단어/표현 level curve 등위선, 등위곡선, 등고선(등고선은 대개 contour line으로 번역) QQQ: gradient에 점을 대입하고 unit vector를 내적한 것??? (특정 [[축,axis]] 방향으로만 정의되는) [[편미분,partial_derivative]]을 일반화하여 (임의 [[단위벡터,unit_vector]] 방향으로의) 도함수...? 편미분의 일반화? 참고로 이걸(방향도함수를) 일반화한 [[Gateaux_derivative]]가 있음 ---- (정의) 방향도함수 함수 $z=f(x,y)$ 의 [[단위벡터,unit_vector]] $\vec{u}=\cos\theta\hat{\rm i}+\sin\theta\hat{\rm j}$ [[방향,direction]]의 '''방향도함수(directional derivative)'''는 다음 [[극한,limit]]이 존재할 때 $D_{\vec{u}}f(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h\cos\theta,y+h\sin\theta)-f(x,y)}{h}$ 이다. 이것은 편도함수(=[[편미분,partial_derivative]])를 [[일반화,generalization]]한 개념이다. 왜냐하면 $\theta=0$ 은 $D_{\hat{\rm i}}f(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{\partial z}{\partial x}$ 을, $\theta=\frac{\pi}{2}$ 는 $D_{\hat{\rm j}}f(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\frac{\partial z}{\partial y}$ 을 의미하기 때문이다. // ''(즉 위에 생각대로, 방향도함수의 축 방향으로의 특수한 경우가 바로 편도함수)'' (정리) 방향도함수의 계산 함수 $z=f(x,y)$ 가 미분가능하고 $\vec{u}=\cos\theta\hat{\rm i}+\sin\theta\hat{\rm j}$ 이면 $D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\vec{u}$ 이다. // ''(위 정의의 식보다 [[기울기,gradient]]를 쓰는 이 식이 더 편리)'' ... 방향도함수의 최대와 최소 방향도함수의 최대값은 $||\nabla f||$ 이고 $\vec{u}$ 와 $\nabla f$ 의 방향이 같을 때 발생한다 $(\cos\phi=1)$ 방향도함수의 최소값은 $-||\nabla f||$ 이고 $\vec{u}$ 와 $\nabla f$ 의 방향이 반대일 때 발생한다 $(\cos\phi=1)$ (위 두 식을 다음과 같이 표현할 수 있다:) [[기울기벡터,gradient_vector]] $\nabla f$ 는 $f$ 가 가장 급격히 증가하는 방향을 가리키며 $-\nabla f$ 는 $f$ 가 가장 급격히 감소하는 방향을 가리킨다. (rel. [[증감,increment_and_decrement]]) (Zill 6e ko p625, 628) ---- 공간상의 점 $P$ 에서 벡터 $\vec{b}$ 방향으로의 함수 $f(x,y,z)$ 의 '''방향도함수'''(directional derivative) $D_{\vec{b}}f$ 또는 $\frac{df}{ds}$ 는 다음과 같이 정의된다. (그림 참조) $D_{\vec{b}}f=\frac{df}{ds}=\lim_{s\to 0}\frac{f(Q)-f(P)}{s}$ 여기서 $Q$ 는 $\vec{b}$ 방향으로 직선 $L$ 위를 움직이는 점이며, $|s|$ 는 점 $P,Q$ 사이의 거리. 만약 $Q$ 가 $\vec{b}$ 방향에 위치하면 $s>0$ 이며, $Q$ 가 $\vec{b}$ 방향에 위치하면 $s<0$ 이고, $Q=P$ 이면 $s=0$ 이다. https://i.imgur.com/TTXZuI8m.png 직교 $xyz$ 좌표계를 사용하고, $\vec{b}$ 를 단위벡터로 가정한다. 그러면 직선 $L$ 은 $\vec{r}(s)=x(s)\hat{\rm i}+y(s)\hat{\rm j}+z(s)\hat{\rm k}=\vec{p_0}+s\vec{b}$ 로 표현. (여기서 $\vec{p_0}$ 는 $P$ 의 [[위치벡터,position_vector]]이다.) 이걸 미분하면 $\vec{r}{}'=x'\hat{\rm i}+y'\hat{\rm j}+z'\hat{\rm k}=\vec{b}$ 이다. $f$ 가 연속인 편도함수를 갖는다고 가정하고, [[연쇄법칙,chain_rule]]을 이용하면 $D_{\vec{b}}f=\frac{df}{ds}=\frac{\partial f}{\partial x}x'+\frac{\partial f}{\partial y}y'+\frac{\partial f}{\partial z}z'$ (프라임은 s에 관한 도함수를 뜻함) 이 식은 $\vec{b}$ 와 $\operatorname{grad}f$ 의 [[내적,inner_product]]이 된다. 즉 $D_{\vec{b}}f=\frac{df}{ds}=\vec{b}\cdot\operatorname{grad}f$ 따라서 0이 아닌 임의의 길이를 갖는 벡터 $\vec{a}$ 에 대한 '''방향도함수'''는 $D_{\vec{a}}f=\frac{df}{ds}=\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\cdot\operatorname{grad}f$ (Kreyszig 10e 번역판 9.7) ---- $T_1=T(x,y,z)$ 가 점 $P_1=(x,y,z)$ 에서의 온도이고 $T_2=T(x+dx,y+dy,z+dz)$ 가 점 $P_2=(x+dx,y+dy,z+dz)$ 에서의 온도라면 $d\vec{\ell}=\hat{x}dx+\hat{y}dy+\hat{z}dz$ 이며 점 $P_1,P_2$ 사이의 온도차 $dT=T_2-T_1$ 는 $dT=\frac{\partial T}{\partial x}dx+\frac{\partial