#noindex Sub: [[영벡터,zero_vector]] { $\vec{0}=\vec{\rm XX}$ 은 head와 tail이 같다. (여기서 $\rm X$ 는 임의의 [[점,point]].) additive_identity 이다. $\vec{0}+\vec{\rm AB}=\vec{\rm AA}+\vec{\rm AB}$ etc (ESA4H) Up: [[영,zero]] } ... WtEn:zero_vector Ndict:"zero vector" Ggl:"zero vector" [[널벡터,null_vector]] { Up: [[널,null]] } ... WtEn:null_vector Ndict:"null vector" Ggl:"null vector" vector의 경우 위 둘은 ALWAYS equiv? chk ---- [[방향벡터,direction_vector]] tbw Q: '[[방향벡터,direction_vector]]'라는 말이 있던데 (영벡터를 제외한) 모든 벡터는 방향벡터 맞나? 크기는 필요없고 방향을 봐라, 혹은 크기보다는 방향에 주목해라 이런 뉘앙스인가? see also [[방향,direction]] see [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405093&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 방향벡터]] 보면 [[직선,line]]에 대해서 주어지는. 따라서 직선 하나당 2개. 근데 자주 보이지는 않는 표현... (굳이 방향이라는 단어를 명시할 필요가 없으니) - Google:direction.vector { [[직선,line]]의 '''방향벡터'''. ...직선에 대한 [[벡터방정식,vector_equation]] $\vec{r}=\vec{r_2}+t\vec{a}$ 에서 벡터 $\vec{a}$ 를 직선의 '''방향벡터(direction vector)'''라 한다. (Zill 6e ko p427) } [[변위벡터,displacement_vector]] [[위치벡터,position_vector]] r [[단위벡터,unit_vector]] u, a, e에 아래첨자, 3차원의 경우 각각 i/j/k or x/y/z (위에 ^) [[접벡터,tangent_vector]] T (위에 →) [[단위접벡터,unit_tangent_vector]] T (위에 ^) [[법선벡터,normal_vector]] N, n 단위접벡터 T(s) 라면, [[단위법선벡터,unit_normal_vector]] N(s)=(T'(s))/(|T'(s)|)=sgn(T'(s)) 종법선벡터(binormal_vector) B(s)=T(s)×N(s) (이 세 줄: [[https://namu.wiki/w/%EA%B3%A1%EC%84%A0#s-2.2.4 공간곡선의 Frenet frame]]) KmsE:binormal Ggl:"binormal vector" [[기울기벡터,gradient_vector]] [[벡터장,vector_field]] [[벡터함수,vector_function]] [[벡터미적분,vector_calculus]] [[벡터공간,vector_space]] [[방향코사인,direction_cosine]] [[분리벡터,separation_vector]] separation vector KpsE:"separation vector" x [[Date(2023-12-30T22:08:25)]] [[Namu:분리%20벡터]] = https://namu.wiki/w/분리%20벡터 ... "[[위치벡터,position_vector]]에서 Ggl:"source vector" 를 뺀 벡터." (Griffiths) Up: [[분리,separation]] [[벡터,vector]] [[유사벡터,pseudovector]] [[이중벡터,bivector]] { w 이중벡터 바이벡터 이중벡터 via KmsE:bivector ... or 바이벡터 ? try KpsE:bivector MKL [[exterior_product]] { WtEn:exterior_product } [[wedge_product]] { WtEn:wedge_product } [[기하학,geometry]] [[computer_graphics]] [[벡터,vector]] [[공간,space]] [[축,axis]] [[넓이,area]] > [[directed_area]] { directed area "directed area" Ggl:"directed area" } [[평면,plane]] [[exterior_algebra]] [[geometric_algebra]] [[Clifford_algebra]] [[multivector]] https://www.euclideanspace.com/maths/algebra/vectors/related/bivector/index.htm [[WpEn:Bivector]] ... Ndict:bivector Ggl:bivector YouTube:bivector } [[확률벡터,random_vector]] { // tmp from KmsE:"random vector" 유한차원확률벡터 finite dimensional random vector 무한차원확률벡터 infinite dimensional