∇, $\nabla$ 또는 $\vec{\nabla}$

정의
$\nabla\eq\left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$

이거 맞나 CHK
$\nabla\eq\hat{\imath}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{\jmath}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial}{\partial z}$
i,j,k를 오른쪽에 쓸 수도 있지만, 이렇게 왼쪽으로 쓰는 게 더 좋아 보임. 왜냐면 기울기,gradient를 표현할 때 대상을 바로 이렇게 오른쪽에 쓸 수 있기 때문 (중요한 건 아니지만)
$\nabla Q\eq\hat{\imath}\frac{\partial Q}{\partial x}+\hat{\jmath}\frac{\partial Q}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial Q}{\partial z}$

$\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}$ (Cartesian)
TBW (cylindrical)
(spherical)

Differential_operator

3차원 공간에서만? - No, n차원에서 정의 가능. 다음과 같이.

$\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial}{\partial x_n}\right)$

기하학적으로, 각 (축,axis이나 기저,basis)에 대한 편미분,partial_derivative 연산자로 만든 벡터,vector??? CHK

AKA gradient operator

직각좌표계에서

$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\vec{a_x}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{a_y} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{a_z}$

원통좌표계에서

$\nabla=\vec{a_{\rho}}\frac{\partial}{\partial\rho}+\vec{a_{\phi}}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\phi}+\vec{a_z}\frac{\partial}{\partial z}$

구좌표계에서

$\nabla=\vec{a_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{a_{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\vec{a_{\phi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$

(Sadiku 식 3.16, 3.19, 3.23)

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응용 ¶

$\operatorname{grad} f$	$\nabla f$	기울기,gradient
$\operatorname{div} f$	$\nabla\cdot f$	발산,divergence
$\operatorname{curl} f$	$\nabla\times f$	회전,curl

스칼라 V의 기울기	∇V
벡터 A의 발산	∇·A
벡터 A의 회전	∇×A
스칼라 V의 라플라시안	∇²V

(Sadiku 3.4)

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2차원의 경우 ¶

정의는 이렇게 되고

$\nabla=\left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y} \right)$

기울기,gradient는

$\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

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Properties ¶

⑴ $\nabla(U+V)=\nabla U+\nabla V$
⑵ $\nabla(UV)=U\nabla V+V\nabla U$
⑶ $\nabla V^n=nV^{n-1}\nabla V$
(Ulaby 7e p156 3-4.2)
// 생각:

미분연산자와 매우 비슷.

tmp see also 기울기,gradient#s-4 (Thomas)

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tmp: 여러 좌표계에서 ¶

CLEANUP; see https://youtu.be/IMeFstR6g8Q
unit vector를 $\hat{a_x},\cdots$ 대신 편의를 위해 $\hat{x},\cdots$ 로 적음

직각

$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{z}$

원통

$\nabla=\frac{\partial}{\partial\rho}\hat{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\phi}\hat{\phi} +\frac{\partial}{\partial z}\hat{z}$

구

$\nabla=\frac{\partial}{\partial r}\hat{r}+\frac1{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\hat{\theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\hat{\phi}$

즉 앞에 붙는게