미분,derivative

여기서는 단어_미분(goto 미적분,calculus#s-3)의 여러 뜻 중 도함수를 얘기 // RENAMETHISPAGE?

$f$ 의 도함수는 $f'$ 로 표기하며, 다음 극한,limit으로 정의됨
$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

이게 존재하면 "f is differentiable at x"라고 함.

미분,differentiation은 도함수(derivative)를 찾는 행동.

$x=a$ 로 두면, $f'(a)$ 는 점,point $(a,f(a))$ 에서 접선,tangent_line의 기울기,slope.

함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 미분계수,differential_coefficient는 $f'(a)$ 임.

도함수를 찾기 전단계의 함수가 원시함수. 원시함수는 하나만 존재하지 않고 임의의 상수를 더한(상수의 차이) 만큼만 다른 무한개가 있음. 즉 임의의 두 원시함수의 차이는 상수만큼임. - 관련: 적분,integration

Sub:
일계도함수 Srch:first_derivative
(ex. 속도,velocity는 시간에 대한 변위,displacement의 일계도함수.)
https://proofwiki.org/wiki/Definition:First_Derivative
이계도함수 Srch:second_derivative
WpKo:이계도함수
WpEn:Second_derivative
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Second_Derivative
(ex. 가속도,acceleration는 시간에 대한 변위,displacement의 이계도함수, 속도,velocity의 일계도함수.)
편미분,partial_derivative
방향도함수,directional_derivative
전미분,total_derivative
logarithmic_derivative 로그미분 or 로그도함수
{
see also 로그함수,logarithmic_function#s-4
rel. WpEn:Logarithmic_differentiation
WpEn:Logarithmic_derivative
}
functional_derivative
범함수미분? 범함수도함수? // (tmp) kms functional derivative => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=functional derivative
도함수(=미분,derivative)의 일반화. 변분법,variational_calculus에 등장. 여기선 함수,function를 변수,variable에 대해 미분,differentiation하는 대신에, 범함수,functional를 함수,function에 대해 미분한다. (MW)
https://mathworld.wolfram.com/FunctionalDerivative.html
https://ncatlab.org/nlab/show/functional derivative
WpEn:Functional_derivative
… Google:functional derivative
Frechet_derivative
프레셰_도함수?
Fréchet derivative
전미분,total_derivative을 바나흐_공간,Banach_space = complete_normed_space 로 일반화한 것.
https://freshrimpsushi.github.io/posts/frechet-derivative/
WpKo:프레셰_도함수
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fréchet_derivative - strong derivative
https://mathworld.wolfram.com/FrechetDerivative.html
https://ncatlab.org/nlab/show/Fréchet derivative
… Google:frechet derivative
Gateaux_derivative
Gâteaux derivative
가토 도함수 via https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=gateaux
방향도함수,directional_derivative의 일반화? chk
https://mathworld.wolfram.com/GateauxDerivative.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Gâteaux_derivative - weak derivative
… Google:gateaux derivative
위 둘 {Gateaux, Frechet} derivative에 대한 한국어 글 - https://elementary-physics.tistory.com/52
Radon-Nikodym_derivative - writing

도함수의 일반화 - WpEn:Generalizations_of_the_derivative
ex.
subderivative - 볼록해석,convex_analysis 쪽에서 사용하는 derivative의 일반화? curr at Srch:subgradient
weak_derivative - WpKo:약도함수 WpEn:Weak_derivative



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1. 고계도함수 (high order derivatives)

$y'$ = the first derivative of y
$y''$ = the second 〃
$y'''$ = the third 〃
...
$y^{(n)}$ = the nth 〃

2nd derivative test:
third derivative test : 변곡점,inflection_point과 관련....
TBW

[edit]

1.1. 일계도함수

[edit]

1.2. 이계도함수 second derivative, second order derivative

[edit]

1.3. 고계도함수

[https]수학백과: 고계미분계수 참조.... 단 저기 설명 대상이 고계도함수가 아니라 고계미분계수 임에 주의

[edit]

2. 미분공식들

상수함수의 도함수는 0
$\frac{d}{dx}c=0$

항등함수의 도함수는 1
$\frac{d}{dx}x=1$

지수함수,exponential_function의 도함수는 자기 꼴이 그대로 포함
$\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$