random vector Ggl:"infinite dimensional random vector" 가우스 확률벡터 Gaussian random vector Ggl:"Gaussian random vector" }//random vector ... Ggl:"random vector" NN:"random vector" Bing:"random vector" ADDHERE Topics: [[사영,projection]] (특히 '''벡터'''의 내적과 밀접) ---- 고딩 레벨에선 [[스칼라,scalar]]는 크기만 있는 것, '''벡터'''는 크기 + 방향 (magnitude + direction)이 있는 것으로 설명 여기서 크기+방향은 (x, y) 좌표를 쓰기도 하고, (두 수 모두 크기와 방향을 나타냄) (r, θ) 극좌표를 쓰기도 함 (r은 크기, θ는 [[방향,direction]]) $\vec{A}$ 의 크기를 $|\vec{A}|$ , 방향을 $\operatorname{dir}(\vec{A})$ 로 나타내기도. $\vec{A}$ 의 magnitude를 $A=|\vec{A}|,$ direction을 unit vector $\hat{a}$ 로 하면 $\vec{A}=\hat{a}|\vec{A}|=\hat{a}A$ 이렇게 magnitude × direction으로 나타낼 수 있음. $\hat{a}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}=\frac{\vec{A}}{A}$ (Ulaby) 두 [[점,point]]을 통해서 나타내는 일이 잦음. 시점이 A, 종점이 B인 벡터를 $\vec{AB}$ 로 나타냄. 따라서 벡터의 합은 $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ 가 됨. 표현(representation): * 화살표 arrow * 방향성 선분 (directed line segment - [[방향,direction]] + [[선분,line_segment]]) [[스칼라,scalar]]가 여러 개 있는 것? 그 수들은 [[방향수,direction_number]]? 예를 들어 공간의 각 점에 대한 함수([[장,field]])를 다음 두 방식으로 나타낸다. $\varphi(x,y,z)=\varphi(\vec{r})$ 수학에선 [[벡터공간,vector_space]]의 [[원소,element]]. '''''← 벡터의 정의''''' 1차원 배열?? chk // [[하나,one]] [[차원,dimension]] [[배열,array]] ---- // from BigBook, DELME - too easy 두 실수의 순서조 $(x_1,x_2)$ 를 (평면)'''벡터''' (vector in plane)라 하고 $\vec{x}=[x_1,x_2]$ 또는 $\vec{x}=\left[{x_1 \atop x_2}\right]$ 로 나타낸다. 이 때 실수 $x_1,x_2$ 를 (평면)'''벡터''' $\vec{x}$ 의 성분(component)이라고 한다. 세 실수의 순서조 $(x_1,x_2,x_3)$ 를 (공간)벡터(vector in space)라 하고 $\vec{x}=[x_1,x_2,x_3]$ 또는 $\vec{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$ (마찬가지) $n$ 개의 실수의 순서 조 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 을 n-차원벡터(n-dimensional vector)라 하고 $\vec{x}=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}$ 혹은 $\vec{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\x_n\end{bmatrix}$ 로 나타냄. $\mathbb{R}^n$ 의 벡터 $\vec{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 에 대해 $||\vec{x}||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$ 을 x의 노름(norm, length, magnitude)이라 한다. ([[노름,norm]]) 두 $n$ 차원 벡터 $\vec{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n),\; \vec{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 이 있을 때 $||\vec{x}-\vec{y}||=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}$ 은 두 점 $P(x_1,x_2,\cdots,x_n),\; Q(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 사이의 [[거리,distance]]의 정의. ---- WpEn:Euclidean_vector read todo n차원 벡터는 n차원 유클리드공간에서의 [[위치벡터,position_vector]]로 생각할 수 있음? CHK // from 고급수학.pdf 55p [[TableOfContents]] = 관련 = 2차원에 표현한 diagram에서, 쓰이는 기호.. U+2299 ⊙ : 뚫고 나옴 U+2297 ⊗ : 뚫고 들어감 [[표준기저,standard_basis]] ? e1=(1,0,0), ... = 행렬과의 관계 = 1×n 혹은 n×1꼴의 [[행렬,matrix]]은 '''벡터'''. [[열벡터,column_vector]]를 나타낸 행렬 $\vec{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_m\end{bmatrix}$ [[행벡터,row_vector]] $\vec{x}=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots x_m\end{bmatrix}$ 이 둘은 서로 [[전치,transpose]] 관계 See [[WpEn:Row_and_column_vectors]] [[행벡터,row_vector]] https://mathworld.wolfram.com/RowVector.html [[열벡터,column_vector]] https://mathworld.wolfram.com/ColumnVector.html = 예 (여러 벡터, 분류) = zero vector - [[영벡터,zero_vector]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405226&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 영벡터]] https://mathworld.wolfram.com/ZeroVector.html $\vec{0}$ =(0,0,0) unit vector - [[단위벡터,unit_vector]] x1=(1,0,0) x2=(0,1,0) x3=(0,0,1) sparse_vector Sparse vectors are common in ML applications and often require some type of method to deal with them effectively.[https://pabloinsente.github.io/intro-linear-algebra src] 원소의 대부분이 [[영,zero|0]]인 벡터 rel. sparsity ? null_vector 작성중. Google:null.vector = 예 (적용, 특히 물리 쪽에) = [[변위,displacement]]는 벡터 → [[변위벡터,displacement_vector]] [[속도,velocity]] $\vec{v}$ [[가속도,acceleration]] $\vec{a}$ [[힘,force]] $\vec{F}$ [[충격량,impulse]] $\vec{I}$ [[선운동량,linear_momentum]] $\vec{p}$ [[각운동량,angular_momentum]] $\vec{L}$ [[장,field]] - [[벡터장,vector_field]] 둘의관계? TOCLEAN [[전자기장,electromagnetic_field]] [[전기장,electric_field]] [[전속밀도,electric_flux_density]] $\vec{D}$ [[전기장세기,electric_field_intensity]] $\vec{E}$ [[자기장,magnetic_field]] [[자속밀도,magnetic_flux_density]] $\vec{B}$ [[자기장세기,magnetic_field_intensity]] $\vec{H}$ [[포인팅_벡터,Poynting_vector]] $\vec{S}$ ---- [[각속도,angular_velocity]] $\vec{\omega}$ 는 엄밀히 벡터가 아니고 유사벡터,준벡터^^pseudovector^^라는 말이 있어서 안 적었는데...CHK = 연산 = TBW 여기서 WtEn:vector_algebra Ggl:"vector algebra") 또는 vector_operation(s) 페이지 분리. 그리고 각종 lin alg package/SW/CAS (ex. [[넘파이,NumPy]])의 해당 문법 언급 ---- Q; 이걸 vector algebra라고 함? - Yes, from WpEn:Vector_algebra 같음(상등, equality), 덧셈, 뺄셈, 실수배는 매우 쉽다. Trivial. 곱셈에 해당하는 것이 여러 가지이다. 나눗셈에 해당하는 것 있나? * 덧셈 vector_addition * [[교환법칙,commutativity]] 만족, commutative, a+b=b+a * [[결합법칙,associativity]] 만족, associative, a+(b+c)=(a+b)+c * 덧셈의 항등원 (영벡터) 존재 기하적으로 설명할 때, triangle law + parallelogram law로 설명. * 실수배 scalar_multiplication scalar_multiple $c\vec{v}$ 는 [[길이,length]]가 $|c|$ 배, $|c|>1$ 이면 stretching, $|c|<1$ 이면 compaction? // 스케일링 scaling 스케일 scale [[방향,direction]]은 $c>0$ 이면 그대로, $c<0$ 이면 반대로, .... $c=0$ 이면 영벡터? 