로그함수,logarithmic_function


고딩에선 지수함수,exponential_function를 먼저 가르치고 그 역함수로 정의하는데, 대1에선 이렇게.
자연로그함수 natural logarithmic function의 정의
$\ln x \;:=\, \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt \;\;\; (x>0)$

그 다음 자연로그의_밑,e$\ln e=1$ 가 되는 수 $e$ 로 정의.

위 정의 식에 따라서
$\ln(1)=0$
$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1{x}$




1. 너무 쉬운

당연히 밑은 0이 아닌 양수여야 함

정의역: 양의 실수 전체
치역: 실수 전체
x절편: (1, 0)

2. 로그함수의 미분

미적분학의기본정리,FTC의 첫번째에 의해
$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{d}{dx}\int_1^x \frac1t dt = \frac1x$

$a>0,a\ne1$ 일 때
$x>0$ 이면, $\frac{d}{dx}(\log_a x)=\frac1{x\ln a}$
$x\ne0$ 이면, $\frac{d}{dx}(\log_a|x|)=\frac1{x\ln a}$

연쇄법칙,chain_rule을 고려하면
$\frac{d}{dx}\ln u=\frac1u\frac{du}{dx}\;\;\;(u>0)$

미분,derivative

(주의) 자연로그함수의 미분
$\ln(x)$$\ln(bx)$ 의 미분이 같다. $bx>0$ 일 때,
$\frac{d}{dx}\ln(bx)=\frac1x$
pf.
$=\frac{1}{bx}\cdot\frac{d}{dx}(bx)=\frac{1}{bx}\cdot b=\frac1x$

3. 여러 로그 및 그 표준 표기

$\log_a x$ log to the base $a$ of argument $x$
$\ln x=\log_e x$ natural log of $x$
$\lg x=\log_{10}x$ decimal/common log of $x$
$\mathrm{lb}x=\log_2 x$ binary log of $x$
ISO 80000-2 기준

4. 로그미분법

양변에 로그,log를 취하면 곱셈→덧셈, 나눗셈→뺄셈, 거듭제곱→상수배로 간단히 바뀐다는 사실을 이용하는 미분법 - chk

미적과행렬 p106

$x<0$ 일 때
$\frac{d}{dx}(\ln(-x))=\frac{1}{(-x)}\cdot\frac{d}{dx}(-x)=\frac1{x}$
이므로 $x\ne 0$ 일 때
$\frac{d}{dx}(\ln|x|)=\frac1{x}$
따라서
$\frac{d}{dx}(\ln|q(x)|)=\frac{q'(x)}{q(x)}$
이 사실을 이용하면 여러 인수가 곱해진 복잡한 함수의 미분을 간편하게 할 수 있다. 즉
$f(x)=f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x)$
에 대하여
$\ln|f(x)|=\ln|f_1(x)|+\ln|f_2(x)|+\cdots+\ln|f_n(x)|$
이므로
$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f_1'(x)}{f_1(x)}+\frac{f_2'(x)}{f_2(x)}+\cdots+\frac{f_n'(x)}{f_n(x)}$
이다. (분모의 함수값이 0이 아닐 때만 성립)
이러한 계산법을 로그미분법이라 하고, $\frac{f'(x)}{f(x)}$$f(x)$ 의 로그미분(logarithmic derivative)이라고 한다.

2022-01-19
see 미분,derivative > logarithmic_derivative
logarithmic_differentiation - WpEn:Logarithmic_differentiation

5. Stewart 1.5 Inverse Functions에서

$\begin{matrix}\log_b(b^x)=x\;\;\;&\textrm{for every }x\in\mathbb{R}\\\textrm{ }\\b^{\log_b x}=x\;\;\;&\textrm{for every }x>0\end{matrix}$
정의역에 차이가 생기는 이유를 정확히. TBW

$\begin{matrix}\ln(e^x)=x\;\;\;&\textrm{for every }x\in\mathbb{R}\\\textrm{ }\\e^{\ln x}=x\;\;\;&\textrm{for every }x>0\end{matrix}$

그리고 바로 위에서 $x>0$ 일 때 $x^r=e^{\ln(x^r)}=e^{r\ln x}$ 이므로
$x^r=e^{r\ln x}$

QQQ 이것의 함의는 '지수 꼴'은 무조건 '밑을 e로 하는 지수 꼴'로 변환할 수 있다는 것? CHK

6. 관련


복소해석적 정의도 있는데 TBW. 일단은 see backlink.
복소로그함수
{
Namu:복소로그함수
MathNote:복소로그함수
이것은 다가함수,multivalued_function. 개수가 무한히?? 항상?
...via [https]i^i는 무엇일까 - 답은 무한히 많음. 그 중 주치,principal_value로 실수도 있다는 것이 특기할 점.
}