방정식,equation

See 공식,formula
see also 해석기하_공식
TODO 아래 분류가 제대로 안 되어있고 나열만 되어있는데, (ex. 미방인지 아닌지, 미방이라면 어떤 미방인지 etc.) 분류. - 가능할지? or 가치가 있을지? ex. 연립은 연립 밑에 모두 모을 가치가 있나?
어느 정도는 할 가치가 있을 듯
다만 트리형식으로 완벽 분류는 불가능, 여러 분류에 동시에 속하는 것이 많으므로



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1. 대수방정식 algebraic equation


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1.1. 다항식,polynomial 방정식


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1.1.1. 일차방정식(=선형방정식)


선형대수에서는 상수항이 없는, 원점을 지나지 않는 경우를 매우 중시하는 듯..
이하 선형대수 관련.
{

형태는
$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$
여기서
$x_i$ : 미지수.
$a_i$ : 계수. 모두 0이 되면 안된다.
특히 $b=0$ 인 경우를 특별히 homogeneous(동차, 제차) 선형방정식으로 부름.

다시 말해
일차방정식(linear equation):
$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$ (계수 모두 0인 경우 제외)
동차일차방정식(homogeneous linear equation):
$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=0$ (계수 모두 0인 경우 제외)

ex.
2차원 직선,line
$ax+by=c\;\;(a,b\ne0)$
3차원 평면,plane
$ax+by+cz=d\;\;(a,b,c\ne0)$


여러 개가 모여서(?) 연립방정식을 이루면, 선형방정식계(연립일차방정식,system_of_linear_equations).
Up:
선형대수,linear_algebra
방정식,equation > 다항식방정식
}

미분방정식,differential_equation에서 선형방정식이란
{
선형미분방정식.

1계 선형미분방정식 first-order linear DE:
$a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$
여기서
$g(x)=0$ : homogeneous 제차
otherwise : nonhomogeneous 비제차

그리고 이것의 standard form은,
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$
이것의 해,solution는 두 해의 합이라는 성질을 가지고 있다.
$y=y_c+y_p$
여기서 $y_c$ 는 다음 제차방정식의 해이다.
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$

Homogeneous DE의 경우.
위 방정식은 분리가능하다. $y$ 로 나누고 $dx$ 를 곱하면
$\frac{dy}{y}+P(x)dx=0$
풀면
$y_c=ce^{\textstyle-\int P(x)dx}$
잠시 편의를 위해
$y_c=cy_1(x)$
$y_1=e^{\textstyle-\int P(x)dx}$
로 놓는다. 그리하여
$\frac{dy_1}{dx}+P(x)y_1=0$
이다. 이것을 사용하여 $y_p$ 를 찾을 것이다.

Nonhomogeneous DE
variation_of_parameters { kms: 매개변수의 변분 / see https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=variation of / https://mathworld.wolfram.com/VariationofParameters.html } 방법을 써서 위의 standard form 방정식을 풀 것이다. 아이디어는 방정식의 해가 되는 즉 다음과 같은 함수 $u$ 를 찾는 것이다.
$y_p=u(x)y_1(x)=u(x)e^{\textstyle-\int P(x)dx}$

원래 방정식
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$ ← $y_p=uy_1$ 대입
$\frac{d(uy_1)}{dx}+P(x)uy_1=f(x)$ ← 곱의 미분법칙 적용
$u\frac{dy_1}{dx}+y_1\frac{du}{dx}+P(x)uy_1=f(x)$ ← $u$ 로 묶는다
$u\left[ \frac{dy_1}{dx}+P(x)y_1 \right]+y_1\frac{du}{dx}=f(x)$ ← 여기서 $[]$ 안이 0
$y_1\frac{du}{dx}=f(x)$
변수분리하고 적분하면
$du=\frac{f(x)}{y_1(x)}dx$
$u=\int\frac{f(x)}{y_1(x)}dx$