암튼 곱하는 scalar의 [[부호,sign]]가 음이면 방향이 정반대로.. $c=1$ 인 경우? 곱셈항등원1...? 아님 scalar 1은 벡터집합에 속하지 않으므로 항등원은 아니고 별도의 뭔가로 봐야 하는건지? // [[항등원,identity_element]] [[하나,one]] 벡터의 [[정규화,normalization]]: 상수배해서 길이를 1로 조정하는 작업. 관련: [[단위벡터,unit_vector]] * 뺄셈 덧셈 역원? u+v=u+(-v)로 계산. 즉 위의 덧셈과 (-1 실수배)로. * 곱셈에 해당하는 것 ... 1) 벡터의 스칼라배 - 스칼라와 벡터의 곱, 2) 벡터와 벡터의 곱 vector-vector multiplication: $\vec{a}\times\vec{b}$ (결과가 벡터) $\vec{a}\cdot\vec{b}$ (결과가 스칼라) (1,1,...,1)이게 항등원? $\vec{a}\vec{b}$ - 다이아드 곱(diadic product)? -> [[dyadic_product]] { '''dyadic product''' .... WtEn:dyadic Up: [[곱,product?action=highlight&value=dyadic]] } // dyadic product ... Ggl:"dyadic product" Bing:"dyadic product" [[스칼라곱,scalar_product,dot_product]] [[벡터곱,vector_product,cross_product]] [[내적,inner_product]] [[외적,outer_product]] 위와의 관계는 정확히 모르겠다. 아래가 더 넓은 범위? Yes. 위가 특별한(special) 경우, 아래가 일반적인(general) 경우. 현재 설명은 [[공간,space]] 맨 윗부분 '내적공간' 근처 참조. [[삼중곱,triple_product]] [[텐서곱,tensor_product]] - $\vec{a}\otimes\vec{b}$ ? * 크기, norm, 길이 - [[노름,norm]] $||\vec{A}||=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$ 성질.. $||\alpha\vec{A}||=|\alpha|\cdot||\vec{A}||$ $||\vec{A}+\vec{B}|| \le ||\vec{A}||+||\vec{B}||$ ..... [[삼각부등식,triangle_inequality]] 이건 연산이라기보다는(f(벡터)=실수 연산으로 볼 수도 있지만) 속성,attribute? [[단위벡터,unit_vector]]는 크기(? 노름? 길이?)가 1임 벡터 $\vec{v}=\langle x,y,z\rangle$ 의 [[길이,length]], magnitude, [[노름,norm]]: $||\vec{v}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ == 벡터의 곱셈 == [[곱,product]] [[곱셈,multiplication]] Why can't you multiply vectors? - YouTube https://youtu.be/htYh-Tq7ZBI === Sadiku === 심플하게 스칼라곱과 내적, 벡터곱과 외적을 구분하지 않는 설명. (복습용. 아는 것은 수식/설명 모두 생략하고 생략했다고만 언급.) 스칼라와 벡터의 곱 (앞에서 언급했던가... 아무튼 쉬우므로 언급 x) 두 벡터 (A, B)의 곱셈의 두 형태 ||스칼라곱 ||스칼라적 ||내적 ||A·B ||결과가 스칼라 || ||벡터곱 ||벡터적 ||외적 ||A×B ||결과가 벡터 || 세 벡터(A, B, C)의 곱셈의 두 형태 ||스칼라 삼중적 ||A·(B×C) ||결과가 스칼라 || ||벡터 삼중적 ||A×(B×C) ||결과가 벡터 || See [[삼중곱,triple_product]] 내적 $\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos\theta_{AB}$ 각 성분끼리 곱하는 식 생략. 내적이 0이면 직교인 것 생략. 교환법칙성립, 분배법칙성립 생략. $\vec{A}\cdot\vec{A}=|\vec{A}|^2=A^2$ (스스로를 내적하면 크기 제곱?) 단위벡터 사이의 내적 생략. 외적 $\vec{A}\times\vec{B}=AB\sin\theta_{AB}\vec{a}{}_{n}$ 여기서 $\vec{a_n}$ : A와 B를 포함하는 평면에 수직인 단위벡터. 크기는 평행사변형 생략. 방향은 생략(오른손법칙만 알면 되니까). 행렬식 생략. 교환법칙 비성립. $\vec{A}\times\vec{B} \ne \vec{B}\times\vec{A}$ 반교환법칙 성립. $\vec{A}\times\vec{B} = -\vec{B}\times\vec{A}$ 결합법칙 비성립. $\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) \ne (\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}$ 분배법칙 성립. $\vec{A}\times(\vec{B}+\vec{C}) = \vec{A}\times\vec{B} + \vec{A}\times\vec{C}$ $\vec{a_x}\times\vec{a_y}=\vec{a_z}$ 등등 생략. 