단조화운동,simple_harmonic_motion,SHM

단조화 운동 (Simple Harmonic Motion)
AKA 단진동, 단순조화운동 (물리학백과)

복원력이 변위에 비례하는 진자,pendulum의 주기운동,periodic_motion.

복원력이 진동 중심에서는 0이고, 진동의 양 끝에서는 최대.
진자의 속도속력은 진동 중심에서 최대, 진동의 양 끝에서는 0.

훅_법칙,Hooke_law을 따르는 계(system)의 진동운동(vibratory motion).
그래프가 sine/cosine을 그리므로 sinusoidal motion이라고도 함.



$\theta=\omega t$
이므로
$x=A\sin\theta=A\sin\omega t$
인 것이다.



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1. TOCLEANUP


비슷한 내용 at 단순조화진동,simple_harmonic_oscillation 합칠까??
아니, 포인트가 다른 듯 한데..


진동은 안정된 평형점(stable equilibrium) 근처에서 일어난다.
복원력(restoring force): 평형점으로 돌아오도록 작용하는 힘
작은 진폭일 경우 선형으로 가정할 수 있음.
복원력의 크기가 평형점에서 벗어난 변위에 비례할 때 단조화 운동이 일어난다.

$x=A\cos(\omega t+\phi)$

  • $A$ : 진폭
  • $\omega t+\phi$ : 위상
  • $\phi$ : 위상상수 (t=0일 때의 위치를 결정)
    t=0을 대입해 보라.

T: 주기
한 주기 움직일 때 위상이 $2\pi$ 만큼 증가하므로,
$\omega(t+T)+\phi = \omega t+2\pi+\phi$
$=\omega t+\omega T+\phi$
따라서 $\omega T = 2 \pi$ 를 여기서 얻을 수 있다?
각속도,angular_velocity의 정의와, 한 바퀴 회전을 생각하면
$\omega=\frac{\theta}{t}=\frac{2\pi}{T}$
따라서
$\omega T=2\pi$
$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$
$T=\frac{2\pi}{\omega}$
먼저 알아둘 것:
$\theta=\omega t$

각속도 ω, 반지름 A인 원운동, 시간 t동안 각 θ만큼 회전, 변위 x는
$x=A\sin\theta=A\sin\omega t$
$v=A\omega\cos\theta=A\omega\cos\omega t$
$a=-A\omega^2\sin\omega t=-\omega^2x$
단진동하는 물체 질량이 m이면 작용하는 힘 F는
$F=ma=-m\omega^2 x$
여기서 $m\omega^2=k$ 로 놓으면
$F=-kx$ (복원력 형태)
이것을 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ 에 대입하면
$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
주기는 질량이 클수록, 용수철상수가 작을수록 커짐




위에서
$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$
였는데 이걸 미분하면
$v(t)=-\omega A\sin(\omega t+\phi)$
(위치 함수와 90­° 위상차)
또 하면
$a(t)=-\omega^2 A\cos(\omega t+\phi)$
(위치 함수와 180° 위상차)
따라서,
$a(t)=-\omega^2 x(t)$
가 성립.

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2. 용수철에 매달린 물체의 운동


훅_법칙,Hooke_law에 의해 (용수철 상수 k)
$F=-kx$
이고, 용수철에 질량 m인 물체가 매달려 있다면
$F=ma=m\frac{d^2x}{dt^2}$
이므로, 물체의 운동방정식은
$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$
이 되어 물체의 위치 x가 시간 t에 따라 변하는 함수 x(t)를 구하는 문제가 된다.
이것은
$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0$
꼴의 미분방정식,differential_equation으로 쓸 수 있고 여기서 오메가(각진동수,angular_frequency)는
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
이다. 위 미방의 해는
$x(t)=A\sin(\omega t+\phi)$

즉 조화진동의 운동식은
$x(t)=A\sin(\omega t+\phi)$
여기서 시간 t가 2π/ω만큼 지나면 같은 운동의 양상이 거듭된다. 이 시간이 주기.


(이상 http://physica.gsnu.ac.kr/ 조화진동 항목 인용)
한 주기를 움직이면 위상이 $2\pi$ 만큼 증가하므로,
$\omega(t+T)+\phi=\omega t+\phi+2\pi$
따라서
$T=\frac{2\pi}{\omega}$

그외

$T=\frac{2\pi}{\omega}$

각진동수 $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$


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3. 진동에너지

물체가 진폭 A, 각진동수 $\omega=\sqrt{k/m}$ 의 단조화진동을 한다면 에너지는 위치함수로부터 다음과 같이 계산할 수 있다.
$x(t)=A\sin(\omega t+\phi)$
$v(t)=A\omega\cos(\omega t+\phi)$
$a(t)=-A\omega^2\sin(\omega t+\phi)$
운동에너지는
$E=.....$ 어쩌고..
계산하면 $\frac12kA^2$ 이란다.

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4. tmp

=단순조화진동?

$\theta=\omega t$

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5. 단순조화파동,simple_harmonic_wave

{
2018-11-23
$y(x,0)=A\cos kx$ 라 두면 ( $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ : 파동수 )
... https://blog.naver.com/hafs_snu/220731338813 베끼려다 귀찮아 취소


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6. 오메가 ω

책마다 각속도,angular_velocity라고 하는 곳도 있고, 각진동수,angular_frequency라고 하는 곳도 있음.

질량-용수철 시스템의 경우 $\omega=\sqrt{k/m}$
진자인 경우 $\omega=\sqrt{g/l}$

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7. damped simple harmonic motion

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8. Comparing SHM with UCM

College Physics 9e vol1 p.479,
13.3 Comparing Simple Harmonic Motion with Uniform Circular Motion


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9. 참고 links ko