$y_1(x)$ 의 정의에서부터, $1/y_1(x)=e^{\textstyle\int P(x)dx}$ 이므로,
$y_p=uy_1=\left(\int\frac{f(x)}{y_1(x)}dx\right)e^{\textstyle-\int P(x)dx}=e^{\textstyle-\int P(x)dx}\int e^{\textstyle\int P(x)dx} f(x)dx$
$y=y_c+y_p=ce^{\textstyle-\int P(x)dx}+e^{\textstyle-\int P(x)dx}\int e^{\textstyle\int P(x)dx} f(x)dx$
이것을 암기하려 하면 안된다. 식에 $e^{\textstyle\int P(x)dx}$ 를 곱하면
$e^{\textstyle\int P(x)dx}y=c+\int e^{\textstyle\int P(x)dx} f(x)dx$
미분하면
$\frac{d}{dx}\left[e^{\textstyle\int P(x)dx}y\right]=e^{\textstyle\int P(x)dx}f(x)$
$e^{\textstyle\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+P(x)e^{\textstyle\int P(x)dx}y=e^{\textstyle\int P(x)dx}f(x)$
이것을 $e^{\textstyle\int P(x)dx}$ 로 나누면 원래 방정식이 된다.

풀이는 위의 반대 방향이다. 원래 방정식
$\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$
에 적분인자,integrating_factor $e^{\textstyle\int P(x)dx}$ 를 곱하면
$e^{\textstyle\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+P(x)e^{\textstyle\int P(x)dx}y=e^{\textstyle\int P(x)dx}f(x)$
이다. 좌변이 곱의 미분 꼴이므로
$\frac{d}{dx}\left[e^{\textstyle\int P(x)dx}y\right]=e^{\textstyle\int P(x)dx}f(x)$
양변을 적분하면
$e^{\textstyle\int P(x)dx}y=c+\int e^{\textstyle\int P(x)dx} f(x)dx$

(Zill 2.3)

선형성,linearity페이지에도 언급.
}

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1.1.2. 이차방정식 quadratic equation

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1.1.3. 삼차방정식 cubic equation


TBW:
삼차방정식 근과 계수와의 관계

특히 1의 세제곱근(일의거듭제곱근,unity_root에서 $n=3$ 인 경우)이 자주 나오며
$x^3=1$
의 근을 $1,\omega,\omega^2$ 이렇게 자주 표기하는데...

판별식,discriminant은 이차방정식에 비해 지나치게 복잡하여 굳이 알아야 할지 의문.
See https://m.blog.naver.com/birth1104/222385891858

인수분해가 되지 않는 경우의 풀이법도 매우 복잡.
See https://suhak.tistory.com/301 - Cardano의 풀이법 + 근의 공식



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1.1.4. 사차방정식 quartic equation

quartic_equation


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1.1.5. 오차방정식 quintic equation

quintic_equation
오차,error 방정식이 아닌 5차방정식

4차방정식까지는 근의 공식이 있으나 5차 이상부터는 없다는 특징.

Why you can't solve quintic equations (Galois theory approach) #SoME2 - YouTube (Mathemaniac)
https://www.youtube.com/watch?v=zCU9tZ2VkWc
rel. 갈루아_이론,Galois_theory


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1.1.6. n차 방정식

n차 방정식
$ax^n+bx^{n-1}+\cdots=0$
은 항상 n개의 근을 가짐
  • 모든 근의 합: $-\frac{b}{a}$
  • 모든 근의 곱:
    • n이 짝수일 때 (상수항)/a
    • n이 홀수일 때 -(상수항)/a

이유 TBW

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1.2. radical equation

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2. 연립방정식,system_of_equations

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3. 극방정식 polar equation


$f(r,\theta)=0$ 또는 $r=f(\theta)$

$r=f(\theta)$ 의 그래프를 $\alpha$ 만큼 회전시킨 그래프는 $r=f(\theta-\alpha)$ 가 된다.
관련: 극좌표,polar_coordinate

Google:Hesse 표준형 Naver:hesse 표준형으로 극방정식 ↔ xy방정식 변환을 쉽게 할 수 있다고.
영어로는? 이거?
Hesse/Hessian normal form
WpEn:Hesse_normal_form
https://mathworld.wolfram.com/HessianNormalForm.html
Up: 기하학,geometry > 해석기하,analytic_geometry

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4. 미분방정식,differential_equation


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5. 맥스웰_방정식,Maxwell_equation


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6. 파동방정식,wave_equation


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7. 매개변수방정식,parametric_equation


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8. 연속방정식,continuity_equation

물리 only?

