미분방정식,differential_equation


독립변수,independent_variable 개수에 따라
  • 상미분방정식 : 독립변수가 1개
  • 편미분방정식 : 독립변수가 2개 이상

계수(order)에 따라 : 1계, 2계, ..., n계

선형성,linearity에 따라 : 선형미분방정식 vs 비선형미분방정식
}

tmp; 정리.
{
MathNote:미분방정식




Zeta:상미분_방정식 ordinary_differential_equation, ODE
first-order_ordinary_differential_equation first-order_ODE
first-order ordinary differential equation
https://mathworld.wolfram.com/First-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html

Zeta:선형_방정식 - 한줄 "왼쪽 식과 오른쪽 식이 둘 다 변수의 선형 함수를 갖는 방정식"


Zeta:선형_상미분방정식 linear_ordinary_differential_equation, linear_ODE
{
$n$ 계 상미분방정식(nth-order ODE) $F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$ 에서 $F$ 가 $y,y',\cdots,y^{(n)}$ 에 대해 선형이면(선형성,linearity)
$n$ 계 선형 상미분방정식.




MathNote:이계_선형_미분방정식
Zeta:이계_선형상미분방정식
linear_second-order
$a_2(x)\frac{d^2y}{dx^2}+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$

선형 상미분방정식의 두 특성:
  • 종속변수 $y$ 와 그것의 모든 도함수들 $y',y'',\cdots,y^{(n)}$ 은 1차이다. 즉 $y$ 를 포함하는 각각의 항들은 1차 거듭제곱이다.
  • $y',y'',\cdots,y^{(n)}$ 의 계수함수 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 들은 독립변수 $x$ 만의 함수이다.
비선형 상미분방정식은 단순히 선형이 아닌 상미분방정식을 말한다. (Zill)

비선형 상미분방정식에는 '비선형 항'이 있어서 구별할 수 있는 듯.
비선형 상미분방정식의 예와 그 방정식이 비선형인 이유 example. (Zill)
비선형 ODE 비선형 항 설명
$(1-y)y'+2y=e^x$ $(1-y)$ $y'$ 앞의 계수함수는 $x$ 만의 함수여야 하는데 $y$ 를 포함하고 있음
$\frac{d^2y}{dx^2}+\sin y=0$ $\sin y$ $y$ 에 대한 선형이 아님
$\frac{d^4y}{dx^4}+y^2=0$ $y^2$ 거듭제곱이 1이 아님 .... // 참고로, $y''$ 즉 $y^{(2)}$ 가 저 자리에 있었으면 선형이지만 $y^2$ 가 있으니 비선형.
}

Zeta:초기하_미분방정식 hypergeometric_differential_equation, hypergeometric_equation
rel. 초기하급수,hypergeometric_series-writing
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation - Gauss equation
2nd order ODE.

http://mathonline.wikidot.com/differential-equations - good, 정리 + 간단한 예제


tmp
{
검색으로 나온
knu 2011-2 미분방정식 시험 3 pdf => http://bh.knu.ac.kr/~ilrhee/lecture/exam/2011-2-mibun-exam3-ans.pdf
URL에서
http://bh.knu.ac.kr/~ilrhee/
경북대 이일수 교수(물리) 홈페이지. 일반물리 / 현대물리 / 미분방정식 / 전자회로 강의 자료 있음.
}
tmp links ko
{
참새와 함께하는 공학수학 - ODE 편: 53개의 글
http://asq.kr/Zv6kf


미분방정식 22개의 글
https://blog.naver.com/leesu52/90176712745

미분방정식 18개의 글
https://blog.naver.com/qio910/222038668806

}

Sub:
{
미방 해결 기술들 techniques:

변수분리법 separation_of_variables
WpKo:변수분리법
WpEn:Separation_of_variables

미정계수법 method_of_undetermined_coefficients
writing

ㅁㅁ감소법? (order를 뭘로 번역하느냐에 따라 계수감소법 or 차수감소법, 근데 계수는 coefficient랑 번역이 겹치고..) reduction_of_order order_reduction
writing

매개변수변환법(번역은 wpko) variation_of_parameters
writing

프로베니우스 방법/해법
Frobenius_method
특정 종류의 linear ODE를 멱급수전개,power_series_expansion로 푸는 방법
WpKo:프로베니우스_방법
WpEn:Frobenius_method


