$\vec{A}\times\vec{B}$

$\vec{A}\times\vec{B} = \overbrace{AB\sin\theta}^{\text{area of the parallelogram}\atop\downarrow}\cdot\underbrace{\hat{n}}_{\uparrow\atop\text{normal vector}}$
즉 평행사변형의 넓이와 관련이 있다.

1. Bazett
2. 크기 magnitude
3. 주요 성질
4. 벡터곱(vector product, cross product)과 외적(outer product)에 대해
5. 응용 (물리)
6. Zill의 표현.
7. Criterion for Parallel Vectors
8. 표준기저의 벡터곱
9. 행렬식(determinant)과의 관계
10. TOASK
11. See also

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1. Bazett ¶

$\vec{u}$ 와 $\vec{v}$ 에 모두 직교하는(orthogonal)벡터를 구하려면?
일단 u, v에 모두 normal한 벡터는 두 방향이 있다. 그 중 right-hand rule을 따르는 방향으로의 단위법선벡터,unit_normal_vector $\vec{n}$ 을 정하고, u와 v가 만드는 평행사변형(parallelogram)의 넓이는 $|\vec{u}| |\vec{v}|\sin(\theta)$ 이고.

Geometric cross product:

$\vec{u}\times\vec{v}=(|\vec{u}| |\vec{v}| \sin(\theta))\vec{n}$

여기서,

$\vec{n}$ 앞의 계수 : 평행사변형의 넓이
$n$ : Unit normal vector obeying right-hand rule

Algebraic cross product:

For $\vec{u}=u_1i+u_2j+u_3k$ and $\vec{v}=v_1i+v_2j+v_3k,$
$\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2)i+(u_1v_3-u_3v_1)j+(u_1v_2-u_2v_1)k$

Determinant cross product:

$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\hat{\mathrm i}&\hat{\mathrm j}&\hat{\mathrm k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$

(용어(geometric/algebraic/determinant)를 알아두기 위해 적어놓음)
(https://youtu.be/xoeoGQ1Bzqc)

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2. 크기 magnitude ¶

also 길이,length

$|\vec{A}\times\vec{B}|=|\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta$

$\theta$ 는 두 벡터 사이의 각,angle (so 0 ≤ θ ≤ π)

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3. 주요 성질 ¶

교환법칙,commutativity 비성립

$\vec{A}\times\vec{B}\neq\vec{B}\times\vec{A}$

반교환법칙 anticommutativity? 성립 (anticommutative)

$\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$
(since sin(-θ)=-sinθ)

결합법칙,associativity 비성립

$\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\neq(\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}$

분배법칙,distributivity 성립

$\vec{A}\times(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\times\vec{B}+\vec{A}\times\vec{C}$
$(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=(\vec{a}\times\vec{c})+(\vec{b}\times\vec{c})$

$\vec{A}\times\vec{A}=\vec{0}$

(since sin0=0)

$\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix}\hat{\rm i}&\hat{\rm j}&\hat{\rm k}\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}$

$=\begin{vmatrix}A_y&A_z\\B_y&B_z\end{vmatrix}\hat{\rm i}-\begin{vmatrix}A_x&A_z\\B_x&B_z\end{vmatrix}\hat{\rm j}+\begin{vmatrix}A_x&A_y\\B_x&B_y\end{vmatrix}\hat{\rm k}$

$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0,$
$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0$

$\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0$
$\vec{b}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0$

//Stewart - Properties of the Cross Product(8e p819)에서 위에 아마 언급 안된 것 같은거

5. $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$
//BAC-CAB 이미 있지만.. 여기 표현
6. $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$

$\vec{a}\times\vec{b}$ 는 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 둘 다에 수직. (수직성,perpendicularity, 직교성,orthogonality)

증명은 $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}$ 를 계산하면 0이 나옴. $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}$ 도 마찬가지. (내적이 0 ⇔ 직교)

(Stewart)

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4. 벡터곱(vector product, cross product)과 외적(outer product)에 대해 ¶

엄밀하게는 외적과 벡터곱(Cross Product)은 다르다.
See 외적,outer_product

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5. 응용 (물리) ¶

토크,torque

$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$

각운동량,angular_momentum

$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$

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6. Zill의 표현. ¶

영벡터가 아닌 $\vec{a},\vec{b}$ 가 있고 사이 각이 $\theta$ 이면
$||\vec{a}\times\vec{b}||=||\vec{a}||\,||\vec{b}||\sin\theta$

$\vec{a}\times\vec{b}=(||\vec{a}||\,||\vec{b}|| \sin\theta)\vec{n}$

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7. Criterion for Parallel Vectors ¶

영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a},\vec{b}$ 는 서로 평행이다 if and only if

$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$

즉 $\theta=0\text{ or }\pi$ 인 경우.

평행성,parallelism

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8. 표준기저의 벡터곱 ¶

표준기저,standard_basis의 벡터곱

i×i=0	j×j=0	k×k=0	(0은 영벡터)
i×j=k	j×k=i	k×i=j	(cyclic order) // 순환순서,cyclic_order
j×i=−k	k×j=−i	i×k=−j	(anticyclic order?) (anticommutative)