스칼라 삼중적 정의: $\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A})=\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})$ 순환 순열방식으로 얻어짐. 평행육면체의 체적과 관련. 원문 $\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)$ 등등 입력하기 힘들어서 대충 알파벳을 할당해서 $\vec{a}=(d,e,f),\vec{b}=(g,h,i),\vec{c}=(j,k,l)$ 이면 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\begin{vmatrix}d&e&f\\g&h&i\\j&k&l\end{vmatrix}$ 벡터 삼중적 정의: $\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})$ 즉 bac-cab 법. 다음 두 식의 차이에 유의. $(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C} \ne \vec{A}(\vec{B}\cdot\vec{C})$ 그러나 $(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}=\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})$ (Sadiku 5e 1.7 벡터의 곱셈) = 기타 연산 비슷한 것 혹은 transform에 해당하는 것 (연산?) = [[변환,transformation]] 축을 중심으로 한 [[회전,rotation]] 관련: [[행렬변환,matrix_transformation]]. 벡터변환이라는 것이 있다기 보다는 아마 행렬변환을 위해 벡터가 사용된다 이 정도인 듯 한데.... 그래도 벡터변환은 검색결과가 나오긴 나오는데... TOREAD. Google:vector.transformation '''벡터'''의 [[선형변환,linear_transformation]]에 해당하는 것은.. stretch flip (to mirror image) transform은 수식으로는 (행렬) * (벡터) 곱 형태로 나타남. TBW (이 tmp 섹션은 https://youtu.be/IrggOvOSZr4 보고 대충 적은 것) Linear combinations of vectors 이건 당연히, 위 연산 중에서 실수배와 합에 관련. see [[선형결합,linear_combination]] = 분해 (연산?) = 벡터를 각 성분(component)으로 분해할 수 있다. 벡터의 성분을 찾는 것을 resolving the vector라고 한다. 일반적으로 벡터는 직각 성분으로''(i.e. 서로 직교하는 성분들로)'' 분해하여 사용하는 것이 편리하다. (Meriam 정역학 p4) 이건 [[사영,projection]] esp [[정사영,orthogonal_projection]]과 rel, mkl. ---- 2차원 위의 벡터 A와 B는 이렇게 x, y성분으로 분해하고 $\vec{A}=\vec{A_x}+\vec{A_y}, \ \vec{B}=\vec{B_x}+\vec{B_y}$ 합은 $\vec{A}+\vec{B}=(\vec{A_x}+\vec{B_x})+(\vec{A_y}+\vec{B_y})$ ---- $a_x=a\cos\theta$ $a_y=a\sin\theta$ $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ $\tan\theta=\frac{a_y}{a_x},\qquad \theta=\arctan\left(\frac{a_x}{a_y}\right)$ $\vec{a}$ 를 * $a_x$ and $a_y$ 로 나타내면 component notation * $a$ and $\theta$ 로 나타내면 magnitude-angle notation (관련: [[극좌표,polar_coordinate]] [[극좌표계,polar_coordinate_system]]) ---- $\vec{a}$ 의 $x$ 성분 $=a_x=a\cos\theta$ $y$ 성분 $=a_y=a\sin\theta$ $|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ (이걸 $a$ 로 표기하기도 함) $=\sqrt{(a\cos\theta)^2 + (a\sin\theta)^2}$ $=\sqrt{a^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}$ $=a$ ---- 3차원 TBW ---- 관련: [[방향,direction]] [[방향수,direction_number]] [[방향코사인,direction_cosine]] [[축,axis]]에 대한 [[사영,projection]] = 벡터와 각 : 직교, 평행, etc. (연산으로 분류할까?) = || ||사잇각 ||내적 ||외적 || ||직교, perpendicular, orthogonal ||90° ||0 || || ||평행, parallel ||0°, 180° || ||0 || 일치도 평행에 포함? both vectors are scalars of