}

그냥 방정식 : 알려지지 않은 수(미지수)를 가진....chk
미분 방정식 : 알려지지 않은 함수와, 그것의 도함수들 중 하나 이상을 가진 방정식

미지함수의 도함수(미분,derivative)를 포함하는 방정식

ex.
$x+1=2$ 의 해는 수 하나
... 의 해는 두 수
$x^2-y^2=1$ 의 해는 두 수 (수의 순서쌍)의 집합
$f'(x)=f(x)$ 의 해는 함수 $f(x)=Ce^x$ (의 집합?)

다음 항상 옳은지 CHK
해,solution
그냥 방정식 숫자
미분 방정식 함수
차분 방정식 수열
(page links: 방정식,equation, 미분,differential, 차분,difference=차이,difference, 차분방정식,difference_equation, 수,number, 함수,function, 수열,sequence)

종속변수 $y$ 의 도함수를 포함하는 방정식, 즉 $y',\frac{dy}{dx}$ 등을 포함하는 방정식
하나 이상의 독립변수에 대해, 하나 이상의 종속변수의 도함수(derivative)를 포함하는 방정식
(See also 독립변수와_종속변수)
종속변수를 독립변수에 대해 미분한 도함수를 포함하는 방정식

미분이란 변화율이고,
미분방정식이란 변화율의 방정식

풀 때
방향장,direction_field과 integral curve(적분 곡선, 해곡선)
를 그리기도 한다. 해의 정성적인 성질을 파악할 수 있다. 구체적인 해를 구하기는 힘들다.


[edit]

1. 미분방정식의 분류

상미방: 독립변수가 하나인 미분방정식
편미방: 독립변수가 둘 이상인 미분방정식

선형미방: 종속변수가 1차인 항만으로 구성된 미방
비선형미방: 종속변수가 2차 이상인 항이 하나라도 포함된 미방

제차미방: 독립변수만으로 된 항이 없는 미방
비제차미방: 독립변수만으로 된 항이 포함된 미방


[edit]

1.1. 계수, 차수, m계 n차

계수 order 최대 미분 횟수. 방정식에 나타난 최대 미분 수. 미분방정식에 나타난 가장 높은 미분 횟수.
차수 degree 계수가 가장 높은 도함수의 거듭제곱수.
즉 계수(order)를 먼저 보고 그 다음 그 항의 차수(degree)를 본다. 계-차 순서임. 계차수열을 연상?

예
$y''-\sin x=0$ 2계 1차
$(y'')^3+8y=0$ 2계 3차
${\partial^2z\over \partial x^2}+{\partial^2z \over \partial y^2}=8x^2+10xy$ 2계 1차

종속변수(보통 y) 차수(degree)가 1차이면 선형, 아니면 비선형.

[edit]

1.1.1. 1차 미방

일반 형태
$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$
인데 적분으로 풀 수 있는 경우가 많음. 2차 이상은 힘듦. [1]

1차 미방을 적분으로 푸는 순서
$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$
$dy=f(x,y)dx$
$\int dy=\int f(x,y)dx$
즉 변수분리형 얘기임. DELME

[edit]

1.2. form (Zill)

n계 미방의 general form:
$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$
n계 미방의 normal form:
$\frac{d^ny}{dx^n}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$
즉, 1계 미방의 normal form:
$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$
2계 미방의 normal form:
$\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y,y')$

[edit]

1.3. form

derivative form
$y''+y'=0$
differential form
$\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}=0$
미분연산자,differential_operator
$D^2y+Dy=0$

[edit]

1.4. 상미분방정식(ODE)과 편미분방정식(PDE)

상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE
독립 변수 1개
종속 변수 1개 이상
한 개의 독립변수에 대한 도함수를 포함하는 방정식. - chk

편미분방정식,partial_differential_equation,PDE
독립 변수 2개 이상
종속 변수 1개 이상
두 개 이상의 독립변수에 대한 도함수(편미분)을 포함하는 방정식

편미방 중에서,
선형 편미방: 풀고자 하는 함수의 편도함수들과 함수의 차수가 모두 1차
비선형 편미방: 그렇지 않은 경우

[edit]

