k or x/y/z 위에 ^ (또는 )
(usually typeset in upright bold serif(roman, rm))

벡터의 정규화,normalization가 방향이 같은 단위벡터로 만드는 게 맞는지? Called vector_normalization? CHK
'단위벡터화'라는 말도 쓰는듯 .. src: https://www.samsungsds.com/kr/insights/mathematics_for_ML.html ... Google:단위벡터화
2023-07-04 맞는듯. https://mathworld.wolfram.com/NormalizedVector.html 보면 normalized_vector = unit_vector. ("It is also called a unit vector.") Same direction but with 노름,norm(길이,length) 1로 만드는 것.
QQQ 근데 그러고보니 수학 용어 norm은 normalization에서 나온건가? Google:etymology of norm보면 일반적인 영어의 norm얘기는 나오는데... Google:etymology of norm math
chkout WtEn:norm