each other일경우와 동일? CHK [[각,angle]] 관련: [[방향,direction]] 벡터(영벡터 제외) 사이의 각은 아크코사인과 [[스칼라곱,scalar_product,dot_product]]으로 쉽게 구해진다. 3D의 경우만 보면, the angle between nonzero vectors $\vec{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle$ and $\vec{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle$ is given by $\theta=\cos^{-1}\left( \frac{u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3}{||\vec{u}|| \, ||\vec{v}||} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}|| \, ||\vec{v}||} \right)$ Related: [[코사인법칙,cosines_law]] ---- 영이 아닌 두 벡터 $\vec{v},\vec{w}$ 의 사이각이 * 예각일 필요충분조건은 $\vec{v}\cdot\vec{w}>0$ 이다. * 둔각일 필요충분조건은 $\vec{v}\cdot\vec{w}<0$ 이다. * 직각일 필요충분조건은 $\vec{v}\cdot\vec{w}=0$ 이다. (김홍종 미적1+ p190) ---- 벡터의 나란함과 평행 ...에 대해서 확실히. QQQ 평행 = 방향까지 같음, 나란함 = 방향이 정반대인 경우까지 포함? 나란함 = Srch:collinear ity 인지? MKLINK [[parallelism]] [[collinearity]] Google:벡터+나란한+평행 Google:vector+parallel+collinear ---- 일반적으로 두 벡터가 일차종속(=[[선형종속,linear_dependence]])일 필요충분조건은 두 벡터가 나란한 것이다. (김홍종 미적1+ p210) = 벡터로 표현한 도형 TOCLEANUP = == 벡터로 표현한 [[직선,line]] == === 2차원 === A를 지나고 $\vec{b}$ 에 평행한 직선 위의 점 X가 있을 때, X의 자취의 방정식을 구하는 방법. $\vec{AX}=t\vec{OB}$ $\vec{OX}-\vec{OA}=t\vec{OB}$ $\vec{x}-\vec{a}=t\vec{b}$ 따라서, $\vec{a}=\vec{OA}$ 일 때, A를 지나 $\vec{b}$ 에 평행한 직선의 벡터방정식은 $\vec{x}=\vec{a}+t\vec{b}$ (t는 임의의 실수) 마찬가지로, A, B를 지나는 직선 위의 점 X는 다음을 만족한다. $\vec{AX}=t\vec{AB}$ A, B, X의 [[위치벡터,position_vector]]를 각각 $\vec{a},\vec{b},\vec{x}$ 라고 하면 $\vec{AX}=t\vec{AB}$ $\vec{OX}-\vec{OA}=t(\vec{OB}-\vec{OA})$ $\vec{x}-\vec{a}=t\vec{b}-t\vec{a}$ $\vec{x}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$ 이것이 두 점 A, B를 지나는 직선의 벡터방정식이다. ---- 점 A(x₁,y₁)을 지나고 벡터 $\vec{u}=(l,m)$ 에 평행한 직선의 방정식은 $\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}\qquad(l\neq0,\,m\neq0)$ 두 점 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)를 지나는 직선의 방정식은 $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\qquad(x_1\neq x_2,\,y_1\not=y_2)$ ---- 점 $A(x_1,y_1)$ 을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $\vec{h}=(a,b)$ 에 수직인 직선 g의 방정식을 구하는 과정: A의 위치벡터를 $\vec{a}$ , g 위의 임의의 한 점 P의 위치벡터를 $\vec{p}=(x,y)$ 라 하면 $\vec{AP}\bot\vec{h}$ $\vec{AP}\cdot\vec{h}=0$ $(\vec{p}-\vec{a})\cdot\vec{h}=0$ 이때 $\vec{h}$ 를 g의 법선벡터라고 한다. $(x-x_1,y-y_1)\cdot(a,b)=0$ $a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$ $ax+by+C=0\qquad(C=-ax_1-by_1)$ == 벡터로 표현한 [[원,circle]]의 방정식 == 원의 중심의 위치벡터가 $\vec{c}$ 이고 반지름이 $r$ 이라면 $\left|\vec{x}-\vec{c}\right|=r$ = 표기 TOCLEANUP = == 벡터 이름 표기 == 이름이 v일 때 italic, arrow: $\large\vec{v}$ (\vec) 고등학교 교재는 이 표기법만 사용하는 듯 non-italic boldface: [MimeTeX]가 지원 안함, 일단 mathbf로 써 보면 $\large\mathbf{v}$ (\mathbf) 이 때는 italic을 적용시키지 않는 것 같기도 한데... 