단 1회의 [[확률실험,random_experiment]]의 [[결과,outcome]]가 성공 혹은 실패의 경우만 가지는 [[확률변수,random_variable]] X의 결과를 모델링한 분포를 '''베르누이 분포'''라고 함.
또 이 1번의 실험을 [[베르누이_시행,Bernoulli_trial]]으로 부름.

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// ㄷㄱㄱ week 7-1 7m

$\bullet\;X\sim\text{Bern}(p)$ - [[베르누이_확률변수,Bernoulli_random_variable]] ([[이산확률변수,discrete_random_variable]]임)
$\bullet\;\text{P}[X]=\begin{cases}p&x=1\\1-p&x=0\\0&\text{otherwise}\end{cases}$
$\bullet\;\text{E}[X]=p$
$\bullet\;\text{Var}[X]=p(1-p)$

Binary random results - ''예측 불가능한(random) 둘 중의 한(binary) 결과(result, outcome)가 나온다''
 * Flipping a coin, success/fail, Yes/No

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// tmp from [[http://bigdata.dongguk.ac.kr/lectures/med_stat/_book/%ED%99%95%EB%A5%A0%EB%B3%80%EC%88%98%EB%B6%84%ED%8F%AC.html here 2.5.1]]
베르누이 분포:
 $P(X=0)=1-p$
 $P(X=1)=p$
pmf: // [[확률질량함수,probability_mass_function,PMF]]
 $p(x)=p^x(1-p)^{1-x},\;\;x=0,1$
표시:
 $X\sim\text{Bernoulli}(p)$ 또는 $\text{Ber}(p)$ 또는 $\text{Bern}(p)$
예
||           ||결과 ||
||동전던지기 ||앞면/뒷면 ||
||시험에     ||합격/불합격 ||
----
CHK, from http://blog.naver.com/mykepzzang/220838870172
{
[[시행,trial]]의 결과가 성공 또는 실패로 나타나고,
성공일 확률을 $p,$ 실패할 확률을 $q(=1-p)$ 라 할 때,

결과가 성공이면 확률변수 X가 1을 갖고
결과가 실패이면 확률변수 X가 0을 갖는 이러한 확률변수 X를 '''베르누이 확률변수'''라 하며,
이 때의 '''확률분포'''는 $f(1)=p,\,f(0)=1-p$ 이다.

[[베르누이_확률변수,Bernoulli_random_variable]]의 [[확률질량함수,probability_mass_function,PMF|확률질량함수(PMF)]]
 $f(x)=\begin{cases}p&x=1\\1-p&x=0\end{cases}$

[[기대값,expected_value]]
 $E(X)=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p$
 $E(X^2)=1^2\cdot p+0^2\cdot(1-p)=p$
[[분산,variance]]
 $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p)=pq$
}

= [[베르누이_확률변수,Bernoulli_random_variable]] =
{
Let $A$ be an [[사건,event|event]] related to [[결과,outcome|outcome]] of a [[확률실험,random_experiment|random experiment]].
Define indication function of $A.$
 $I_A(\zeta)=\begin{cases}0&\textrm{ if }\zeta\not\in A\\1&\textrm{ if }\zeta\in A\end{cases}$
$I_A(\zeta)$ is a '''Bernoulli random variable''' with values from $S_I=\{0,1\}$
[[확률질량함수,probability_mass_function,PMF|PMF]] of random variable $I_A:$
 $p_I(0)=P[\{\zeta:\zeta\in A\}]=1-p$
 $p_I(1)=P[\{\zeta:\zeta\in A^C\}]=p$

베르누이 확률변수 $I_A$ 의 [[분산,variance]]
First approach
 $VAR[I_A]=E[(I_A-m_{I_A})^2]$
 $=(0-p)^2p_X(0)+(1-p)^2p_X(1)$
 $=p^2(1-p)+(1-p)^2p$
 $=(1-p)p=pq$
2nd approach
 $E[I_A^2]=0^2p_I(0)+1^2p_I(1)=p$
 $VAR[I_A]=E[I_A^2]-E[I_A]^2=p-p^2=p(1-p)=pq$
## from 성대 안창욱

[[베르누이_시행,Bernoulli_trial]]
[[베르누이_분포,Bernoulli_distribution]]

[[RR:베르누이확률변수,Bernoulli_RV]]

Up: [[확률변수,random_variable]]
}

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Up: [[확률분포,probability_distribution]] > [[이산확률분포,discrete_probability_distribution]] > [[이항분포,binomial_distribution]]
Related: [[베르누이_시행,Bernoulli_trial]]

Twins:
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Binomial_distribution