See [[공식,formula]] see also [[해석기하_공식]] TODO 아래 분류가 제대로 안 되어있고 나열만 되어있는데, (ex. 미방인지 아닌지, 미방이라면 어떤 미방인지 etc.) 분류. - 가능할지? or 가치가 있을지? ex. 연립은 연립 밑에 모두 모을 가치가 있나? 어느 정도는 할 가치가 있을 듯 다만 트리형식으로 완벽 분류는 불가능, 여러 분류에 동시에 속하는 것이 많으므로 [[TableOfContents]] = 대수방정식 algebraic equation = == [[다항식,polynomial]] 방정식 == === 일차방정식(=선형방정식) === [[선형방정식,linear_equation]] 선형대수에서는 상수항이 없는, 원점을 지나지 않는 경우를 매우 중시하는 듯.. 이하 선형대수 관련. { 형태는 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$ 여기서 $x_i$ : 미지수. $a_i$ : 계수. 모두 0이 되면 안된다. 특히 $b=0$ 인 경우를 특별히 homogeneous(동차, 제차) 선형방정식으로 부름. 다시 말해 일차방정식(linear equation): $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$ (계수 모두 0인 경우 제외) 동차일차방정식(homogeneous linear equation): $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=0$ (계수 모두 0인 경우 제외) ex. 2차원 [[직선,line]] $ax+by=c\;\;(a,b\ne0)$ 3차원 [[평면,plane]] $ax+by+cz=d\;\;(a,b,c\ne0)$ 여러 개가 모여서(?) 연립방정식을 이루면, 선형방정식계([[연립일차방정식,system_of_linear_equations]]). Up: [[선형대수,linear_algebra]] [[방정식,equation]] > 다항식방정식 } [[미분방정식,differential_equation]]에서 선형방정식이란 { 선형미분방정식. 1계 선형미분방정식 first-order linear DE: $a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$ 여기서 $g(x)=0$ : homogeneous 제차 otherwise : nonhomogeneous 비제차 그리고 이것의 standard form은, $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$ 이것의 [[해,solution]]는 두 해의 합이라는 성질을 가지고 있다. $y=y_c+y_p$ 여기서 $y_c$ 는 다음 제차방정식의 해이다. $\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$ Homogeneous DE의 경우. 위 방정식은 분리가능하다. $y$ 로 나누고 $dx$ 를 곱하면 $\frac{dy}{y}+P(x)dx=0$ 풀면 $y_c=ce^{\textstyle-\int P(x)dx}$ 잠시 편의를 위해 $y_c=cy_1(x)$ $y_1=e^{\textstyle-\int P(x)dx}$ 로 놓는다. 그리하여 $\frac{dy_1}{dx}+P(x)y_1=0$ 이다. 이것을 사용하여 $y_p$ 를 찾을 것이다. Nonhomogeneous DE variation_of_parameters { kms: 매개변수의 변분 / see https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=variation+of / https://mathworld.wolfram.com/VariationofParameters.html } 방법을 써서 위의 standard form 방정식을 풀 것이다. 아이디어는 방정식의 해가 되는 즉 다음과 같은 함수 $u$ 를 찾는 것이다. $y_p=u(x)y_1(x)=u(x)e^{\textstyle-\int P(x)dx}$ 원래 방정식 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$ ← $y_p=uy_1$ 대입 $\frac{d(uy_1)}{dx}+P(x)uy_1=f(x)$ ← 곱의 미분법칙 적용 $u\frac{dy_1}{dx}+y_1\frac{du}{dx}+P(x)uy_1=f(x)$ ← $u$ 로 묶는다 $u\left[ \frac{dy_1}{dx}+P(x)y_1 \right]+y_1\frac{du}{dx}=f(x)$ ← 여기서 $[]$ 안이 0 $y_1\frac{du}{dx}=f(x)$ 변수분리하고 적분하면 $du=\frac{f(x)}{y_1(x)}dx$ $u=\int\frac{f(x)}{y_1(x)}dx$ $y_1(x)$ 의 정의에서부터, $1/y_1(x)=e^{\textstyle\int P(x)dx}$ 이므로, $y_p=uy_1=\left(\int\frac{f(x)}{y_1(x)}dx\right)e^{\textstyle-\int P(x)dx}=e^{\textstyle-\int P(x)dx}\int e^{\textstyle\int P(x)dx} f(x)dx$ $y=y_c+y_p=ce^{\textstyle-\int P(x)dx}+e^{\textstyle-\int P(x)dx}\int e^{\textstyle\int P(x)dx} f(x)dx$ 이것을 암기하려 하면 안된다. 