$\vec{A}\times\vec{B}$

$\vec{A}\times\vec{B} = \overbrace{AB\sin\theta}^{\text{area of the parallelogram}\atop\downarrow}\cdot\underbrace{\hat{n}}_{\uparrow\atop\text{normal vector}}$
즉 평행사변형의 넓이와 관련이 있다.

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<<TableOfContents>>

= Bazett =
$\vec{u}$ 와 $\vec{v}$ 에 모두 직교하는(orthogonal)벡터를 구하려면?
일단 u, v에 모두 normal한 벡터는 두 방향이 있다. 그 중 right-hand rule을 따르는 방향으로의 [[단위법선벡터,unit_normal_vector]] $\vec{n}$ 을 정하고, u와 v가 만드는 평행사변형(parallelogram)의 넓이는 $|\vec{u}| |\vec{v}|\sin(\theta)$ 이고.

Geometric cross product:
 $\vec{u}\times\vec{v}=(|\vec{u}| |\vec{v}| \sin(\theta))\vec{n}$
여기서,
 $\vec{n}$ 앞의 계수 : 평행사변형의 넓이
 $n$ : Unit normal vector obeying right-hand rule

Algebraic cross product:
 For $\vec{u}=u_1i+u_2j+u_3k$ and $\vec{v}=v_1i+v_2j+v_3k,$
 $\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2)i+(u_1v_3-u_3v_1)j+(u_1v_2-u_2v_1)k$

Determinant cross product:
 $\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\hat{\mathrm i}&\hat{\mathrm j}&\hat{\mathrm k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$

(용어(geometric/algebraic/determinant)를 알아두기 위해 적어놓음)
(https://youtu.be/xoeoGQ1Bzqc)

= 크기 magnitude =
also [[길이,length]]

$|\vec{A}\times\vec{B}|=|\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta$

$\theta$ 는 두 벡터 사이의 [[각,angle]] (so 0 ≤ θ ≤ π)

= 주요 성질 =
[[교환법칙,commutativity]] 비성립
 $\vec{A}\times\vec{B}\neq\vec{B}\times\vec{A}$
반교환법칙 anticommutativity? 성립 (anticommutative)
 $\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$
 (since sin(-θ)=-sinθ)

[[결합법칙,associativity]] 비성립
 $\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\neq(\vec{A}\times\vec{B})\times\vec{C}$

[[분배법칙,distributivity]] 성립
 $\vec{A}\times(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\times\vec{B}+\vec{A}\times\vec{C}$
 $(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=(\vec{a}\times\vec{c})+(\vec{b}\times\vec{c})$

$\vec{A}\times\vec{A}=\vec{0}$
 (since sin0=0)

$\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix}\hat{\rm i}&\hat{\rm j}&\hat{\rm k}\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}$
 $=\begin{vmatrix}A_y&A_z\\B_y&B_z\end{vmatrix}\hat{\rm i}-\begin{vmatrix}A_x&A_z\\B_x&B_z\end{vmatrix}\hat{\rm j}+\begin{vmatrix}A_x&A_y\\B_x&B_y\end{vmatrix}\hat{\rm k}$

$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0,$
$(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0$

$\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0$
$\vec{b}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0$

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//Stewart - Properties of the Cross Product(8e p819)에서 위에 아마 언급 안된 것 같은거

5. $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$
//BAC-CAB 이미 있지만.. 여기 표현
6. $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$

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$\vec{a}\times\vec{b}$ 는 $\vec{a}$ 와 $\vec{b}$ 둘 다에 수직. ([[수직성,perpendicularity]], [[직교성,orthogonality]])

증명은 $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}$ 를 계산하면 0이 나옴. $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}$ 도 마찬가지. (내적이 0 ⇔ 직교)

(Stewart)
= 벡터곱(vector product, cross product)과 외적(outer product)에 대해 =
엄밀하게는 외적과 벡터곱(Cross Product)은 다르다.
See '''[[외적,outer_product]]'''

= 응용 (물리) =
[[토크,torque]]
 $\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$
[[각운동량,angular_momentum]]
 $\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$
= Zill의 표현. =
영벡터가 아닌 $\vec{a},\vec{b}$ 가 있고 사이 각이 $\theta$ 이면
$||\vec{a}\times\vec{b}||=||\vec{a}||\,||\vec{b}||\sin\theta$

$\vec{a}\times\vec{b}=(||\vec{a}||\,||\vec{b}|| \sin\theta)\vec{n}$

= Criterion for Parallel Vectors =
영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a},\vec{b}$ 는 서로 평행이다 if and only if
 $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$

즉 $\theta=0\text{ or }\pi$ 인 경우.

[[평행성,parallelism]]

= 표준기저의 벡터곱 =
[[표준기저,standard_basis]]의 '''벡터곱'''

||i×i=0  ||j×j=0  ||k×k=0  ||(0은 영벡터) ||
||i×j=k  ||j×k=i  ||k×i=j  ||(cyclic order) // [[순환순서,cyclic_order]] ||
||j×i=−k ||k×j=−i ||i×k=−j ||(anticyclic order?) (anticommutative) ||

= 행렬식(determinant)과의 관계 =
[[행렬식,determinant]]
$\vec{v}\times\vec{w}$ 의
 [[부호,sign]]는
  * v에서 w로 회전하는 방향이 cw? (-)
  * v에서 w로 회전하는 방향이 ccw? (+)
 크기는 (일단 2x2만 다루었음)
  v의 열벡터를 왼쪽에, w의 열벡터를 오른쪽에 놓아 만든 행렬의 det와 같음.
  (그리고 평행사변형의 면적과 관련)

그래서 두 $\vec{v},\vec{w}$ 의 방향이
 more perpendicular => $\vec{v}\times\vec{w}$ is bigger
 similar direction => $\vec{v}\times\vec{w}$ is smaller

([[https://www.youtube.com/watch?v=eu6i7WJeinw src]])

= TOASK =
TOASK: 텐서곱, outer product, kronecker product, tensor product 모두 같은거?
기호 ⊗ ?

[[법선벡터,normal_vector]]는 $\vec{A}$ 와 $\vec{B}$ 에 모두 수직인 [[단위벡터,unit_vector]].
 - [[단위법선벡터,unit_normal_vector]] 아닌지? chk chk
 TOASK 오른손 법칙에 의거한 z방향만이 n의 방향인가? convention? axiom?


= See also =
[[삼중곱,triple_product]]
Compare: [[스칼라곱,scalar_product,dot_product]]


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Twins
WpEn:Cross_product
https://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html
https://planetmath.org/crossproduct
https://everything2.com/title/cross+product
https://everything2.com/title/vector+product

Up:
 [[선형대수,linear_algebra]]
 [[벡터,vector]]
 [[곱,product]]