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9. 벡터방정식,vector_equation


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10. 부정방정식,indeterminate_equation

해가 너무 많아서 정할 수 없는 방정식

미지수의 개수 > 식의 개수

디오판토스_방정식,Diophantine_equation - writing
디오판토스 방정식, Diophantine equation, 정수조건 부정방정식
미지수를 정수에 한정하여 생각하는 부정방정식

Sub:
펠_방정식,Pell_equation - writing

2022-03-01
(주의) Namu:부정방정식을 보면 이 단어는 정의가 제대로 확립되지 않은, ie 명확하지 않은 단어이다.

그리고 이하 links도 참고하여 제대로 page mk



2022-03-05
Libre:부정방정식

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11. Poisson and Laplace equation


이 둘이 밀접하여 같이 다루는 곳이 많아서 아직 분리 안함....

푸아송_방정식,Poisson_equation 2계편미방(wpko에는 2차편미방으로 되어 있는데 second order라는 것을 확인하고 수정. 역시 wpko는 믿을것이 못됨), elliptic pde; electrostatics 등에서 쓰임
Poisson's equation
https://mathworld.wolfram.com/PoissonsEquation.html
$\nabla^2\psi=-4\pi\rho$
$\rho=0$ 이면 reduces to 라플라스방정식.
Up: 편미분방정식,partial_differential_equation,PDE



tmp chk from https://m.blog.naver.com/seolgoons/221591886546 (가우스법칙, Poisson, Laplace)
{
가우스 법칙
$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$
에,
$\vec{E}=-\nabla V$
를 적용하면
$\nabla\cdot(-\nabla V)=\frac{\rho}{\epsilon_0}$
$\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$
이렇게 Poisson eq가 나온다고.


가우스 법칙 $\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$
푸아송 방정식 $\nabla^2V=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$
Laplace eq $\nabla^2 V = 0$

라플라시안,Laplacian



Poisson’s equation WpKo:푸아송_방정식
라플라스 일반화라는 말의 뜻? 라플라스보다 더 일반적인 방정식??

Poisson eq.는 [https]여기(박석재)서 몇번 언급됨 (역학/중력 쪽 얘기. 물질분포와 가우스정리에서부터 처음 언급.)
[https]그 바로 다음 파트에서는 전자기와 관련 언급됨.

라플라스 방정식의 해는 조화함수,harmonic_function.


tmp links ko
{
전자기학 10) 전위,electric_potential와 라플라스_방정식
[https]https://m.blog.naver.com/cindyvelyn/222044671663
1, 2, 3차원 라플라스 방정식 모양은 각각:
$\nabla^2V=\frac{\partial^2V}{\partial x^2}=0\;\;\;(=\frac{d^2V}{dx^2})$ (변수가 하나이므로 ∂=d)
$\nabla^2V=\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}=0$
$\nabla^2V=\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0$
전자기학 11) 전자기학의 유일성 정리 [https]https://m.blog.naver.com/cindyvelyn/222051213345
유일성정리(uniqueness_theorem)란, 라플라스_방정식에 적절한 경계조건(boundary_condition)이 주어지면 퍼텐셜,potential을 하나의 값으로 완전히 정할 수 있다는 내용.
제 1 유일성 정리
제 2 유일성 정리 이렇게 있다는데 생략.
}

이 방정식들은 (내 관점에서 현재는) 주로 전위,electric_potential#s-21.1 설명에 사용됨

[edit]

12. 푸아송 방정식 Poisson equation

[edit]

13. 라플라스 방정식 Laplace equation

[edit]

14. 코시-리만 방정식 Cauchy–Riemann equation

[edit]

15. 삼각방정식 trigonometric equation

[edit]

16. 적분방정식 integral equation

[edit]

17. 상반방정식 reciprocal equation

[edit]

18. 상태방정식 equation of state

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19. (이상 방정식들)


[edit]

20. 방정식의 근과 계수의 관계

방정식의 근root과
방정식의 계수,coefficient의 관계


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21. Misc

chemical equation은 화학 반응식

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22. Sites

EqWorld: The World of Mathematical Equations
http://eqworld.ipmnet.ru/