예를 들어 $\huge v\mathbf{v \textrm{v}} \textrm{v} \textrm{\mathbf{v}}$ 중에서 세번째. italic, hat: $\large\hat{v}$ (\hat) (단위벡터) 벡터 표시를 하지 않은 그냥 문자가 그 벡터의 크기를 의미하는 표기법도 자주 쓰임 $A=|\vec{A}|$ 예를 들면 $\vec{A}\cdot\vec{A}=|\vec{A}|^2=A^2$ == 벡터 내용 표기 == 앞뒤 감싸는 기호 parenthesis (…) bracket […] \langle ... \rangle $\langle\cdots\rangle$ (이상 comma 사용) row_vector column_vector (이상 comma 안씀) 또 있나? $|$ 이나 $||$ 으로 둘러싸면 norm, 크기 - [[노름,norm]] 행백터/열벡터: 가로/세로?? CHK 세로 기호의 경우에는 [[조합,combination]]의 기호와 똑같다. 왜 그럴까? TOFIND ${}_{n}\operatorname{C}_{r}=\left(\begin{array}n\\r\end{array}\right) = {n\choose r}$ 두 점으로 벡터 표기하기? WpEn:Euclidean_vector (== $\mathbb{R}^n$ 내의 두 점으로 표현되는 벡터???TOASK)의 경우 표기 A: 시작점, B: 끝점 $\large\vec{AB}$ == 표기법 == [[표기법,notation]] [[WpEn:Vector_notation]] - TOREAD = 비교 = [[텐서,tensor]] [[튜플,tuple]]과의 차이는? '''벡터'''는 [[방향,direction]] 정보에 크기(magintude) 정보도 부여한 것? [[유향선분]] { directed line segment?? 둘의 차이점은, 벡터는 절대적 위치가 아무 상관없고, 유향선분은 절대적 위치가 의미있는(중요한) ...? ... Google:유향선분 Google:directed.line.segment [[방향,direction]] [[선분,line_segment]] } = 표현 = collinear 동일 선상의, along the same straight line 같은 방향이거나 반대 방향 (either in the same or in opposite directions) 직교벡터 orthogonal vectors 서로 직교하는 벡터 둘 정규직교벡터 orthonormal vectors 서로 직교벡터이면서 각각 [[단위벡터,unit_vector]]인 벡터 둘 see also [[기저,basis]] = 벡터의 삼각부등식 = $\mathbb{R}^n$ 의 벡터 $\vec{x},\,\vec{y}$ 에 대해 $||\vec{x}+\vec{y}|| \le ||\vec{x}|| + ||\vec{y}||$ 단 등호는 $\vec{x},\,\vec{y}$ 중 하나가 다른 것의 $k(\ge 0)$ 배일 때만 성립. ## from BigBook [[삼각부등식,triangle_inequality]] = Links ko = https://angeloyeo.github.io/2020/09/07/basic_vector_operation.html 벡터의 정의와 기본연산 = links en = https://everything2.com/title/vector = tmp; Sadiku 5e 1.7-1.9 = 3D 직각좌표계에서, 벡터 A $(\vec{A})$ 는 이런 표기를 씀 $\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)=A_x\vec{a_x}+A_y\vec{a_y}+A_z\vec{a_z}$ A의 크기는 $|\vec{A}|=A=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$ A에 대한 [[단위벡터,unit_vector]]는 $\vec{a_A}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}=\frac{A_x\vec{a_x}+A_y\vec{a_y}+A_z\vec{a_z}}{\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}}$ = 벡터의 공변성과 반변성 - covariance and contravariance = ''fork한다면 pagename은?'' ''공변과 반변을 항상 같이 서술해야 하는 게 아니라면 [[공변성,covariance]] and [[반변성,contravariance]]''? ---- 단어/표현 반변적인 contravariant 반변벡터 contravariant_vector - 이것을 보통 벡터라고 한다? (ghebook) 공변적인 covariant 공변벡터 convariant_vector AKA 코벡터 covector 공변벡터는 다른 말로 [[미분형식,differential_form]] 또는 1차형식(one-form) (ghebook) [[계수,rank]]: [[반변계수,contravariant_rank]] [[공변계수,covariant_rank]] ---- 