T}{\partial y}dy+\frac{\partial T}{\partial z}dz$ 그런데 $dx=\hat{x}\cdot d\vec{\ell},\,dy=\hat{y}\cdot d\vec{\ell},\,dz=\hat{z}\cdot d\vec{\ell}$ 이므로 다시 쓰면 $dT=\hat{x}\frac{\partial T}{\partial x}\cdot d\vec{\ell}+\hat{y}\frac{\partial T}{\partial y}\cdot d\vec{\ell}+\hat{z}\frac{\partial T}{\partial z}\cdot d\vec{\ell}$ $=\left[\hat{x}\frac{\partial T}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial T}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial T}{\partial z}\right]\cdot d\vec{\ell}$ 각괄호 내의 내용은 벡터로서 gradient of T, T의 [[기울기,gradient]]이며 $=\nabla T=\operatorname{grad}T$ 로 표기한다. 그리하여 식을 다시 쓰면 $dT=\nabla T\cdot d\vec{\ell}$ (3.73) The symbol ∇ is called the del or gradient operator. ([[델,del,나블라,nabla]]) With $d\vec{\ell}=\hat{a_{\ell}}d\ell,$ where $\hat{a_{\ell}}$ is the unit vector of $d\vec{\ell},$ the '''directional derivative''' of $T$ along $\hat{a_{\ell}}$ is $\frac{dT}{d\ell}=\nabla T \cdot \hat{a_{\ell}}$ We can find the difference $(T_2-T_1),$ where $T_1=T(x_1,y_1,z_1)$ and $T_2=T(x_2,y_2,z_2)$ are the values of T at points $P_1$ and $P_2,$ not necessarily infinitesimally close to one another, by integrating both sides of Eq (3.73). Thus, $T_2-T_1=\int_{P_1}^{P_2}\nabla T \cdot d\vec{\ell}$ (Ulaby 7e p154-155 eq3.75) ---- 먼저 [[기울기,gradient]]기호 관례 $dF=\nabla F\cdot d\vec{s}$ $\frac{dF}{ds}=\nabla F\cdot \vec{u}$ For any unit vector $\vec{u},$ let $D_{\vec{u}}f(\vec{p})=\lim_{h\to0}\frac{f(\vec{p}+h\vec{u})-f(\vec{p})}{h}$ if it exists is called '''directional derivative''' of $f$ at $\vec{p}$ in the direction $\vec{u}.$ 그리하여, 방향도함수를 gradient로 나타내면 $D_{\vec{u}}f(\vec{p})=\frac{dF}{ds}=\nabla F\cdot\vec{u}$ where $F=f(\vec{p})$ 편미분은 x,y(등) 축 방향만으로의 기울기를 알 수 있다면 방향도함수는 임의의 u벡터 방향으로의 기울기를 알 수 있는 $f_u(x,y)$ 이다? CHK 방향도함수와 gradient 관계는 $D_{\vec{u}}f=|\nabla f|\cos\theta$ $\Rightarrow$ $-|\nabla f| \le D_{\vec{u}}f \le |\nabla f|$ from https://blog.naver.com/cindyvelyn/222147143662 ---- 2D 평면에서, [[편미분,partial_derivative]] $f_x$ 가 $x$ 축 방향 변화율, $f_y$ 가 $y$ 축 방향 변화율(rate of change)이라면 '''방향도함수'''를 써서 임의의 방향에 대한 변화율을 생각할 수 있다. 기호 : $\frac{\partial f}{\partial n}$ 벡터 $\vec{n}$ 은 변화율을 구하고자 하는 그 방향에 평행. 그 방향과 x축 사이의 각도는 $\theta$ 라고 하면 $\frac{\partial f}{\partial n}=\lim_{\rho\to 0}\left[\frac{f(x_0+\rho\cos\theta,y_0+\rho\sin\theta)-f(x_0,y_0)}{\rho}\right]$ ## chan man, de kee, kaloni advanced math ---- tmp definition: $\nabla_{\vec{v}}f(\vec{a})=\lim_{h\to 0}\frac{f(\vec{a}+h\vec{v})-f(\vec{a})}{h}$ 여기서 $||\vec{v}||=1$ [[https://www.youtube.com/watch?v=4RBkIJPG6Yo&list=PLSQl0a2vh4HC5feHa6Rc5c0wbRTx56nF7&index=22 src]] ---- tmp; Compare: [[기울기,gradient]]: $\nabla f(x_0,y_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right)$ '''dir. deriv.:''' $D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\vec{u}$ z=f(x,y)에서 directions of maximum descent/ascent : -∇f, ∇f max. rate of descent/ascent from [[https://youtu.be/3xVMVT-2_t4 src]] 시작화면 ---- (Q: [[곡면,surface]]등에서?) [[편미분,partial_derivative]]이 특정 축에 평행한 방향으로의 [[기울기,slope]]를 구한다면, '''방향도함수'''는 임의의 방향으로의 기울기(slope? [[기울기,gradient]]?) 