1.5. 제차(homogeneous), 비제차(nonhomogeneous) 미분방정식

...가 0이면 제차, 아니면 비제차
TBW
참조: {
https://everything2.com/title/Ordinary differential equation
}


$F(y,\cdots,y^{(n)},x)=0$ is called homogeneous if $F(y,\cdots,y^{(n)},x)$ does not contain a term which contains $x$ only.
$x$ 만으로 이루어진 항이 등장하지 않을 때 homogeneous.
Homogeneous가 아니면 inhomogeneous.
Ex.
$y''+y+x^2=0$ 은 inhomogeneous.
$y''+y+\sin y=0$ 은 homogeneous.
(최정환)
[edit]

1.6. 선형/비선형

선형성,linearity 유무에 따라, 선형linear/비선형nonlinear 미분방정식으로 나눔.

선형미분방정식: 종속변수와 그 도함수가 모두 1차인 미방
비선형미분방정식: 선형이 아닌 경우

선형미분방정식: $y,\,y',\cdots,y^{(n)}$ 에 대해 선형
즉 $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)$ 꼴
비선형 미분방정식: 선형이 아닌 방정식

선형이 되기 위해서는 y와 그 도함수가 1차이어야 하며 그 계수가 독립변수에만 의존해야 한다.
linearity: linear한 미분방정식은,
$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)$
특히, 다음 두 가지가 중요
linear first-order (n=1)
$a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$
여기서 $g(x)=0$ 이면 homogeneous, 아니면 nonhomogeneous.
양변을 $a_1(x)$ 로 나누면 다음 standard form이 된다.
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$
linear second-order (n=2)
$a_2(x)\frac{d^2y}{dx^2}+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$
linear하지 않으면 nonlinear.

[edit]

2. 미분,differential을 다루는 법 기초??

$\int f(x)dx=F(x)+C$
근데
$F'(x)=f(x)$
$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$
$dF(x)=f(x)dx$
이므로 위의 식을
$\int dF(x)=F(x)+C$
로 쓸 수 있다.


[edit]

3. 해 (solution)

해,solution(writing)
미분방정식의 해 (solution) : 미분방정식에 대입하면 방정식이 만족되는 것. 함수임. 함수를 미분방정식에 대입하여 (QQQ: 어떤 구간의 모든 점에 대해? 항상 이런 조건? CHK - Stewart 미방 소개 앞부분.) 만족하면 해.

해가 '값'인 그냥 방정식과는 달리, 미분방정식은 해가 '함수' 꼴이므로, 이걸로 곡선,curve 그래프를 그릴 수 있다. 해곡선(solution curve)을 그릴 수 있다. CHK // 해곡선,solution_curve
어떤 경우에 해당?
해곡면 뭐 이런 건 없나?

일반해 (general solution) : 계수만큼 상수를 가진 해
특수해 (particular solution) : 임의의 상수(? 일반해에 나오는 적분상수?)에 특정한 값을 대입한 해
특이해 (singular solution) : 특수해가 아닌 해
보통 일반해 형태로 나타낼 수 없는 경우를 특이해라 하고, 그 외의 의미는 해가 특이점,singularity을 갖는 경우와 해의 유일성,uniqueness이 성립하지 않는 경우의 해를 뜻한다고 함. [2]

일반해,general_solution
특수해,particular_solution
특이해,singular_solution

trivial solution
자명해?

대충내생각, not sure, chk
{
미분방정식의 일반해는 (대체로?) 무한 개의 해를 가질 수 있다... 그래서
암튼 별 의미는 없을것같은데, 일반적으로 어떤 DE의 해의 개수? (cardinality 연산자 써서)로 따지면 |일반해의집합| > |특수해의집합|
자명해,trivial_solution는 일반적으로 별 쓸모가 없는듯??? why?