표기 $\bar{a}_i$ 공변벡터 covariant vector $\bar{a}^i$ 반변벡터 contravariant vector 이렇게 첨자 위 아래 여부? i는 뭐지 ??? CHK (ghebook) 비디오 (Khutoryansky) 텐서 : 공변, 반변, 차수 https://www.youtube.com/watch?v=CliW7kSxxWU basis vector(see [[기저,basis]])를 기반으로 contra-variant, co-variant, [[텐서,tensor]] 같이 설명. rank 1인 텐서는 vector. ---- 관련: [[텐서,tensor]] [[좌표변환,coordinate_transformation]] AKA transformation of coordinates [[다중선형대수,multilinear_algebra]] 비슷한 단어가 쓰이는 (벡터 제외한) 다른 분야: MISC TOCLEANUP { CS의 [[타입,type]]론에서 같은 단어 쓰임. tmp bmks ko C# 제네릭에서의 불변성과 가변성 - https://www.csharpstudy.com/DevNote/Article/31 Twin [[WpKo:공변성과_반공변성_(컴퓨터_과학)]] [[WpEn:Covariance_and_contravariance_(computer_science)]] [[https://docs.microsoft.com/en-us/dotnet/standard/generics/covariance-and-contravariance .NET documentation]]: Covariance and contravariance in generics 통계에서는 영단어가 공변~ 과 매우 비슷한 [[공분산,covariance]] 개념이 있는데 어떤 관련이 있는지 TBW. 범주론(category theory)에서 함자(functor)에는 반변함자(contravariant functor), 공변함자(covariant functor)가 있음. // [[범주,category]] [[함자,functor]] [[반변함자,contravariant_functor]], [[공변함자,covariant_functor]] } Srcs: 텐서(Tensor)와 좌표 변환(Coordinate Transformation) https://ghebook.blogspot.com/2011/06/tensor-coordinate-transformation.html WpKo:벡터의_공변성_및_반변성 표기: 텐서 미적분학(Tensor Calculus) https://ghebook.blogspot.com/2011/07/tensor-calculus.html Twins: [[WpEn:Covariance_and_contravariance_of_vectors]] = 수학/물리 바깥에서 단어 vector의 쓰임 = == 생명과학쪽 == 벡터의 어원이 대충 '나르다' '운반자' '운반해주는 역할을 하는 것' '전달자' 정도의 뜻이며, (? chk. Google:etymology.of.vector ) 수학에선 의미가 극도로 추상화되었지만 [[생물학,biology]] 의학 약학 등등 쪽에선 그 뜻 그대로 쓰인다. [[플라스미드,plasmid]] 등등. [[WpKo:벡터_(분자생물학)]] [[WpEn:Vector_(molecular_biology)]] cf. kps에서 carrier의 번역은 '운반자 or 나르개'. [[캐리어,carrier]] [[운반자,carrier]].[* KpsE:carrier] == 컴퓨터쪽 == [[vector_graphics]] - [[computer_graphics]]쪽에서. [[raster_graphics]]과 대조되는. [[인터럽트벡터,interrupt_vector]] - rel. [[인터럽트,interrupt]], [[IVT,interrupt_vector_table]], [[interrupt_handler]] 이건 대충 실행될 코드의 방향을(즉 위치를, 메모리 [[주소,address]]를) 가리키는 [[포인터,pointer]]정도의 의미이고 각종 PL의 vector type, ex. C++의 벡터 - {{{std::vector}}} ... ''pagename?'' 이건 대충 [[배열,array]] 및 [[리스트,list]]와 비슷한 ADT 혹은 [[자료구조,data_structure]]정도의 의미이고 등등 See WpEn:Vector and WpKo:벡터 ---- Twins: [[https://en.citizendium.org/wiki/Vector_(mathematics)]] - easy [[WpEn:Vector]] - disambiguation [[WpEn:Vector_(mathematics_and_physics)]] [[WpKo:벡터]] https://mathworld.wolfram.com/Vector.html https://encyclopediaofmath.org/wiki/Vector - ''geometric'' 상위: [[선형대수,linear_algebra]] [[스칼라와_벡터_비교]] Compare - 벡터와 대조/대비되는 것: [[스칼라,scalar]] - algebra에서? [[래스터,raster]] - graphics에서?