를 구할 수 있다. 먼저 [[방향,direction]]을 벡터로 정하고 길이는 1이 되게 한다. ([[단위벡터,unit_vector]]) Fix a direction $\vec{u}=\langle u_1,u_2 \rangle,$ where $|\vec{u}|=1$ $x(s)=x_0+su_1$ $y(s)=y_0+su_2$ 그러면 '''directional directive with respect to u'''는 $\textrm{D}_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\lim_{s\to 0}\frac{f(x_0+su_1,y_0+su_2)-f(x_0,y_0)}{s}$ $=\left.\frac{d}{ds}\left[ f(x(s),y(s)) \right]\right|_{s=0}$ [[연쇄법칙,chain_rule]]을 적용하면 $=\left( \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}\frac{dx}{ds}\right)+\left( \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\frac{dy}{ds}\right)$ $=\left( \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}u_1\right)+\left( \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}u_2\right)$ Let $\nabla f=\left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle$ ([[기울기,gradient]] of f) 그러면, $\mathrm{D}_{\vec{u}} f(x_0,y_0)=\nabla f |_{(x_0,y_0)} \cdot \vec{u}$ from Dr. Bazett [[https://www.youtube.com/watch?v=GJODOGq7cAY src]] ---- tmp from Vector Calculus If $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},$ the '''directional derivative''' of $f$ at $\vec{x}$ along the vector $\vec{v}$ is given by $\left.\frac{d}{dt}f(\vec{x}+t\vec{v})\right|_{t=0}$ if this exists. $\vec{v}$ 는 보통 [[단위벡터,unit_vector]]로 선택. ---- 또 다른 정의는 $\lim_{h\to0}\frac{f(\vec{x}+h\vec{v})-f(\vec{x})}{h}$ CHK ---- '''방향도함수'''와 [[기울기벡터,gradient_vector]] 이변수함수 $z=f(x,y)$ 와 단위벡터(방향도함수에는 항상 단위벡터만 써야 한다. 이유는?) $\vec{u}=\langle a,b\rangle$ 에 대해 $\vec{u}$ 방향으로 함수값의 변화율은 $D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ha,y_0+hb)-f(x_0,y_0)}{h}$ 이고 $D_{\vec{u}}f(x,y)$ 를 '''방향도함수'''라고 한다. $z=f$ 가 미분가능하면 $\vec{u}$ 방향으로의 '''방향도함수'''는 $D_{\vec{u}}f(x,y)=f_x(x,y)a+f_y(x,y)b$ 이다. [[연쇄법칙,chain_rule]] 언급됨. 기울기벡터: 이변수함수 $z=f(x,y)$ 에 대해 벡터 $\nabla f(x,y)=\langle f_x(x,y),f_y(x,y)\rangle = \left\langle \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right\rangle$ 를 기울기벡터(gradient vector)라 함. CHK; tmp from http://blog.naver.com/mindo1103/90103573706 ---- [[점,point]] $(x,y)$ 에서 [[각,angle]] $\theta$ [[방향,direction]]의 $z=f(x,y)$ 의 '''방향도함수'''는 (z의 순간변화율?) $D_{\theta}f(a,b)=\lim_{s\to 0}\frac{f(a+s\cos\theta,b+s\sin\theta)-f(a,b)}{s}$ 각->벡터로 일반화? [[점,point]] $(x,y)$ 에서 [[벡터,vector]] $\vec{u}$ [[방향,direction]]의 $z=f(x,y)$ 의 방향도함수는 $D_{\vec{u}}f(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y))\cdot\vec{u}$ 인 듯 한데 여기서 $(f_x(x,y),f_y(x,y))=\nabla f(x,y)$ 는 $z=f(x,y)$ 의 [[기울기,gradient]]라고... CHK 즉 $D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y) \cdot \vec{u}$ $z=f(x,y)$ 의 점 $(x,y)$ 에서 '''방향도함수'''의 최대값은 gradient의 크기이고, $\vec{u}$ 의 방향은 $\nabla f$ 와 같다. $\vec{u}=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ [[단위벡터,unit_vector]]...?? 