일반해 : 어떤 (매개변수?)가 아직 정의되지 않고 적분상수처럼 있는, 그래서 경우가 너무 많은, 그런 경우
특수해 : particular. 그것이 특정 값으로 확정/특정되어 해가 특정하게 정해진 그런 경우
특이해 : singular. (어떤 매개변수를 택해도 안 되는, 매개변수로 표현을 할 수 없는)
자명해 : 뻔하고 간단하지만 (대체로) 쓸모는 없는 그런 해

trivial_solution 은 왠지 (방정식 등의) degenerate_case 와 관련이 있나? 그럴 것 같은 느낌
}

explicit solution: $y=\phi(x)$ ex. $y=\cos x$
implicit solution: $G(x,y)=0$ ex. $y=\cos(xy)$

general solution: $y=\cos x+C$
particular solution: $y=\cos x+5$
initial solution이 주어져 있어서 C를 구할 수 있는 경우

singular solution: a solution that cannot be expressed by the general solution



[edit]

3.1. 해의 종류

일반해(general solution)
특수해(particular solution)
특이해(singular solution)
자명해(trivial solution)

chk
{
특수해: 해곡선 solution_curve
일반해: 해곡선의 집합
}

[edit]

3.2. 기본적 미방 4개와 그 해

$\frac{dy}{dx}=ky$ $y(x)=Ce^{kx}$
$\frac{dy}{dx}=-ky$ $y(x)=Ce^{-kx}$
$\frac{d^2y}{dx^2}=-k^2y$ $y(x)=C_1\cos(kx)+C_2\sin(kx)$
$\frac{d^2y}{dx^2}=k^2y$ $y(x)=C_1e^{kx}+C_2e^{-kx}$
or
$y(x)=D_1\cosh(kx)+D_2\sinh(kx)$

[edit]

3.3. 미분방정식의 해

주어진 미분방정식을 만족하는 독립변수와_종속변수 사이의 관계를 얻었을 때 그 관계(방정식)를 미분방정식의 해라고 한다.
  • 일반해 : 임의의 상수를 포함하는 해
  • 특수해 : 일반해의 상수가 조건을 만족하는 해
  • 특이해 : 미분방정식을 풀어서 구할 수 없는 해

[https]src 권태원

[edit]

4. 변수분리법

변수분리가 가능한 꼴의 제차 선형 편미분 방정식을 독립변수의 개수와 같은 수의 상미분 방정식으로 바꾸는 방법


[edit]

5. 예

[edit]

5.1. 속도가 일정할 때 거리 식 얻기

$v=\frac{dx}{dt}$ 가 일정할 때
$\int dx=\int vdt$
$\int_{x(0)}^{x(t)}dx=\int_0^t vdt$
$[x]_{x(0)}^{x(t)}=[vt]_0^t$
$x(t)-x(0)=vt-0$
$x(t)=x(0)+vt$
$x(t)=x_0+vt$

from [https]차동우 10m
[edit]

5.2. 뉴턴의 F=ma

$m\frac{d^2x}{dt^2}=-mg$
양변을 m으로 나누면
$\frac{d^2x}{dt^2}=-g$
t에 대해 적분하면
$\frac{dx}{dt}=A-gt$
다시 적분하면
$x=B+At-\frac12gt^2$

초기 높이가 $x_0$ 이고 초기 속도가 $v_0$ 이면 $x(0)=x_0,\;\frac{dx}{dt}(0)=v_0$ 이므로
$x(t)=x_0+v_0t-\frac12gt^2$

[edit]

5.3. 빗방울의 낙하

시각 $t=0$ 일 때 떨어지기 시작하면, 시각 $t$ 일 때 속도 $v$ 는?
빗방울에 작용하는 힘,force은 아래쪽으로 $mg,$ 위쪽으로 저항력 $cv.$
그래서 지구 방향으로 잡아당기는 힘은
$F=mg-cv$
그리고 이것이 $ma$ 이므로
$m\frac{dv}{dt}=mg-cv$
양변을 $m$ 으로 나누면
$\frac{dv}{dt}=g-\frac{c}{m}v$ (← 미분방정식)
$v(0)=0$
풀면
$v=\frac{gm}{c}\left( 1-e^{\frac{-ct}{m}} \right)$

Ref. 10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리

[edit]

5.4. Population

Exponential growth model.
박테리아의 개체수(population)를 P라 하고, 영양분과 공간이 충분하다고 가정할 때, 성장률(비율,rate of growth)은 개체수에 비례한다.
$\frac{dP}{dt}=kP$
이것의 답은
$P(t)=Ce^{kt}$
[edit]