식에 $e^{\textstyle\int P(x)dx}$ 를 곱하면 $e^{\textstyle\int P(x)dx}y=c+\int e^{\textstyle\int P(x)dx} f(x)dx$ 미분하면 $\frac{d}{dx}\left[e^{\textstyle\int P(x)dx}y\right]=e^{\textstyle\int P(x)dx}f(x)$ $e^{\textstyle\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+P(x)e^{\textstyle\int P(x)dx}y=e^{\textstyle\int P(x)dx}f(x)$ 이것을 $e^{\textstyle\int P(x)dx}$ 로 나누면 원래 방정식이 된다. 풀이는 위의 반대 방향이다. 원래 방정식 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$ 에 [[적분인자,integrating_factor]] $e^{\textstyle\int P(x)dx}$ 를 곱하면 $e^{\textstyle\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+P(x)e^{\textstyle\int P(x)dx}y=e^{\textstyle\int P(x)dx}f(x)$ 이다. 좌변이 곱의 미분 꼴이므로 $\frac{d}{dx}\left[e^{\textstyle\int P(x)dx}y\right]=e^{\textstyle\int P(x)dx}f(x)$ 양변을 적분하면 $e^{\textstyle\int P(x)dx}y=c+\int e^{\textstyle\int P(x)dx} f(x)dx$ (Zill 2.3) [[선형성,linearity]]페이지에도 언급. } === 이차방정식 quadratic equation === See [[이차방정식,quadratic_equation]] === 삼차방정식 cubic equation === [[삼차방정식,cubic_equation]] TBW: 삼차방정식 근과 계수와의 관계 특히 1의 세제곱근([[일의거듭제곱근,unity_root]]에서 $n=3$ 인 경우)이 자주 나오며 $x^3=1$ 의 근을 $1,\omega,\omega^2$ 이렇게 자주 표기하는데... [[판별식,discriminant]]은 이차방정식에 비해 지나치게 복잡하여 굳이 알아야 할지 의문. See https://m.blog.naver.com/birth1104/222385891858 인수분해가 되지 않는 경우의 풀이법도 매우 복잡. See https://suhak.tistory.com/301 - Cardano의 풀이법 + 근의 공식 https://oeis.org/wiki/Cubic_equations [[WpEn:Cubic_equation]] [[WpEn:Cubic_function]] ... rel. [[삼차함수,cubic_function]] 근의 공식: Cardano_formula [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=2426064&cid=60208&categoryId=60208 수학의 세계: 3차방정식의 풀이]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1148615&cid=40942&categoryId=32207 두산백과: 카르다노의 공식]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125465&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 카르다노의 공식]] cubic_formula https://oeis.org/wiki/Cubic_formula === 사차방정식 quartic equation === quartic_equation quartic_formula https://oeis.org/wiki/Quartic_formula === 오차방정식 quintic equation === quintic_equation [[오차,error]] 방정식이 아닌 5차방정식 4차방정식까지는 근의 공식이 있으나 5차 이상부터는 없다는 특징. Why you can't solve quintic equations (Galois theory approach) #SoME2 - YouTube (Mathemaniac) https://www.youtube.com/watch?v=zCU9tZ2VkWc rel. [[갈루아_이론,Galois_theory]] rel. [[군론,group_theory]] curr. [[군,group]] === n차 방정식 === n차 방정식 $ax^n+bx^{n-1}+\cdots=0$ 은 항상 n개의 근을 가짐 * 모든 근의 합: $-\frac{b}{a}$ * 모든 근의 곱: * n이 짝수일 때 (상수항)/a * n이 홀수일 때 -(상수항)/a 이유 TBW == radical equation == Google:radical.equation = [[연립방정식,system_of_equations]] = [[연립일차방정식,system_of_linear_equations]] = 극방정식 polar equation = [[극방정식,polar_equation]] - writing $f(r,\theta)=0$ 또는 $r=f(\theta)$ $r=f(\theta)$ 의 그래프를 $\alpha$ 만큼 회전시킨 그래프는 $r=f(\theta-\alpha)$ 가 된다. 