로그함수,logarithmic_function의 도함수는 분수 형태
$\frac{d}{dx}\log_a x=\frac1{x\cdot\ln a}$
$\frac{d}{dx}\ln x=\frac1{x}$
$\ln x$ 와 $\ln(-x)$ 의 도함수가 같음
$ y = \ln|x| \quad \Rightarrow \quad y ' = \frac1x $
$ \left( x<0: \quad y=\ln(-x), \quad y' = \frac{(-x)'}{-x} = \frac1x\right)$

곱의 미분법(두 함수의 곱의 미분법)의 다른 이름은 라이프니츠 정리, 라이프니츠 법칙.
[https]수학백과: 라이프니츠 정리
이 식을 적분하면 바로 부분적분,integration_by_parts방법이 됨.
Derivative Product Rule:
$u,v$ 가 $x$ 에서 미분가능하면 $uv$ 도 미분가능하며
$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$
$(uv)'=uv'+vu'$ (in prime notation)
$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$ (in function notation)
(Thomas 11e)

몫의 미분법(두 함수의 분수 꼴의 미분법)
[https]수학백과: 몫의 미분법
Derivative Quitient Rule
$u,v$ 가 $x$ 에서 미분가능하고 $v(x)\ne 0$ 이면 몫,quotient $u/v$ 도 $x$ 에서 미분가능하며
$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$
$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ (in function notation)
(Thomas 11e)

합성함수의 미분법
$y=f(u),\; u=g(x)$ 가 미분 가능하면
$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)=f'(g(x))g'(x)$
See 연쇄법칙,chain_rule

매개변수로 표현된 함수의 미분법
$x=f(t),\;y=g(t)$ 일 때
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$

역함수의 미분법
$y=f(x)$ 가 미분 가능하고 $f(a)=b$ 일 때
$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}=\frac{1}{f'(a)}$
CHK WHY
......
역함수,inverse_function의 도함수
{
함수 $f$ 가 미분가능하고 역함수 $g=f^{-1}$ 를 가지면,
$\frac{d}{dx}\left[f^{-1}(x)\right]=g'(x)=\frac1{f'(g(x))$
단, $f'(g(x))\ne 0$

증명: RR:역함수의_도함수(미분)_증명
}
tmp from https://blog.naver.com/dydrogud22/110189290591 맨아래
{
$f(g(x))=x,\;g(x)=f^{-1}(x)$ 이고 기타 미분가능 등 조건들 성립하면
$\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{d}{dx}x$
$f'(g(x))g'(x)=1$
$f'(g(x))\ne0$ 이면,
$g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$
$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
}

역삼각함수의 미분법
$\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$
$(-1<x<1)$
$\frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$
$(-1<x<1)$
$\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac1{1+x^2}$
$(-\infty<x<\infty)$

지수 비슷한 (?? 멱함수?) $f(x)^{g(x)}$ 꼴의 도함수
https://iseulbee.com/archives/derivatives-of-power-functions/

[edit]

3. 미분(derivative)의 표기법, 도함수의 표기법

Lagrange
1계미분: $f'$
2계미분: $f''$
n계미분: $f^{(n)}$
Leibniz
$x$ 에 대해 미분할 때,
1계미분: $\frac{df}{dx}$
2계미분: $\frac{d^2f}{dx^2}$
n계미분: $\frac{d^nf}{dx^n}$
(Lagrange 표기법에 비해서: 번거롭다는 단점, 종속변수,dependent_variable가 명확하게 나타난다는 장점.)
Newton
이 때는 시간,time $t$ 에 대한 미분을 함의하므로, 주로 물리에서만 쓰임.
1계미분: $\dot{x}$
2계미분: $\ddot{x}$
Euler
$Df$
첨자 표기법 subscript notation?
$f_x$

편미분의 경우 어떤 변수에 대해 미분하는지가 중요하므로 Leibniz표기법과 첨자표기법이 주로 쓰이며 Leibniz표기법의 경우 $d$ 자리에 $\partial$ 을 쓴다. See 편미분,partial_derivative#s-1



Up: 미적분,calculus, esp. differential calculus

Related: 영단어 derivative는 미적분학·해석학에서 주로 미분·도함수로 번역되며 그 외에선 대개 유도,derivation로 번역됨.