5.5. 예제: RC회로

RC회로,RC_circuit
from 차동우 대학물리 p100
일단
$i(t)=\frac{dq(t)}{dt}$
RC회로에 키르히호프의 고리법칙을 적용하면
$Ri+\frac{q}{C}=\mathcal{E}$
$R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\mathcal{E}$
$\frac{dq}{dt}+\frac{q}{RC}=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{\mathcal{E}C}{RC}$
$\frac{dq}{dt}=\frac{\mathcal{E}C-q}{RC}$
1차 미분방정식이므로 항상 적분에 의해 풀 수 있다.
$\frac{dq}{q-\mathcal{E}C}=-\frac{dt}{RC}$
$\int\frac{dq}{q-C\mathcal{E}}=-\int\frac{dt}{RC}$
시간 0~t에 대해 적분한다면 전하에 대해서는 q(0)~q(t)까지 적분하여야 한다.
$\int_{q(0)}^{q(t)}\frac{dq}{q-C\mathcal{E}}=-\int_0^{t}\frac{dt}{RC}$
(q(0)=q0, q(t)=q로 책에는 표기)
우변은 -t/RC이고 좌변은
$\int_{q(0)}^{q(t)}\frac{d(q-C\mathcal{E})}{q-C\mathcal{E}}=\ln(q-C\mathcal{E})|_{q(0)}^{q(t)}=\ln\frac{q(t)-C\mathcal{E}}{q(0)-C\mathcal{E}}$
따라서,
$\ln\frac{q-C\mathcal{E}}{q_0-C\mathcal{E}}=-\frac{t}{RC}$
$q-C\mathcal{E}=(q_0-C\mathcal{E})e^{-t/RC}$
$q(t)=C\mathcal{E}(1-e^{-t/RC})+q_0e^{-t/RC}$
대부분 스위치를 닫는 순간에는 축전기에 대전된 전하가 q0=0인 경우가 많으며 그런 경우엔
$q(t)=C\mathcal{E}\left(1-e^{-t/RC}\right)$

i(t)는 전하를 시간으로 미분하면 구할 수 있으므로
$i(t)=\frac{d}{dt}q(t)=\frac{d}{dt}C\mathcal{E}(1-e^{-t/RC})=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$

q-t 그래프: 0에서 시작, Cℰ까지 증가 (점근)
i-t 그래프: ℰ/R에서부터 감소, 0까지 점근

[edit]

5.6. Examples from 최정환


CHK:
linear DE: y, y', ... 이것들이 선형결합한것
nonlinear DE: yy' 같은 항들이 있는것

homogeneousness:
(naver 어학사전: 같은 종류의 것으로 됨; 동일 조직임)
F(y, …, y(n), x) = 0에서 x만으로 된 항,term이 등장하지 않으면 homogeneous하다.
x만으로 된 term이 등장하면 inhomogeneous.

1.
$y''+y=0$
$y=\sin x$ is a solution; $y=\cos x$ is also a solution.

2.
$x^2+y^2=0$ is a solution of $x+yy'=0$

[edit]

6. TI-Nspire_CAS_with_Touchpad

[edit]

7. Bernoulli's equation

베르누이_미분방정식

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)y^n$
$n$ 은 실수.
$n=0$ 및 $n=1$ 이면 선형.
선형이 아니면 $u=y^{1-n}$ 으로 치환하면 선형방정식으로 만들 수 있음.


[edit]

8. Riccati 방정식

$y'+p(x)y=g(x)y^2+h(x)$

[edit]

9. Clairaut 방정식

$y=xy'+g(y')$

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10. Exact

from 김미정 slides - 2.4 Exact DEs(1) - p. 10

exact differential:
$M(x,y)dx+N(x,y)dy$
s.t.
$\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)\;\wedge\;\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$

exact DE:
$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$z=f(x,y)$ 이면 전미분,total_differential은
$dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$
therefore,
$f(x,y)=C\;\Leftrightarrow\;\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0$

[edit]

11. 스튀름-리우빌

[edit]

12. (미분방정식이 다루는 주제, 설명하는 현상, ...): growth/decay

성장,growth, ,decay 작성중.