일반화 $n$ 변수함수 $z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 의 gradient: $\nabla f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)$ 단위벡터 $\vec{u}$ 방향의 '''방향도함수''' $D_{\vec{u}}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\nabla f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\cdot\vec{u}$ tmp from http://contents.kocw.net/KOCW/document/2015/hanyang_erica/kimeunsang/7-2.pdf ---- $D_{\vec{u}}\varphi(P)$ directional derivative of $\varphi$ in the direction of $\vec{u}$ at $P$ (O'Neil AEM 7e 앞부분 표기법 안내) ---- [[기울기,gradient]]와의 관계 전제: 점 $P_0:(x_0,y_0,z_0)$ [[단위벡터,unit_vector]] $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$ 는 $P_0$ 에서 뻗어나가는 화살표로 표현 $(x,y,z)$ 가 $P_0$ 에서부터 $\vec{u}$ [[방향,direction|방향]]으로 변할(갈) 때 $\varphi(x,y,z)$ 의 [[변화율,rate_of_change]](curr. see [[비율,rate]])을 측정하고 싶다. 이를 위해 $t>0$ 을 가정하면 점 $P:(x_0+at,y_0+bt,z_0+ct)$ 는 $t$ 가 변함에 따라 $P_0$ 에서 곧게 뻗어나가는 선 위에 있다. $\varphi(x,y,z)$ 의 점 $P_0$ 에서 $\vec{u}$ 방향으로의 변화율 $D_{\vec{u}}\varphi(P_0)$ 을 측정하려면 다음을 계산. > $D_{\vec{u}}\varphi(P_0)=\frac{d}{dt}[\varphi(x_0+at,y_0+bt,z_0+ct)]_{t=0}$ 그러면 $D_{\vec{u}}\varphi(P_0)$ 는 $P_0$ 에서 $\vec{u}$ 방향으로의 $\varphi$ 의 '''방향도함수'''이다. (i.e.) $D_{\vec{u}}\varphi(P_0)$ is the '''directional derivative''' of Φ at P,,0,, in the direction of '''u'''. [[연쇄법칙,chain_rule]]을 쓰면, $=\left[\frac{d}{dt}\varphi(x_0+at,y_0+bt,z_0+ct)\right]_{t=0}$ $=a\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)+b\frac{\partial\varphi}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)+c\frac{\partial\varphi}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)$ $=a\frac{\partial\varphi}{\partial x}(P_0)+b\frac{\partial\varphi}{\partial y}(P_0)+c\frac{\partial\varphi}{\partial z}(P_0)$ $=\nabla\varphi(P_0)\cdot(a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k})$ $=\nabla\varphi(P_0)\cdot\vec{u}$ 따라서 이것은 $\varphi$ 의 그 점에서 gradient의 [[스칼라곱,scalar_product,dot_product|dot product]]이다. (u는 방향을 표시) 번역틀릴수있음. CHK (O'Neil AEM 7e p357) ---- 개념 설명은 [[기울기,gradient#s-3]]의 Sadiku 섹션에도 있음. ---- TOLINK: [[기울기,gradient]],[[편미분,partial_derivative]]이 필수개념임.. 기타 관계는? [[기울기벡터,gradient_vector]] (curr. goto [[벡터,vector]]) 와 밀접!? = related concepts? = 일반화: Gateaux_derivative https://ncatlab.org/nlab/show/directional+derivative - AKA '''Gâteaux derivative''' links ↓ [[WpEn:Gateaux_derivative]] [[Frechet_derivative]] [[접속,connection]] = tmp links ko = https://mathphysics.tistory.com/497 [[http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=5671]] 방향 도함수의 정의 https://freshrimpsushi.github.io/posts/definition-of-directional-derivative/ = tmp links en = Directional Derivatives and the Gradient https://youtu.be/TNwHXWApyH4 ---- AKA '''방향미분'''; [[WpKo:방향_미분]] curr redir to [[WpKo:편미분#방향도함수]] (as of [[Date(2022-01-19T20:01:51)]]) Twin: [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405092&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 방향도함수]] [[WpEn:Directional_derivative]] [[Libre:방향도함수]]에는 '''방향도함수'''라기보다 '''방향미분계수'''라고 하는게 옳지 않냐는 의견이 있음 https://mathinsight.org/directional_derivative_gradient_introduction Up: [[미분,derivative]] [[미분계수,differential_coefficient]] [[방향,direction]]