관련: [[극좌표,polar_coordinate]] Google:Hesse+표준형 Naver:hesse+표준형 으로 극방정식 ↔ xy방정식 변환을 쉽게 할 수 있다고. 영어로는? 이거? Hesse/Hessian normal form WpEn:Hesse_normal_form https://mathworld.wolfram.com/HessianNormalForm.html Up: [[기하학,geometry]] > [[해석기하,analytic_geometry]] = [[미분방정식,differential_equation]] = = [[맥스웰_방정식,Maxwell_equation]] = = [[파동방정식,wave_equation]] = = [[매개변수방정식,parametric_equation]] = = [[연속방정식,continuity_equation]] = 물리 only? = [[벡터방정식,vector_equation]] = = [[부정방정식,indeterminate_equation]] = 해가 너무 많아서 정할 수 없는 방정식 미지수의 개수 > 식의 개수 [[디오판토스_방정식,Diophantine_equation]] - writing 디오판토스 방정식, Diophantine equation, 정수조건 부정방정식 미지수를 정수에 한정하여 생각하는 부정방정식 Sub: [[펠_방정식,Pell_equation]] - writing [[Date(2022-02-28T21:32:07)]] (주의) Namu:부정방정식 을 보면 이 단어는 정의가 제대로 확립되지 않은, ie 명확하지 않은 단어이다. 그리고 이하 links도 참고하여 제대로 page mk WpEn:Indeterminate_equation WpKo:부정_방정식 WpEn:Indeterminate_system WpEn:Underdetermined_system interwiki: WpKo:과소결정_연립방정식 WpEn:Overdetermined_system interwiki: WpKo:과결정_연립방정식 [[Date(2022-03-05T08:40:50)]] Libre:부정방정식 = Poisson and Laplace equation = 이 둘이 밀접하여 같이 다루는 곳이 많아서 아직 분리 안함.... [[푸아송_방정식,Poisson_equation]] 2계편미방(wpko에는 2차편미방으로 되어 있는데 second order라는 것을 확인하고 수정. 역시 wpko는 믿을것이 못됨), elliptic pde; electrostatics 등에서 쓰임 '''Poisson's equation''' https://mathworld.wolfram.com/PoissonsEquation.html $\nabla^2\psi=-4\pi\rho$ $\rho=0$ 이면 reduces to 라플라스방정식. Up: [[편미분방정식,partial_differential_equation,PDE]] [[라플라스_방정식,Laplace_equation]] '''Laplace's equation''' https://mathworld.wolfram.com/LaplacesEquation.html [[WpEn:Laplace%27s_equation]] Up: [[편미분방정식,partial_differential_equation,PDE]] 관련: [[가우스_법칙,Gauss_s_law]] tmp chk from https://m.blog.naver.com/seolgoons/221591886546 (가우스법칙, Poisson, Laplace) { 가우스 법칙 $\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$ 에, $\vec{E}=-\nabla V$ 를 적용하면 $\nabla\cdot(-\nabla V)=\frac{\rho}{\epsilon_0}$ $\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$ 이렇게 Poisson eq가 나온다고. ||가우스 법칙 || $\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$ || ||푸아송 방정식 || $\nabla^2V=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$ || ||Laplace eq ||$\nabla^2 V = 0$ || [[라플라시안,Laplacian]] } https://m.blog.naver.com/seolgoons/221593432836 (Laplace) https://freshrimpsushi.tistory.com/997 (Laplace and Poisson) http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4482&id=694 Namu:"라플라스 방정식" Poisson’s equation WpKo:푸아송_방정식 라플라스 일반화라는 말의 뜻? 라플라스보다 더 일반적인 방정식?? Poisson eq.