[edit]

12.1. natural growth/decay

시각 $t$ 에서 수량이 $y(t)$ 이고, $t$ 에 관한 $y$ 의 변화율이 항상(임의의 시각에서) $y(t)$ 에 비례한다면,
$\frac{dy}{dt}=ky$
여기서 $k$ 는 상수이고,
$k>0$ : law of natural growth
$k<0$ : law of natural decay

이것의 유일한 해는 지수함수,exponential_function인 $y(t)=y(0)e^{kt}$ 이다. (Stewart 8e ko p390)

[edit]

12.2. logistic growth/decay

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12.3. Excerpt: 김홍종 미적1+

(미방에 대한 intro)
방사능 물질 붕괴 - 매 순간 붕괴하는 양은 현재의 질량에 비례하여 나타나므로
$m'(t)=-km(t)$
같은 미분방정식으로 나타나고, 은행에 예금한 돈에 이자가 붙어 늘어나는 것은 // 현재 돈에 비례하므로
$a'(t)=+ka(t)$
같은 식으로 나타난다. 이와 같이 어떤 함수 $f$ 와 그 도함수 $f',f''$ 등이 어떤 관계식
$F(t,f(t),f'(t),f''(t),\cdots)=0$
으로 표현될 때, 이 식을 미분방정식이라 부르고, 이러한 식을 만족시키는 함수 $f(t)$ 를 구하는 것을 '미분방정식을 푼다'고 말한다.

두번째 식을 풀어 보자. 물론 이 식을 만족시키는 함수 $a(t)$ 는 미분가능함수,differentiable_function이고, 따라서 연속함수,continuous_function라야 할 것이다.
그런데 $a(t)$ 의 도함수 $a'(t)$ 가 $ka(t)$ 이므로, $a'(t)$ 는 연속함수이다.
이와 같이 도함수가 연속인 함수를 일급미분가능함수(differentiable function of class 𝒞1) 또는 줄여서 일급함수(𝒞1 함수)라고 부른다.
한편 $a'(t)$ 가 일급함수 $ka(t)$ 와 같으므로, $a'(t)$ 는 또 다시 미분가능하고
$a''(t)=ka'(t)=k^2a(t)$
이므로 $a(t)$ 는 이급함수(𝒞2 함수)이다. 이와 같이 처음에 주어진 관계식에서 새로운 관계식
$a^{(n)}(t)=k^n a(t) \;\;\; (n=0,1,2,3,\ldots)$
가 얻어지고, 이로부터 미분방정식의 해는, 만약 존재한다면, 무한급 함수 즉 𝒞∞ 함수라는 것을 알 수 있다. 그러므로 처음에 예금한 금액을 $a(0)=:a_0$ 라고 하면,
$a^{(n)}(0)=k^n a_0$
이고, 따라서 $a(t)$ 가 거듭제곱급수(=멱급수,power_series) 함수라면
$a(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{k^n a_0}{n!} t^n = a_0 e^{kt}$
이라야 함을 알 수 있다.

이제 초기 조건이 주어진 미분방정식 // initial_value_problem
$a'(t)=ka(t),\;a(0)=a_0$
을 만족시키는 함수는 $a_0e^{kt}$ 뿐임을 보여보자. 만약 $a(t)$ 가 위의 초기조건이 주어진 방정식의 해라면, // 음의 부호가 왜 나오지? 지금까지 다루던 두번째 방정식 말고 첫번째 붕괴 방정식?
$\frac{d}{dt}\left( a(t) e^{-kt} \right) = a'(t) e^{-kt} + a(t) \left( -k e^{-kt} \right) = 0$
이고, 따라서 $a(t)e^{-kt}$ 는 상수이다. 이 상수는 $t=0$ 을 대입하면 $a_0$ 이므로,
$a(t)=a_0 e^{kt}$
이다.

(김홍종 미적1+ p96)

[edit]

13. 미분방정식 vs 대수방정식

이하 대충 상식으로 적었으므로 chk
대수방정식 미분방정식
해,solution수,number 함수,function
해의 개수 1개 집합,set 형태라 무한히 많을 수 있음 - 앞에 곱해지는 상수,constant나 더해지는 적분상수,integration_constant가 무한히 많을 수 있어서

... Google:미분방정식 대수방정식 비교

[edit]

14. Bmks ko

[edit]

15. Bmks en

미적에 엄청 도움이 되었던 Paul's Online Notes의 미분방정식 자료.
https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx


[edit]

16. 관련주제, 추가예정, tbw

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