는 [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3578303&cid=58944&categoryId=58968 여기(박석재)]]서 몇번 언급됨 (역학/중력 쪽 얘기. 물질분포와 가우스정리에서부터 처음 언급.) [[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3578350&cid=58944&categoryId=58968 그 바로 다음 파트]]에서는 전자기와 관련 언급됨. 라플라스 방정식의 해는 [[조화함수,harmonic_function]]. tmp links ko { 전자기학 10) [[전위,electric_potential]]와 '''라플라스_방정식''' [[https://m.blog.naver.com/cindyvelyn/222044671663]] 1, 2, 3차원 라플라스 방정식 모양은 각각: $\nabla^2V=\frac{\partial^2V}{\partial x^2}=0\;\;\;(=\frac{d^2V}{dx^2})$ (변수가 하나이므로 ∂=d) $\nabla^2V=\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}=0$ $\nabla^2V=\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0$ ---- 전자기학 11) 전자기학의 유일성 정리 [[https://m.blog.naver.com/cindyvelyn/222051213345]] 유일성정리(uniqueness_theorem)란, '''라플라스_방정식'''에 적절한 경계조건(boundary_condition)이 주어지면 [[퍼텐셜,potential]]을 하나의 값으로 완전히 정할 수 있다는 내용. 제 1 유일성 정리 제 2 유일성 정리 이렇게 있다는데 생략. } 이 방정식들은 (내 관점에서 현재는) 주로 [[전위,electric_potential#s-21.1]] 설명에 사용됨 = 푸아송 방정식 Poisson equation = [[푸아송_방정식,Poisson_equation]] 2nd order PDE rel. [[퍼텐셜,potential]] https://everything2.com/title/Poisson%2527s+equation [[WpEn:Poisson's_equation]] [[WpKo:푸아송_방정식]] https://planetmath.org/poissonsequation https://encyclopediaofmath.org/wiki/Poisson_equation EqWorld PDF - http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde302.pdf = 라플라스 방정식 Laplace equation = [[라플라스_방정식,Laplace_equation]] = 코시-리만 방정식 Cauchy–Riemann equation = [[코시-리만_방정식,Cauchy-Riemann_equation]] 연립 [[편미분방정식,partial_differential_equation,PDE]] = 삼각방정식 trigonometric equation = [[삼각방정식,trigonometric_equation]] [[삼각함수,trigonometric_function]] 관련 일반해: tbw = 적분방정식 integral equation = [[적분방정식,integral_equation]] 작성중 = 상반방정식 reciprocal equation = [[상반방정식,reciprocal_equation]] w WpKo:상반방정식 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Reciprocal_equation = 상태방정식 equation of state = '''equation of state''' pagename [[상태방정식,state_equation]]? 주로 [[화학,chemistry]]분야. state equation 보다는 equation of state 가 더 많이 보이는 표현. MKL [[이상기체,ideal_gas]] [[이상기체상태방정식]] - tbw [[상태,state]] [[WpKo:상태_방정식]] = https://ko.wikipedia.org/wiki/상태_방정식 [[WpEn:Equation_of_state]] = https://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_state Ndict:상태방정식 Ggl:"state equation" Up: [[상태,state]] [[방정식,equation]] = (이상 방정식들) = = 방정식의 근과 계수의 관계 = 방정식의 근root과 방정식의 [[계수,coefficient]]의 관계 [[이차방정식,quadratic_equation#s-3]] [[삼차방정식,cubic_equation]] - TBW ... = Misc = chemical equation은 화학 반응식 = Sites = EqWorld: The World of Mathematical Equations http://eqworld.ipmnet.ru/ ---- Compare: [[항등식,identity]] See also [[부등식,inequality]] Up: [[수학,math]]